Страница:БСЭ-1 Том 36. Ларте - Лилло (1938).pdf/123

«произвольной» функции $f(x)$, заданной в названном промежутке:

$f(x)\approx \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}X_{n}},$ где $a_{n}={\frac {2n+1}{2}}\int \limits _{-1}^{+1}f(x)X_{n}(x)\,dx$

‎Характер сходимости рядов Лежандра примерно тот же, что и рядов Фурье (см. Фурье разложение).

Л. п. $X_{n}$ играют важную роль в теории потенциала, а также являются решениями (при определенных граничных условиях) дифференциального уравнения типа Штурма — Лиувилля

${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {dX_{n}}{dx}}\right]+\lambda _{n}X_{n}=0,$ $\lambda _{n}=n(n+1),$

‎к к-рому, напр., может быть приведена задача о вращении тяжелой цепи вокруг перпендикулярной к ней оси.

Все ноли полинома $X_{n}$ действительные и лежат в основном промежутке, перемежаясь с нолями $X_{n+1}$. — Помимо самых разнообразных задач математической физики, Л. п. находят применение при интерполировании эмпирически заданных функций по методу наименьших квадратов и в теории механических квадратур (способ Гаусса). — Важнейшие обобщения: 1) полиномы Якоби [система, ортогональная в основном промежутке с весом $(1-x)^{\alpha }(1-x)^{\beta }$ ]; 2) метасферические функции [производящая функция $g(t,x)=(1-2tx+t^{2})^{-\rho }$]; 3) сферические функции Лежандра в теории пространственного потенциала.

Лит.: Legendre А. М., Recherches sur l’attraction des sphéroides homogènes, Memoires math., phys. prés, â l’Acad. sc. par divers savants, t. X, 1785; Heine E., Handbuch der Kugelfunctionen, 2 Bde, B., 1878—1881; Jahnke E. u. Emde F., Funktionentafeln mit Formeln und Kurven, Lpz. u. B., 1933; Курант P. и Гильберт Д., Методы математической физики, т. I, M. — Л., 1933; Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, М. — Л., 1934; Смирнов В. И., Курс высшей математики для техников и физиков, т. III, 2 изд., М. — Л., 1934.

ЛЕЖАНДРА ТЕОРЕМА, называется также законом взаимности квадратичных вычетов (см.). Приводим ее формулировку: если $q$ и $p$ — различные простые нечетные числа, то

$\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}\left({\frac {p}{q}}\right).$

‎Символ $\left({\frac {a}{p}}\right)$[$a\not \equiv 0(mod.p),p$ — нечетное простое число], называемый символом Лежандра, имеет при этом следующий смысл: он равен $+1$ или $-1$, в зависимости от того, является ли $a$ квадратичным вычетом или невычетом числа $p$. Символ Лежандра обладает следующими свойствами:

1. Если $a\equiv b(mod.p)$, то $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$;

2. $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$;

3. $\left({\frac {1}{p}}\right)=+1$; $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}$; $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}$.

С помощью этих свойств и закона взаимности символ Лежандра можно вычислять для всякого ${\displaystyle }$a, не делящегося на $p$. Например, согласно свойству 2,

$\left({\frac {15}{17}}\right)=\left({\frac {5}{17}}\right)\left({\frac {3}{17}}\right)$

Согласно закону взаимности и свойству 1,

$\left({\frac {5}{17}}\right)=(-1)^{{\frac {17-1}{2}}\cdot {\frac {5-1}{2}}}\left({\frac {17}{5}}\right)=\left({\frac {17}{5}}\right)=\left({\frac {2}{5}}\right),$ $\left({\frac {3}{17}}\right)=(-1)^{{\frac {17-1}{2}}\cdot {\frac {3-1}{2}}}\left({\frac {17}{3}}\right)=\left({\frac {17}{3}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right).$

‎Далее, согласно свойству 3,

$\left({\frac {2}{5}}\right)=(-1)^{\frac {5^{2}-1}{8}}=(-1)^{3}=-1,$ $\left({\frac {2}{3}}\right)=(-1)^{\frac {3^{2}-1}{8}}=(-1)^{1}=-1.$

‎Таким образом,

$\left({\frac {15}{17}}\right)=\left({\frac {2}{5}}\right)\left({\frac {2}{3}}\right)=(-1)(-1)=+1$

‎т. е. $15$ есть квадратичный вычет числа $17$.

Эта теорема была открыта еще Эйлером. Лежандр дал более современную формулировку закона взаимности и частично его доказал. Первое полное доказательство закона взаимности было дано Гауссом в его знаменитой «Disquisitiones Arithmeticae». Впоследствии Гаусс нашел еще семь различных доказательств этой теоремы и распространил ее на случай  — кубических и биквадратичных вычетов. Якоби удалось сформулировать закон взаимности для нечетных составных чисел $q$ и $p$, взаимнопростых между собой. После Гаусса было найдено еще 50 новых доказательств, но все они являются лишь видоизменениями доказательств Гаусса.

Лит.: Чебышев П. Л., Теория сравнения, 2 изд., СПБ, 1879, 3 изд., СПБ, 1901; Граве Д. [А.], Элементарный курс теории чисел, 2 изд., Киев, 1913; Виноградов И. М., Основы теории чисел, М. — Л., 1936; Лежен Дирихле П. Г., Лекции по теории чисел. В обработке и с добавлениями Р. Дедекинда, пер. с нем., М. — Л., 1936; Венков Б. А., Элементарная теория чисел, М. — Л., 1937; Bachmann Р., Niedere Zahlentheorie, Т. 1—2, Lpz., 1902—1910 [в первой части (гл. VI) этой книги можно найти анализ почти всех существующих доказательств закона взаимности, а также подробные исторические указания].

ЛЕЖЕ (Léger), Фернан (р. 1881), франц. художник, представитель крайнего формализма в искусстве последних десятилетий. Учился в Школе изящных искусств в Париже (1902—1905), -начал писать под влиянием постимпрессионистов. В 1908 Л. примкнул к кубистам, от к-рых он, однако, отличается как по трактовке объемных форм, так и по интенсивности и яркости цвета своих картин. Кроме живописи, работал в области кино («Механический балет») и театральной декорации.

ЛЕЖНЕВО, рабочий поселок, районный центр в Ивановской области, в 30 км к Ю.-З. от г. Иваново; 6 тыс. жит. (1936). Бумаго-прядильно-ткацкая фабрика реконструирована и расширена при Советской власти; 2 тыс. занятых лиц (1936), 1.052 станка, 35 тыс. веретен. Фабрика выпускает миткаль и бязь. Питается электроэнергией от Ивановской ГРЭС.

ЛЕЗГИ, дагестанская народность, являющаяся основной для кюринской языковой группы (см. Кюрины). Живут в Дагестанской АССР (численность в 1926 — 90,5 тыс., в 1931 — 105 тыс.) и в Азербайджанской ССР. Занятия  — развитое садоводство, скотоводство, кустарные промыслы.

Лезги  — одна из наиболее развитых народностей Дагестана, до русского завоевания достигшая феодального строя и возглавлявшаяся ханом Кубинским. После завоевания Кавказа одна часть кюринцев вошла в состав б. Дагестанской области, другая — быв. Бакинской и Елизаветпольской губ., чем было нарушено национальное единство и что привело Л. к частичной тюркизации. Национальная политика Советской власти привела к возрождению лезгинской народности.

ЛЕЗГИНКА, см. Лекури.

ЛЕЗГИНСКАЯ ЛИТЕРАТУРА, возникла после Великой Октябрьской социалистической рево-