БСЭ1/Линейные вектор-функции

Линейные вектор-функции
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Лилль — Маммалогия. Источник: т. XXXVII (1938): Лилль — Маммалогия, стлб. 32—33 ( РГБ )

ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ. Функция $f(\mathbf {x} )$ векторного аргумента $(\mathbf {x} )$, обладающая след. свойствами: (1) $f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )$; (2) $f(\lambda \mathbf {x} )=\lambda f(\mathbf {x} )$, где $\lambda$ — число (если предположить функцию $f$ непрерывной, то второе свойство будет следствием первого), называется Л. в.-ф. В 3-мерном пространстве Л. в.-ф. вполне определяется заданием трех значений, к-рые она принимает для трех данных некомпланарных векторов. Примеры: 1) скалярное произведение векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {x}$ ($\mathbf {a} =Const$) есть Л. в.-ф., относящая вектору число; 2) векторное произведение $[\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]$ ($\mathbf {a} =Const$) есть Л. в.-ф., относящая вектору вектор; 3) $(\mathbf {A} \mathbf {x} )\mathbf {a} +(\mathbf {B} \mathbf {x} )\mathbf {b} +(\mathbf {C} \mathbf {x} )\mathbf {c}$ (векторы $\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ — постоянные) — так называемая диада.

Можно показать, что в 3-мерном пространстве любая Л. в.-ф., относящая вектору вектор [такую Л. в.-ф. называют аффинор (см.), исходя из ее связи с аффинным преобразованием (см.) пространства], допускает представление в форме диады. Если выбран «базис» в виде трех некомпланарных векторов $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$, то аффинор может быть задан с помощью квадратной матрицы (см.), составленной из 9 коэффициентов в разложениях векторов $f(\mathbf {a} ),f(\mathbf {b} ),f(\mathbf {c} )$ по векторам $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$. Для аффиноров устанавливаются операции сложения и умножения: если ${\boldsymbol {\Phi }}$ ${\boldsymbol {\Psi }}$ ${\boldsymbol {\Sigma }}$ ${\boldsymbol {\Pi }}$ — аффиноры, $(\mathbf {x} )$ — произвольный вектор, то соотношения ${\boldsymbol {\Phi }}+{\boldsymbol {\Psi }}={\boldsymbol {\Sigma }}$, ${\boldsymbol {\Phi }}{\boldsymbol {\Psi }}={\boldsymbol {\Pi }}$ означают соответственно, что ${\boldsymbol {\Sigma }}(\mathbf {x} )={\boldsymbol {\Phi }}(\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )$ и ${\boldsymbol {\Pi }}(\mathbf {x} )={\boldsymbol {\Phi }}[{\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )]$. В силу сделанного выше замечания, алгебра аффиноров эквивалентна алгебре квадратных матриц.

В общем векторном анализе, занимающемся изучением произвольных функций от вектора, Л. в.-ф. играет ту же роль, что и функция $y=ax$ в обыкновенном анализе: в первом приближении любая (дифференцируемая) функция заменяется (в окрестности данного значения аргумента) линейной. Дальнейшее развитие понятия Л. в.-ф. приводит к рассмотрению «многолинейной» («полилинейной») вектор-функции $f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ...)$, линейной относительно каждого из своих векторных аргументов; напр. смешанное произведение $\mathbf {x} \mathbf {y} \mathbf {z}$ есть «трилинейная» векторфункция, относящая трем векторам скаляр Обобщением понятия линейной функции на случай бесконечно-мерных векторов является понятие линейного функционала (см.).