Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Мидорж и Сен-Винцент/ДО

Вторая эпоха: Мидоржъ. — Григорій С. Винцентъ.
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Индекс в Викитеке

Вторая эпоха: Мидоржъ. — Григорій С. Винцентъ.

32. Мидоржъ (1585 — 1647). Излагая исторію трудовъ Дезарга и Паскаля по теоріи коническихъ сѣченій, мы должны вспомнитъ еще третьяго геометра, ихъ современника, опередившаго ихъ нѣсколькими годами въ этомъ отдѣлѣ науки. Мидоржъ (Mydorge), извѣстный какъ ученый и какъ другъ знаменитаго Декарта, былъ первый во Франціи, написавшій сочиненіе о коническихъ сѣченіяхъ, предпринявшій упростить доказательства древнихъ и рѣшившійся пойти далѣе ихъ въ этомъ предметѣ.

Сочиненіе его появилось сначала въ 1631 году въ двухъ, а потомъ въ 1641 году въ четырехъ книгахъ; за этимъ должны были слѣдовать еще четыре книги, но онѣ остатись въ рукописи.

Мерсеннъ передаетъ намъ заглавія ихъ въ Universae Geometriae mixtacque etc, стр. 229. Мидоржъ не имѣлъ въ виду, какъ Дезаргъ и Паскаль, главной цѣли — вывести свойства коническихъ сѣченій изъ свойствъ круга посредствомъ перспективы, или посредствомъ изслѣдованія конуса, на которомъ эти кривыя получаются. Сочиненіе его написано въ духѣ древнихъ; но онъ болѣе ихъ пользовался свойствами конуса^[1] и это дало ему возможность изъ одного доказательства вывести предложенія, которыя требуютъ трехъ доказательствъ у Аполлонія; такимъ образомъ онъ внесъ въ этотъ предметъ значительное упрощеніе.

Въ сочиненіи Мидоржа находится изящное рѣшеніе задачи «помѣстить на данномъ конусѣ данное коническое сѣченіе»; Аполлолоній, въ своей шестой книгѣ, рѣшилъ эту задачу только для прямаго конуса (Теоремы 39, 40 и 41-я 3-й книги).

Вторая книга имѣетъ предметомъ построеніе коническаго сѣченія по точкамъ на плоскости. Аполлоній не занимался этой задачей, но она должна была находиться въ Loca solida Аристея, такъ какь здѣсь говорилось о коническикъ сѣченіяхъ на плоскости и излагались такія свойства этихъ кривыхъ, которыхъ не было въ Elementa conica Аполлонія, потомучто подобное же сочиненіе, но отличное отъ Loca solida, было также написано Аристеемъ.

Между различными способами Мидоржа для построенія коническихъ сѣченій укажемъ на образованіе эллипса точкою прямой линіи, скользящей концами по двумъ другимъ прямымъ^[2]; и еще построеніе той же кривой посредствомъ измѣненія всѣхъ ординатъ круга въ данномъ отношеніи — построеніе, которое уже было употребляемо Стевиномъ (Oeuvres mathémaliques, р. 348).

Въ этой же книгѣ находимъ предложеніе, что если изъ какой нибудь точки въ плоскости коническаго сѣченія будемъ проводить прямыя линіи ко всѣмъ точкамъ кривой и будемъ, продолжая ихъ, увеличивать въ данномъ отношеніи, то концы этихъ линій будутъ лежать на новомъ коническомъ сѣченіи, подобномъ первому. Это очень простое предложеніе скрытымъ образомъ заключается уже въ шестой книгѣ Аполлонія, гдѣ рѣчь идетъ о подобныхъ коническихъ сѣченіяхъ, и мы приводимъ его здѣсь только потому, что оно вмѣстѣ съ предыдущимъ способомъ образованія (удлиненіемъ ординатъ въ постоянномъ отношеніи) служитъ точкою отправленія и простѣйшимъ случаемъ метода преобразованія фигуръ, который, какъ мы увидимъ, былъ значительно расширенъ Де-Лагиромъ и Ньютономъ, потомъ распространенъ Понселе на фигуры трехъ измѣреній въ сочиненіи о проэктивныхъ свойствахъ фигуръ; въ настоящее время этотъ методъ получилъ еще большее развитіе и мы разсматриваемъ его въ нашемъ мемуарѣ подъ названіемъ гомографическаго преобразованія, какъ одинъ изъ самыхъ могущественныхъ способовъ новой геометріи.

33. Григорій С. Винцентъ (1584—1667). Подробный разборъ сочиненій Дезарга и Паскаля, относящихся къ новой геометріи, отвлекъ насъ отъ другой части геометріи, отъ геометріи мѣры, въ которой, съ большимъ или меньшимъ искуствомъ, въ болѣе или менѣе явной формѣ, вводится безконечная величина.

Возвратимся къ этому отдѣлу науки, въ которомъ мы указали, какъ изобрѣтателей, Кеплера, Гюльдена, Каваллери, Фермата, Роберваля, Паскаля. Вслѣдъ за этими геніальными людьми и на одной съ ними высотѣ мы находимъ Григорія С. Винцента (Grégoire de St.-Vincent).

Этотъ геометръ, одинъ изъ самыхъ глубокихъ знатоковъ древней геометріи, прилагалъ, подобно Каваллери и Робервалю, но совершенно самостоятельнымъ образомъ, способы Архимеда къ изысканію квадратуры криволинейныхъ пространствъ. Его способъ, называвшійся Ductus plani in planum, представлялъ, подобно способамъ Каваллери и Роберваля, усовершенствованіе способа истощенія; онъ былъ столь же строгъ, какъ способъ Архимеда, и болѣе другихъ удобенъ для приложеній. Большое значеніе придавало ему различное расположеніе вписанныхъ и описанныхъ около кривой многоугольниковъ, и Григорій С. Винцентъ умѣлъ этимъ воспользоваться. Въ такомъ различіи способа С. Винцента отъ способа Архимеда заключалось другое, весьма важное, преимущество: не безъ основанія можно предполагать, что дифференціальный треугольникъ, являющійся въ чертежахъ Гр. С. Винцента между кривою и двумя послѣдовательными сторонами одного изъ двухъ многоугольниковъ à échelles (вписаннаго или описаннаго), долженъ былъ привести Баррова, Лейбница и Ньютона къ исчисленію безконечно малыхъ. Подобнымъ образомъ связываются между собою и расширяются всѣ истины въ наукѣ; величайшія открытія не бываютъ внушаемы однимъ вдохновеніемъ, они бываютъ подготовлены гораздо ранѣе.

Григорій С. Винцентъ, заслуги котораго, несмотря на мнѣнія Гюйгенса и Лейбнийа^[3], еще недостаточно оцѣнены, обогатилъ геометрію многочисленными открытіями также и въ теоріи коническихъ сѣченій. Ему обязаны мы замѣчательнымъ свойствомъ гиперболическихъ, ограниченныхъ асимптотами, площадей, которыя представляютъ логариѳмы абсциссъ.

Изъ очень мжогихъ способовъ преобразованія на плоскости коническихъ сѣченій однихъ въ другія мы должны уномянуть здѣсь о двухъ пріемахъ, сдѣлавшихся впослѣдствіи весьма употребительными въ искуствахъ и послужившихъ точкою исхода цѣлому ряду методовъ преобразованія фигуръ, составляющихъ одно изъ важнѣйшихъ ученій новой геометріи.

Первый изъ этихъ способовъ, употреблявшійся уже Стевиномъ и Мидоржемъ, состоитъ въ увеличеніи въ постоянномъ отношеніи ординатъ кривой линіи; второй въ наклоненіи этихъ ординатъ на одинаковое угловое количество, такъ что онѣ остаются параллельными между собою.

Григорій С. Винцентъ преобразовывалъ кругъ въ эллипсъ каждымъ изъ этихъ способовъ и обоими вмѣстѣ, сочетая ихъ различнымъ образомъ.

Однако мы должны замѣтить, что эти два способа преобразованія представляютъ въ сущности только одинъ способъ и даютъ происхожденіе тождественно однимъ и тѣмъ же фигурамъ; это одинъ и тотъ же способъ, но въ различныхъ формахъ, имѣющихъ каждая свои особыя удобства.

Всегда полезно разсматривать подобнымъ образомъ одну и ту же истину съ различныхъ точекъ зрѣнія, чтобы извлечь изъ нея всѣ выгоды и всѣ слѣдствія, къ которымъ она можетъ вести.

Теорія коническихъ сѣченій доставила уже намъ самое убѣдительное доказательство этого въ тѣхъ различныхъ преобразованіяхъ, къ которымъ, какъ мы показали, способны теоремы Дезарга и Паскаля и которыя даютъ этимъ теоремамъ возможность заключать въ себѣ безконечное число слѣдствій, обнимающихъ собою большую часть свойствъ коническихъ сѣченій (См. Прим. XV).

Григорій С. Винцентъ написалъ глубокій трактатъ о сравненіи спирали съ параболой, — предметъ, которымъ занимался также Каваллери; въ немъ находятся удивительныя сближенія между этими двумя кривыми, свойства которыхъ большею частію соотвѣтствуютъ другъ другу. Равенство двухъ соотвѣтствующихъ дугъ этихъ двухъ кривыхъ было также доказано Робервалемъ, но способомъ очень труднымъ, основаннымъ на его ученіи о составныхъ движеніяхъ; оно же было потомъ предметомъ превосходнаго мемуара Паскаля^[4], который представляетъ первый примѣръ сравнененія двухъ разнородныхъ кривыхъ линій посредствомъ чистой геометріи древнихъ и безъ помощи безконечно малыхъ.

34. Еслибы мы писали полную исторію геометріи, а не только очеркъ постепенной выработки ея методовъ, относящихся по преимуществу къ новой геометріи, то мы должны бы были для пополненія второй эпохи упомянуть о трудахъ еще многихъ другихъ геометровъ, съ успѣхомъ занимавшихся чистою геометріею древнихъ и новымъ ученіемъ о недѣлимыхъ и способствовавшихъ значительному развитію науки впослѣдствіи. Во главѣ ихъ стали бы два знаменитые ученика Галилея: Торичелли и Вивіани, превосходныя и важныя изслѣдованія которыхъ мы изложили бы съ особою любовію; потомъ Leotaud, La Loubère, Gregory, Etienne de Angelis, Michel-Ange Ricci, Mercator, Schooten, Ceva, Huygens, Sluze, Wren, Nicolas, Lorenzini, Guido-Grandi и др.

Многіе изъ этихъ геометровъ занимались также возникавшею въ то время геометріею Декарта и потому будутъ играть роль въ слѣдующей эпохѣ между двигателями этого великаго изобрѣтенія.

Примѣчанія.

1. Мы войдемъ въ нѣкоторыя подробеости о способѣ древнихъ, когда будемъ говорить о большомъ сочиненіи Де-Лагира Traité des coniques.
2. Такой способъ черченія эллипса былъ уже доказанъ Стевиномъ, который приписываетъ изобрѣтеніе его Гвидо Убальди, и дѣйствительно онъ изложенъ въ сочиненіи Г. Убальди: Planisphaericorum universalium Theorica, (in—4, 1579); но этотъ способъ былъ извѣстенъ уже древнимъ; Проклъ говоритъ объ немъ въ своемъ комментаріи ко второму предложенію 1-й книги Евклида [см. выше § 45].
3. Вотъ слова Лейбница: Majora (nempé Galilednis et Cavallerianis) subsidia atlulerunt triumviri celebres, Cartesius ostensa ratione lineas Geometriae communis exprimendi per aequationes; Fermatius inventa methodo de maximis et minimis: ac Gregorius a sancto Vincentio multis praeclaris inventis. (Acta erudit., 1686, и Ocuvres de Leibnitz, t. III, p. 192).
   Пятнадцать лѣтъ спустя, Лейбницъ писалъ еще: Etsi Gregorius а S. Vincentio quadraturam circuli et hyperbolae non absolverit, egregia tamen multa dedit (Oeuvres de Leibnitz, t. VI, p. 189).
   Монтукла въ своей Histoire des mathématiques выражается такъ:
   «Сочиненіе Григорія С. Винцента есть истинное сокровище, богатый запасъ геометрическихъ истинъ, важныхъ и любопытныхъ открытій».
   Если сочиненія Григорія С. Винцента не изучались до сихъ поръ сколько они заслуживаютъ, то причина этого безъ сомнѣнія заключается въ почти одновременномъ открытіи геометріи Декарта и исчисленія безконечно-малыхъ, которыя увлекли умы всѣхъ въ область анализа. Послѣ двоякаго свидѣтельства, приведеннаго выше, о достоинствѣ этого геометра, мы считаемъ себя вправѣ предложить молодымъ математикамъ, вѣрящимъ въ успѣхи и будущность геометріи, читать его сочиненія. Они встрѣтятъ тамъ многія, еще новыя для нихъ и прекрасныя открытія.
   Въ интересной замѣткѣ Кетле о Григоріи С. Винцентѣ сказано, что онъ оставилъ много рукописей, которыя собраны въ 13 томахъ in fol. и находятся въ библіотекѣ въ Брюсселѣ. «Было бы желательно, прибавляетъ Кетле, чтобы кто-нибудь изъ друзей науки взялъ на себя трудъ пересмотрѣть этотъ рѣдкій памятникъ. Онъ можетъ-быть нашелъ бы тутъ вещи до сихъ поръ еще неизвѣстныя. Потомучто коническія сѣченія представляютъ неистощимый источникъ свойствъ и было бы слишкомъ смѣло сказать, что этотъ предметъ совершенно исчерпанъ», (Correspondance mathématique et physique, t. I, p. 162).
4. Egalité des lignes spirale et parabolique (Oeuves de Pascale, t. V, p. 426—452).