Страница:БСЭ-1 Том 37. Лилль - Маммалогия (1938).pdf/17

приамурский генерал-губернатор. В начале Русско-японской войны временно до приезда Куропаткина командовал маньчжурской армией; после боев на Шахе (октябрь 1904) был назначен командующим I маньчжурской армией; после Мукденского сражения 3(16) марта 1905 — главнокомандующим маньчжурскими армиями.

ЛИНЕЙКА, прибор для проведения прямых линий на плоскости. Линейка наряду с циркулем (см.) считается основным средством для геометрических построений. Однако в 1890 А. Адлером было доказано, что всякая задача на построение, разрешаемая циркулем и линейкой, может быть разрешена и одним циркулем. Соответствующие построения были предложены Маскерони (см.).

ЛИНЕЙКА ПАРАЛЛАКТИЧЕСКАЯ, или трикветр, простейший астрономич. инструмент, описанный еще Птолемеем и применявшийся для измерения зенитных расстояний светил. Состоял из вертикальной линейки с делениями, у верхнего конца к-рой на шарнире прикреплена другая линейка такой же длины, направляемая на измеряемое светило. Нижние концы обеих линеек соединены поперечной перекладинкой, к-рая является хордой измеряемого вертикального угла. Величина этого угла находится по таблице хорд.

ЛИНЕЙНАЯ ДИАГРАММА, графическое изображение статистич. данных при помощи линий на координатной сетке. См. Диаграмма статистическая, Статистика.

ЛИНЕЙНАЯ ПРОЕКЦИЯ, один из типов проекций в кристаллографии (см. Кристаллографические проекции).

ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА (пятилиния, нотоносец, нотный стан, нотная строка) (муз.), система из пяти параллельных горизонтальных линеек. Линейки нумеруются снизу вверх. По мере надобности вводятся добавочные короткие линейки снизу или сверху. На линейках и между ними помещаются нотные, знаки. В начале Л. с. ставится ключ. Изобретателем линий для нотирования был Гукбальд (9 в.), затем нотоносец был усовершенствован Гвидо Аретинским (см.). Современная Л. с. сложилась в своих основных чертах в 15 в. для вокальной музыки, несколько позже — для инструментальной музыки.

ЛИНЕЙНАЯ ФОРМА, форма первой степени (см. Формы). Например:

$x_{1}+2x_{2}-x_{3}$

‎есть Л. ф. трех переменных $x_{1},x_{2},x_{3}.$

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ, простейшая целая рациональная функция (см.), изображаемая на графике прямой линией. Аналитически Л. ф. выражается формулой $f(x)=ax+b$. Постоянные $a$ и $b$ имеют простое геометрич. истолкование: $a$ — тангенс угла $\alpha$, под которым прямая, изображающая функцию, пересекает ось абсцисс, $|b|$ — расстояние от начала координат той точки, в которой прямая пересекает ось ординат. При $b=0$ и различных значениях $a$ функция $f(x)$ представляет пучок прямых, проходящих через одну точку (начало координат). При фиксированном $a$ и различных значениях $b$ функция представляет семейство параллельных прямых. Для производной (см.) линейной функции имеет место простое соотношение:

$f'(x)={\frac {f(x)-b}{x}}=a,$

‎что видно непосредственно из чертежа.

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, замена переменных $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ на новые $x'_{1},x'_{2},...,x'_{n}$ по формулам $x_{i}=\sum _{j}^{}{a_{ij}x'_{j}+b_{i}}$. Если все $b_{i}$ равны нолю — преобразование однородно. Если определитель (см.) $D=|a_{ij}|$ не равен нолю, переменные $x'_{j}$ также линейно выражаются через переменные $x_{i}$ (см. Линейные уравнения). Линейными преобразованиями являются, например, обычные формулы преобразования прямоугольных координат:

$x'=x\cos \,{\alpha }+y\sin \,{\alpha }+a,$ $y'=-x\sin \,{\alpha }+y\cos \,{\alpha }+b,$

‎так же, как преобразования косоугольных координат, проективные преобразования однородных координат и т. д. См. также Формы.

ЛИНЕЙНОСТЬ, в живописи и графике заключается в подчеркивании роли линии в композиции и особенно в изображении отдельных фигур путем акцентировки контура (см.) последних. Искусствоведом Бернсоном был предложен термин «линсализм» для тех направлений в искусстве и, в частности, для Боттичелли (см.), где преобладает интерес к линии. К ним должен быть отнесен и стиль классицизма (см.), породивший даже особый тип контурной или очерковой гравюры (см.), и русская иконопись, отчасти и искусство Палеха (см.).

ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ. Функция $f(\mathbf {x} )$ векторного аргумента $(\mathbf {x} )$, обладающая след. свойствами: (1) $f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )$; (2) $f(\lambda \mathbf {x} )=\lambda f(\mathbf {x} )$, где $\lambda$ — число (если предположить функцию $f$ непрерывной, то второе свойство будет следствием первого), называется Л. в.-ф. В 3-мерном пространстве Л. в.-ф. вполне определяется заданием трех значений, к-рые она принимает для трех данных некомпланарных векторов. Примеры: 1) скалярное произведение векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {x}$ ($\mathbf {a} =Const$) есть Л. в.-ф., относящая вектору число; 2) векторное произведение $[\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]$ ($\mathbf {a} =Const$) есть Л. в.-ф., относящая вектору вектор; 3) $(\mathbf {A} \mathbf {x} )\mathbf {a} +(\mathbf {B} \mathbf {x} )\mathbf {b} +(\mathbf {C} \mathbf {x} )\mathbf {c}$ (векторы $\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ — постоянные) — так называемая диада.

Можно показать, что в 3-мерном пространстве любая Л. в.-ф., относящая вектору вектор [такую Л. в.-ф. называют аффинор (см.), исходя из ее связи с аффинным преобразованием (см.) пространства], допускает представление в форме диады. Если выбран «базис» в виде трех некомпланарных векторов $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$, то аффинор может быть задан с помощью квадратной матрицы (см.), составленной из 9 коэффициентов в разложениях векторов $f(\mathbf {a} ),f(\mathbf {b} ),f(\mathbf {c} )$ по векторам $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$. Для аффиноров устанавливаются операции сложения и умножения: если ${\boldsymbol {\Phi }}$ ${\boldsymbol {\Psi }}$ ${\boldsymbol {\Sigma }}$ ${\boldsymbol {\Pi }}$ — аффиноры, $(\mathbf {x} )$ — произвольный вектор, то соотношения ${\boldsymbol {\Phi }}+{\boldsymbol {\Psi }}={\boldsymbol {\Sigma }}$, ${\boldsymbol {\Phi }}{\boldsymbol {\Psi }}={\boldsymbol {\Pi }}$ означают соответственно, что ${\boldsymbol {\Sigma }}(\mathbf {x} )={\boldsymbol {\Phi }}(\mathbf {x} )+{\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )$ и ${\boldsymbol {\Pi }}(\mathbf {x} )={\boldsymbol {\Phi }}[{\boldsymbol {\Psi }}(\mathbf {x} )]$. В силу сделанного выше замечания, алгебра аффиноров эквивалентна алгебре квадратных матриц.

В общем векторном анализе, занимающемся изучением произвольных функций от вектора, Л. в.-ф. играет ту же роль, что и функция $y=ax$ в обыкновенном анализе: в первом приближении любая (дифференцируемая) функция заменяется (в окрестности данного значения аргумента) линейной. Дальнейшее развитие понятия Л. в.-ф. приводит к рассмотрению «многолинейной» («полилинейной») вектор-функции $f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} ...)$, линейной относительно каждого из своих векторных аргументов; напр. смешанное произведение $\mathbf {x} \mathbf {y} \mathbf {z}$ есть «трилинейная» вектор-