БСЭ1/Лежандра полиномы

Лежандра полиномы
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Ларте — Лилло. Источник: т. XXXVI (1938): Ларте — Лилло, стлб. 236—237 ( РГБ )

ЛЕЖАНДРА ПОЛИНОМЫ. Полиномы Лежандра (или сферические) образуют систему полиномов последовательно возрастающих степеней, обладающую рядом замечательных свойств. Л. п. $X_{n}(n=0,1,2,...)$ удобнее всего определить с помощью производящей функции $g(t,x)=(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}$ как коэффициенты при $n$-ой степени в разложении по степеням $t$. Другое определение дается формулой Родрига:

$X_{n}={\frac {1}{n!2^{n}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\cdot (x^{2}-1)^{n},$

‎в частности:

$X_{0}=1,$	$X_{3}={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x),$
$X_{1}=x,$	$X_{4}={\frac {1}{2}}(35x^{4}-30x^{2}+3),$
$X_{2}={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1),$	$X_{5}={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)$

‎и т. д.

Л. п. ортогональны (см. Ортогональные функции) в  — основном промежутке  $-1<x<+1:$

$\int \limits _{-1}^{+1}X_{i}X_{k}\,dx=0,$  при $i\neq k,$ $\int \limits _{-1}^{+1}X_{n}^{2}\,dx={\frac {2}{2n+1}},$  $(n=0,1,2,...)$

‎и образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд Лежандра «произвольной» функции $f(x)$, заданной в названном промежутке:

$f(x)\approx \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}X_{n}},$ где $a_{n}={\frac {2n+1}{2}}\int \limits _{-1}^{+1}f(x)X_{n}(x)\,dx$

‎Характер сходимости рядов Лежандра примерно тот же, что и рядов Фурье (см. Фурье разложение).

Л. п. $X_{n}$ играют важную роль в теории потенциала, а также являются решениями (при определенных граничных условиях) дифференциального уравнения типа Штурма — Лиувилля

${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {dX_{n}}{dx}}\right]+\lambda _{n}X_{n}=0,$ $\lambda _{n}=n(n+1),$

‎к к-рому, напр., может быть приведена задача о вращении тяжелой цепи вокруг перпендикулярной к ней оси.

Все ноли полинома $X_{n}$ действительные и лежат в основном промежутке, перемежаясь с нолями $X_{n+1}$. — Помимо самых разнообразных задач математической физики, Л. п. находят применение при интерполировании эмпирически заданных функций по методу наименьших квадратов и в теории механических квадратур (способ Гаусса). — Важнейшие обобщения: 1) полиномы Якоби [система, ортогональная в основном промежутке с весом $(1-x)^{\alpha }(1-x)^{\beta }$ ]; 2) метасферические функции [производящая функция $g(t,x)=(1-2tx+t^{2})^{-\rho }$]; 3) сферические функции Лежандра в теории пространственного потенциала.

Лит.: Legendre А. М., Recherches sur l’attraction des sphéroides homogènes, Memoires math., phys. prés, â l’Acad. sc. par divers savants, t. X, 1785; Heine E., Handbuch der Kugelfunctionen, 2 Bde, B., 1878—1881; Jahnke E. u. Emde F., Funktionentafeln mit Formeln und Kurven, Lpz. u. B., 1933; Курант P. и Гильберт Д., Методы математической физики, т. I, M. — Л., 1933; Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, М. — Л., 1934; Смирнов В. И., Курс высшей математики для техников и физиков, т. III, 2 изд., М. — Л., 1934.