Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/3

Теория гармонических центров. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 3.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

11. Пусть на прямой дано $n$ точек $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ и полюс $o$. Пусть, далее, $m$ — точка той же прямой, такая, что сумма всевозможных произведений, составленных из $n$ отношений ${\tfrac {ma}{oa}}$ по $r$ сомножителей в каждом, равна нулю. Если обозначить эту сумму как $\sum \left({\tfrac {ma}{oa}}\right)_{r}$^[1], то точку $m$ можно найти из уравнения:

$\sum \left({\frac {ma}{oa}}\right)_{r}=0$.

(1.)

Используя тождество $ma=oa-om$, это уравнение можно записать как:

$\sum \left({\frac {1}{om}}-{\frac {1}{oa}}\right)_{r}=0$,

(2.)

или, раскрывая скобки, как

${\begin{bmatrix}n\\r\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r}-{\begin{bmatrix}n-1\\r-1\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r-1}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}+{\begin{bmatrix}n-2\\r-2\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r-2}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}-\dots =0;$

(3.)

где символом ${\begin{bmatrix}n\\r\\\end{bmatrix}}$ обозначено число сочетаний $n$ различных предметов по $r$ в каждом сочетании (биномиальный коэффициент).

Уравнение (3) имеет степень $r$ относительно $om$ и поэтому дает $r$ положений для точки $m$: такие $r$ точек $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{r}$ называются гармоническими центрами (итал. centri armonici) степени $r$ системы точек $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ относительно полюса $o$.^[2]

Когда $r=1$, получается одна единственная точка $m$, которую рассматривал еще Понселе под названием центр средних гармонических^[3].

Если, кроме того, $n=2$, то точка $m$ оказывается гармонически сопряженной к точке $o$ относительно пары точек $a_{1},\,a_{2}$ (§ 4).^[4]

12. Если уравнение (1) умножить на $oa_{1}.a_{2}\dots oa_{n}$ и поделить на $ma_{1},\,ma_{2},\dots ,...ma_{n}$, оно, очевидно, примет вид:

$\sum \left({\frac {oa}{ma}}\right)_{n-r}=0,$

(4.)

отсюда сразу получается следующее:

Если $m$ — гармонический центр степени $r$ данной системы точек относительно полюса $o$, то и наоборот, $o$ — гармонический центр степени $n-r$ той же системы точек относительно полюса $m$.

13. Пусть $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{r}$ — $r$ точек, которые удовлетворяют уравнению (3), и пусть $\mu$ — их гармонический центр первой степени относительно того же полюса $o$. Тогда верно уравнение:

$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{om}}\right)_{1}=0$,

аналогичное (2), или же, после раскрытия скобок:

${\frac {r}{o\mu }}=\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}$.

Но, в силу уравнения (3), верно:

$\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}={\frac {r}{n}}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$,

и поэтому

${\frac {n}{o\mu }}=\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}$,

или же

$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa}}\right)_{1}=0$.

Это означает, что $\mu$ является гармоническим центром первой степени данной системы точек $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ относительно полюса $o$.

Обозначив теперь как $\mu$ один из двух гармонических центров второй степени системы $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{r}$ относительно полюса $o$, имеем уравнение, аналогичное уравнению (2):

$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{om}}\right)_{2}=0$,

или же, после раскрытия скобок,

${\frac {r(r-1)}{2}}\left({\frac {1}{o\mu }}\right)^{2}-(r-1){\frac {1}{o\mu }}\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}+\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{2}=0$,

Но, в силу уравнения (3), имеем:

$\sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{1}={\frac {r}{n}}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1},\quad \sum \left({\frac {1}{om}}\right)_{2}={\frac {r(r-1)}{n(n-1)}}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}$,

подставляя эти выражения в предыдущее уравнение, получим:

${\frac {n(n-1)}{2}}\left({\frac {1}{o\mu }}\right)^{2}-(n-1){\frac {1}{o\mu }}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}+\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}=0$,

то есть

$\sum \left({\frac {1}{o\mu }}-{\frac {1}{oa}}\right)_{2}=0$;

следовательно, $\mu$ является гармоническим центром второго порядка системы точек $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ относительно полюса $o$.

Тот же результат получится, если рассмотреть $\mu$ как центр третьей, четвертой, … $(r-1)$-ой степени системы $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{r}$ относительно полюса $o$. Следовательно:

Если $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{r}$ — гармонические центры степени $r$ данной системы $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ относительно полюса $o$, гармонические центры степени $s$ ($s<r$) системы $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{r}$ относительно полюса $o$ являются так же гармоническими центрами степени $s$ данной системы относительно того же полюса $o$.

14. Пусть $m$ — гармонический центр степени $n-1$ данной системы $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ относительно полюса $o$, тогда справедливо равенство (4), если положить в нем $r=n-1$. Введем туда произвольную точку $i$ той же прямой, используя очевидные тождества $oa=oi+ia$, $ma=ia-im$, тогда получим:

$\sum \left({\frac {oi+ia}{ia-im}}\right)_{1}=0$,

или же, после раскрытия скобок,

${\overline {im}}^{n-1}\left[n.oi+\sum (ia)_{1}\right]-{\overline {im}}^{n-2}\left[(n-1).io\sum (ia)_{1}+2\sum (ia)_{2}\right]+$ $+{\overline {im}}^{n-3}\left[(n-2).oi\sum (ia)_{2}+3\sum (ia)_{3}\right]-\dots$ $+(-1)^{n-1}\left[oi\sum (ia)_{n-1}+n\sum (ia)_{n}\right]=0$.

(5.)

Пусть $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{n-1}$ — гармонические центры степени $n-1$ данной системы относительно полюса $o$, то есть точки, удовлетворяющие уравнению (5); тогда верно:

$\sum (im)_{r}={\frac {(n-r)oi\sum (ia)_{r}+(r+1)\sum (ia)_{r+1}}{n.io+\sum (ia)_{1}}}$.

Пусть теперь $\mu$ — один из гармонических центров степени $n-2$ системы $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{n-1}$ относительно точки $o'$ той же прямой; в полной аналогии с (5) имеем:

${\overline {i\mu }}^{n-2}\left[(n-1).o'i+\sum (im)_{1}\right]-{\overline {i\mu }}^{n-3}\left[(n-2).o'i\sum (im)_{1}+2\sum (im)_{2}\right]+\dots$

$+(-1)^{n-2}\left[o'i\sum (im)_{n-2}+(n-1)\sum (im)_{n-1}\right]=0$.

Подставляя в этом уравнение вместо $\sum (im)_{r}$ выписанное выше значение, получим:

$A.oi.o'i+B.(oi+o'i)+C=0$,

где

$A=n(n-1){\overline {i\mu }}^{n-2}-(n-1)(n-2){\overline {i\mu }}^{n-3}\sum (ia)_{1}+(n-2)(n-3){\overline {i\mu }}^{n-4}\sum (ia)_{2}-\dots ,$

$B=(n-1){\overline {i\mu }}^{n-2}\sum (ia)_{1}-2(n-2){\overline {i\mu }}^{n-3}\sum (ia)_{2}+3(n-3){\overline {i\mu }}^{n-4}\sum (ia)_{3}-\dots ,$

$C=1.2{\overline {i\mu }}^{n-2}\sum (ia)_{2}-2.3{\overline {i\mu }}^{n-3}\sum (ia)_{3}+3.4{\overline {i\mu }}^{n-4}\sum (ia)_{4}-\dots .$

Симметричность этого выражения относительно $o,\,o'$ означает сдед.:

Если $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{n-1}$ — гармонические центры степени $n-1$ системы $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ относительно полюса $o$, и если $m_{1}',\,m_{2}',\dots ,m_{n-1}'$ — гармонические центры степени $n-1$ той же системы $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ относительно другого полюса $o'$, то гармонические центры степени $n-2$ системы $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{n-1}$ относительно полюса $o'$ совпадают с гармоническими центрами степени $n-2$ системы $m_{1}',\,m_{2}',\dots ,m_{n-1}'$ относительно полюса $o$.

Эта теорема, путем повторного применения, может быть распространена на гармонические центры произвольной степени, и, таким образом, может быть сформулирована так:

Если $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{r}$ — гармонические центры степени $r$ данной системы $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ относительно полюса $o$, и если $m_{1}',\,m_{2}',\dots ,m_{r'}'$ — гармонические центры степени $r'$ той же системы относительно другого полюса $o'$, гармонические центры степени $r+r'-n$ системы $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{r}$ относительно полюса $o'$ совпадают с гармоническими центрами степени $r+r'-n$ системы $m_{1}',\,m_{2}',\dots ,m_{r'}'$ относительно полюса $o$. ^[5]

15. Если $m$ и $\mu$ — гармонические центры первой степени систем $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ и $a_{2},\,a_{3},\dots ,a_{n}$ соответственно относительно полюса $o$, то верно:

${\frac {n}{om}}={\frac {1}{oa_{1}}}+{\frac {1}{oa_{2}}}+\dots {\frac {1}{oa_{n}}},$

${\frac {n-1}{o\mu }}={\frac {1}{oa_{2}}}+{\frac {1}{oa_{3}}}+\dots {\frac {1}{oa_{n}}}$.

Если $a_{1}$ — гармонический центр первой степени системы точек $a_{2},\,a_{3},\dots ,a_{n}$ относительно полюса $o$, точка $a_{1}$ является также гармоническим центром первой степени системы $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ относительно того же полюса.

16. До этого момента мы молчаливо предполагали, что данные точки $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ различны между собой. Предположим теперь, что $r$ точек $a_{n},\,a_{n-1},\dots ,a_{n-r+1}$ совпали в одной единственной точке, которую мы обозначим как $a_{0}$.

Теперь, подставляя в уравнение (5) $a_{0}$ на место произвольного начала $i$, и учитывая очевидные в этом случае соотношения:

$\sum (ia)_{n}=0,\quad \sum (ia)_{n-1}=0,\dots ,\sum (ia)_{n-r+1}=0$,

видим, что уравнение (5) делится нацело на ${\overline {a_{0}m}}^{r-1}$, то есть $r-1$ гармонических центров степени $n-1$ попадают в точку $a_{0}$, и это верно, каким бы ни бы полюс $o$. Кроме того, из этого следует, в силу теоремы § 13, что в точку $a_{0}$ попадают $r-2$ гармонических центров степени $n-2$, $r-3$ гармонических центров степени $n-3,\dots$ и один гармонический центр степени $n-r+1$.

17. Уравнение (3), после умножения на ${\overline {om}}^{r}$ и на $(-1)^{r}oa_{1}.oa_{2}\dots oa_{n}$, примет вид:

${\overline {om}}^{r}\sum (oa)_{n-r}-(n-r+1){\overline {om}}^{r-1}\sum (oa)_{n-r+1}+$ $+{\frac {(n-r+2)(n-r+1)}{2}}{\overline {om}}^{r-2}\sum (oa)_{n-r+2}+\dots$ $+(-1)^{r}{\frac {n(n-1)\dots (n-r+1)}{1.2\dots r}}\sum (oa)_{n}=0$.

(6.)

Предположим теперь, что $s$ точек, скажем $a_{n},\,a_{n-1},\dots ,a_{n-s+1}$, совпадают с полюсом $o$. Тогда верно:

$\sum (oa)_{n}=0,\quad \sum (oa)_{n-1}=0,\dots ,\sum (oa)_{n-s+1}=0$;

следовательно, уравнение (6) делится на ${\overline {om}}^{s}$, и значит, полюс $o$ является местом $s$ гармонических центров любого порядка. Оставшиеся $r-s$ гармонических центров степени $r$ описываются уравнением:

${\overline {om}}^{r-s}-(n-r+1){\overline {om}}^{r-s-1}\sum (oa)_{n-r+1}+$${\frac {(n-r+2)(n-r+1)}{1.2}}{\overline {om}}^{r-s-2}\sum (oa)_{n-r+2}-\dots =0$,

где сума $\sum (oa)$ распространяется только на точки $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n-s}$. Следовательно, оставшиеся $r-s$ точек $m$, которые наряду с точкой $o$, учитываемой $s$ раз, являются гармоническими центрами степени $r$ системы $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ относительно полюса $o$, являются также и гармоническими центрами степени $r-s$ системы $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n-s}$ относительно того же полюса $o$.

Следует еще отметить, что при $s=r+1$ последнее уравнение удовлетворяется тождественно, какова бы ни была точка $m$. Таким образом, если $r+1$ точек $a$ и полюс $o$ совпадают друг с другом, гармонические центры степени $r$ остаются неопределенными, то есть в качестве таковых можно взять любую точку на прямой $a_{1},\,a_{2},\dots ,...$

Рис. к § 18.

18. Вернемся к § 11 и рассмотрим на прямой $R$ (см. рис.) систему $n$ точек $a_{1}$, $a_{2}$, ..., $a_{n}$ и полюс $o$; пусть, кроме того, $m$ — гармонический центр степени $r$, отчего между отрезками $ma$ и $oa$ имеется соотношение (1). Возьмем произвольную точку $c$ вне прямой $R$ и соединим ее прямыми с точками $o$, $a$, $m$, пусть произвольная секущая $R'$ пересекает эти прямые в точках $o'$, $a'$, $m'$. Тогда верно:

${\frac {ma}{ca}}:{\frac {m'a'}{ca'}}={\frac {\sin {cm'a'}}{\sin {cma}}}$,

и аналогично,

${\frac {oa}{ca}}:{\frac {o'a'}{ca'}}={\frac {\sin {co'a'}}{\sin {coa}}}$,

откуда получается, что

${\frac {ma}{oa}}:{\frac {m'a'}{o'a'}}={\frac {\sin {cm'a'}}{\sin {co'a'}}}:{\frac {\sin {cma}}{\sin {coa}}}$.

Правая часть этого уравнения не изменяется при перестановки точек $a,\,a'$, поэтому верно:

${\frac {ma_{1}}{oa_{1}}}:{\frac {ma_{2}}{oa_{2}}}:\dots :{\frac {ma_{n}}{oa_{n}}}={\frac {m'a_{1}'}{o'a_{1}'}}:{\frac {m'a_{2}'}{o'a_{2}'}}:\dots :{\frac {m'a_{n}'}{o'a_{n}'}}$.

Далее, поскольку соотношение (1) однородно относительно всех этих величин ${\tfrac {ma}{oa}}$, здесь получается, что

$\sum \left({\frac {m'a'}{o'a'}}\right)_{r}=0$,

то есть:

Если $m$ — гармонический центр степени $r$ данной системы точек $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$, лежащих на прямой, относительно полюса $o$, помещенного на ту же прямую, то, спроектировав все эти точки при помощи лучей, выходящих из произвольной точки, на произвольную секущую, получим точку $m'$ (проекцию $m$), которая будет гармоническим центром степени $r$ системы точек $a_{1}',\,a_{2}',\dots a_{n}'$ (проекции $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$) относительно полюса $o'$ (проекции $o$).

Эта теорема дает нам возможность перенести на систему прямых, пересекающихся в одной точке, определения и теоремы, установленные выше для системы точек, лежащих на прямой.

19. Пусть дана система $n$ прямых $A_{1},\,A_{2},\dots ,A_{n}$ и еще одна прямая $O$, лежащие на одной плоскости и пересекающиеся в одной точке $c$. Проведем произвольную секущую $R$, которая не проходит через точку $c$, и пусть она пересекает данные прямые в точках $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ и $o$, отметим $r$ гармонических центров $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{r}$ степени $r$ системы точек $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ относительно полюса $o$. Прямые $M_{1},\,M_{2},\dots ,M_{r}$, проведенные из $c$ в точки $m_{1},\,m_{2},\dots ,m_{r}$, назовем гармоническими осями степени $r$ системы прямых $A_{1},\,A_{2},\dots ,A_{n}$ относительно прямой $O$.

Рассматривая только прямые, проходящие через точку $c$, можно установить следующие теоремы, аналогичные доказанным для системы точек на прямой.

Если $M$ — гармоническая ось степени $r$ данной системы прямых $A_{1},\,A_{2},\dots ,A_{n}$ относительно прямой $O$, то и наоборот, $O$ — гармоническая ось степени $n-r$ той же системы относительно прямой $M$.

Если $M_{1},\,M_{2},\dots ,M_{r}$ — гармонические оси степени $r$ данной системы $A_{1},\,A_{2},\dots ,A_{n}$ относительно прямой $O$, гармонические оси степени $s\,(s<r)$ системы $M_{1},\,M_{2},\dots ,M_{r}$ относительно $O$ являются также гармоническими осями степени $s$ данной системы относительно той же прямой $O$.

Если $M_{1},\,M_{2},\dots ,M_{r}$ — гармонические оси степени $r$ данной системы $A_{1},\,A_{2},\dots ,A_{n}$ относительно прямой $O$ и если $M_{1}',\,M_{2}',\dots ,M_{r'}'$ — гармонические оси степени $r'$ той же данной системы относительно некоторой другой прямой $O'$, то гармонические оси степени $r+r'-n$ системы $M_{1},\,M_{2},\dots ,M_{r}$ относительно прямой $O'$ совпадают с гармоническими осями степени $r+r'-n$ системы $M_{1}',\,M_{2}',\dots ,M_{r'}'$ относительно прямой $O$.

Какой бы ни была прямая $O$, если $r$ из данных прямых $A_{1},\,A_{2},\dots ,A_{n}$ совпадают с некоторой прямой, то с этой последней совпадают $r-1$ гармонических осей степени $n-1$, $r-2$ гармонических осей степени $n-2,\dots$ и одна гармоническая ось степени $n-r+1$.

Если $s$ прямых $A_{n},\,A_{n-1},\dots ,A_{n-s+1}$ совпадают друг с другом и с прямой $O$, с этой последней совпадают $s$ гармонических осей любой степени, а оставшиеся $r-s$ гармонические оси степени $r$ являются также гармоническими осями степени $r-s$ системы $A_{1},\,A_{2},\dots ,A_{n-s}$ относительно $O$.

20. Если бы в § 18 секущая $R'$ проходила через точку $o$, или если вращать прямую $R$ вокруг точки $o$, то доказанная там теорема могла быть сформулирована так:

Пусть даны $n$ прямых $A_{1},\,A_{2},\dots ,A_{n}$, пересекающихся в точке $c$. Если через фиксированный полюс $o$ провести произвольную секущую $R$, пересекающую эти $n$ прямых в точках $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$, то гармонические центры степени $r$ системы $a_{1},\,a_{2},\dots ,a_{n}$ относительно полюса $o$ описывают, при вращении $R$ вокруг точки $o$, $r$ прямых $M_{1},\,M_{2},\dots ,M_{r}$, пересекающихся в точке $c$.

При этом последние две теоремы § 19 дают:

Если $s$ из данных прямых, скажем $A_{n},\,A_{n-1},\dots A_{n-s+1}$, совпадают с одной единственной прямой $A_{0}$, с этой последней совпадает $s-(n-r)$ прямых $M_{1},\,M_{2},\dots ,M_{r}$. Если к тому же $A_{0}$ проходит через полюс $o$, то с ней совпадает $s$ прямых $M_{1},\,M_{2},\dots ,M_{r}$. Оставшиеся же $r-s$ прямых пробегают [при вращении $R$] гармонические центры степени $r-s$ (относительно полюса $o$) тех точек, в которых $R$ пересекается с прямыми $A_{1},\,A_{2},\dots ,A_{n-s}$.

Примечания

1. Иными словами,

   $\sum \left({\frac {ma}{oa}}\right)_{r}=\sum \limits _{i_{1},\dots ,i_{r}}{\frac {ma_{i_{1}}}{oa_{i_{1}}}}\dots {\frac {ma_{i_{r}}}{oa_{i_{r}}}}$

2. Jonquières, Mémoire sur la théorie des pôles et polaires etc. (Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 2, Tome 2. 1857, p. 266).
3. Poncelet, Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. (Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 3, 1828, p. 229).
4. В авторском экземпляре прибавлено след.: если же $n=1$, то есть если данная система сводится к одной единственной точке, то она совпадает с гармоническим центром 1-ой степени относительно любого полюса. — Перев.
5. Если обозначать гармонические центры системы $(a_{1},\dots ,a_{n})$ порядка $n-r$ относительно $o$ как $o^{r}(a_{1},\dots ,a_{n})$, то согласно § 13 верно

   $o^{s}o^{r}(a_{1},\dots )=o^{s+r}(a_{1},\dots )$,

   то есть $o^{r}$ можно рассматривать как степень оператора $o$. В § 14 доказывается коммутативность двух операторов $o$ и $o'$, естественным следствием чего является

   ${o'}^{n-s}o^{n-r}(a_{1},\dots )=o^{n-r}{o'}^{n-s}(a_{1},\dots )$,

   что и утверждается в конце § 14. — Перев.