Геометрия, наука о пространстве и пространственных образах. Г. — мать точного знания; ее развитие коренным образом отражалось на развитии математики, механики и научной техники, с одной стороны, — философской мысли и теории познания, с другой стороны. Мы здесь дадим поэтому краткий очерк истории развития Г., но мы считаем целесообразным не обособлять совершенно истории от самого геометрического материала и поэтому, заканчивая крупные периоды, которыми завершались отдельные дисциплины, будем делать обзор этих дисциплин по существу.
I. История классической Г. Установить сколько-нибудь точно место и эпоху возникновения Г., конечно, совершенно невозможно. Греческие авторы согласно признают родиной Г. Египет. Но успехи, сделанные в истекшем столетии ориентологией, привели к заключению, что вавилоняне и китайцы владели не меньшими сведениями в области пространственных соотношений, нежели древние египтяне. Халдеи не оставили по Г. цельного трактата, но их постройки, ориентировка их обсерваторий, многочисленные отрывки в дешифрированных документах, особенно акты о продаже земельных участков, свидетельствуют, что вавилоняне умели с значительной точностью производить измерения, владели простейш. межевыми приемами и даже умели производить геометрич. построения; из Ассирии происходит 60-тиричн. деление градуса и связанн. с ним 60-тиричное счисление (см. счисление). У китайцев сохранился даже трактат „Чупей“, который они считают источником математических познаний всего мира; первая часть этого сочинения относится к XII—XI столетию до Р. X., а вторая, посвященная астрономии, к IV—III веку до Р. X. В действительности, однако, содержащиеся здесь сведения по Г. незначительны: предложение, что треугольник со сторонами 3, 4, 5, имеет прямой угол и что эти числа связаны пифагоровым соотношением 3² + 4² = 5², есть важнейший из содержащихся в нем фактов.
Относительно возникновения Г. у египтян Геродот рассказывает следующее: „Сезострис произвел деление земель, отмежевав каждому египтянину участок по жребию; сообразно этим участкам с их владельцев взымались ежегодно налоги. Если Нил заливал чей-либо участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал ему о случившемся. Тогда царь посылал землемеров, они измеряли, насколько уменьшился участок, и сообразно этому понижали налог. Вот откуда возникла Г. и перешла из этой страны в Грецию“. Но мы имеем и более точные сведения о египетской Г. по папирусу Ахмеса (см.). Здесь среди арифметических вопросов разбросаны и геометрические задачи, сводящиеся, главным образом, к измерению земельных участков. Но все эти вычисления производятся с грубым приближением; так, например, для определения площади равнобедренного треугольника Ахмес умножает его основание на половину боковой стороны; та же ошибка делается при определении площади равнобочной трапеции. Впрочем, в определении площади круга Ахмес подходит весьма близко к истине: чтобы построить квадрат, равновеликий кругу, по правилу Ахмеса, нужно за сторону квадрата принять диаметр круга, уменьшенный на ⅑ его часть; это соответствует значению π = 3,16… Ахмес занимается также вычислениями, относящимися к пирамидам и другим простым телам. „Эту практическую Г. египтян“, говорит Ф. Кэджори, „едва ли можно назвать наукой. Напрасно стали бы мы искать в ней теорем и доказательств или логической системы, основанной на аксиомах и постулатах“. Эти зачатки Г. были перенесены в Элладу и греческим гением претворены в цельную науку.
Помимо отдельных отрывков у греческих философов и историков и помимо сохранившихся математических сочинений, единственным источником наших сведений о ходе развития Г. у греков являются комментарии Прокла (V ст. п. Р. X.) к первой книге „Начал“ Евклида; они начинаются историческим введением, главными первоисточниками для которого, повидимому, служили не дошедшая до нас история греческой Г. Евдема Родосского, комментарии Герона, Порфирия и Паппа.
Первым геометром Греции греческие авторы согласно называют первого из семи мудрецов древности — Фалеса Милетского (VII—VI ст. до Р. Хр.). Различные авторы приписывают ему, однако, различные предложения. По мнению П. Таннери, одного из наиболее глубоких знатоков греческой Г., Фалес, быть может, и владел кое-какими теоретическими сведениями, но его вряд ли можно действительно считать отцом Г., как это склонны делать некоторые авторы. Нити первого зарождения научной Г. совершенно теряются в мифической древности, и Пифагор (см.) является первой исторической личностью, имя которого неразрывно связано с Г.
Как известно, Пифагор и его последователи не распространяли своих открытий в письменной форме; сведения о пифагорейской Г. мы поэтому имеем также из вторых и даже третьих рук. Эти сведения крайне отрывочны, но очень характерны: они обнаруживают, что в конце VI века до Р. X. Г. достигла уже в Греции значительного развития. Пифагору приписываются, в первую очередь, две основные теоремы Г.: о сумме углов в треугольнике и о соотношении между квадратами, построенными на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника. Значение этих предложений так велико, что ими, по существу, определяется вся дальнейшая Г.; недаром Пифагор, по преданию, ознаменовал гекатомбой свое последнее открытие. Пифагору приписывается также предложение о том, что плоскость можно сплошь покрыть правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками; Пифагор умел строить фигуру, подобную данной. Правильный пятиугольник служил излюбленной эмблемой пифагорейцев; но для построения правильного пятиугольника нужно уметь производить деление отрезка в среднем и крайнем отношении, нужно владеть, следовательно, значительно разработанной теорией пропорций. Пифагорейцам были известны четыре правильных многогранника: тетраэдр, куб, октаэдр и икосаэдр; склонные к мистическим представлениям, пифагорейцы принимали эти тела за символы четырех стихий (по порядку, огня, земли, воздуха и воды); когда позднее был открыт правильный додекаэдр, то за отсутствием пятой стихии — он был принят за символ оболочки вселенной. Но, быть может, самое замечательное открытие Пифагора это — существование иррациональных величин; ключом к этому открытию служила, конечно, связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Сведения о пифагоровой Г. отрывочны, так как разрознены источники, из которых мы их почерпаем; но сказанного достаточно, чтобы видеть, как значительны уже были в ту пору сведения из различных отделов Г. и как велик был вклад, внесенный в эту науку пифагорейцами. Проследить шаг за шагом развитие отдельных частей Г. в эту отдаленную эпоху невозможно. Не подлежит сомнению, что над задачами Г. в то время уже размышляли многие мыслители, имена которых до нас не дошли и результатом коллективного творчества которых и явилась классическая Г. В V веке до Р. Хр. Гиппократ Хиосский сделал уже первую попытку объединить накопившийся материал в одну систему: он написал первые „Начала Г.“. Гиппократ, стоявший вне пифагорейской школы, сделал и собственный значительный вклад в Г.: ему принадлежит, повидимому, предложение о пропорциональности площадей круга квадратам их радиусов; это предложение привело его к квадратуре знаменитых луночек, по настоящее время носящих его имя. Повидимому, это открытие было сделано в связи с первыми поисками квадратуры круга, — исторической проблемы, которая уже в то время занимала умы (см. квадратура) рядом с задачами об удвоении куба и трисекции угла.
Вся история математики представляет собой систематическое чередование периодов фактических открытий и логической разработки накопившегося материала. Эпоха расцвета греческой философии, главным образом, школа Платона, была первым периодом тонкого логического анализа накопившегося геометрического материала. В глазах Платона этот анализ представлял собою школу, которую должен был пройти каждый философ; с этого времени и по наши дни изучение Г. становится одной из главных составных частей общего образования, имеющей задачу дисциплинирование ума. Определения основных понятий, различные выводы и доказательства теорем, решение конструктивных задач, систематизация материала, составление обзоров развития Г. — таков главный характер геометрических работ в школе Платона. К этому периоду (хотя и не к этой школе) относится и Евдокс из Книды, создавший замечательную теорию пропорций, которую Евклид позже воспроизвел в своих „Началах“; несколько позже (IV ст.) жил Менэхм, сделавший один из величайших вкладов в Г.: он открыл конические сечения.
Завершение этой логической разработки накопившегося геометрического материала переносит нас в Александрию, которая в середине IV столетия до Р. Хр. становится центром интеллектуальной жизни античного мира. Великому Александрийскому ученому, Евклиду, выпало на долю заполнить пробелы и завершить систематизацию основ Г. Как мы уже упоминали выше, первая попытка объединить геометрический материал в одном руководстве была сделана Гиппократом Хиосским; после него писали „Начала“ Феатет, Лев и др.; но ни одно из этих сочинений до нас не дошло: все они были забыты, когда появилось одно из замечательнейших научных произведений, которое когда-либо было написано, „Εὐκλείδου Στοιχεῖα“ — „Начала Евклида“.
Об авторе этого сочинения нам известно очень мало; расцвет его деятельности совпадает, повидимому, с периодом царствования первого Птолемея (305—283 до Р. Хр.). В историческом отрывке, сохранившемся в передаче Прокла (см. выше), деятельность Евклида очерчена следующими словами: „Не многим моложе последнего (Филиппа, ученика Платона) был Евклид, который составил „Начала“, собрал в одно целое многое, принадлежавшее Евдоксу, закончил многое, начатое Феатетом, и дал неоспоримые доказательства тому, что было слабо доказано его предшественниками“.
Опираясь на труды своих предшественников, Евклид создал замечательную геометрическую систему, которая оставила далеко за собой все, что было написано в этом направлении до него, и конкурировать с которой не решился ни один из греческих геометров, живших после него. Ὁ στοιχειοτής (Составитель Начал) сделалось собственным именем, под которым все позднейшие греческие математики разумели Евклида, а его „Начала“ сделались учебником, по которому в течение двух тысячелетий учились Г. юноши и взрослые. На этом центральном сочинении, вокруг которого сосредоточено все дальнейшее развитие Г., мы не можем не остановиться подробнее.
Большое распространение, которое получили „Начала“, создало множество списков, далеко не тождественных, и восстановить точный текст Евклида представляло нелегкую задачу. Лучшим в настоящее время считается издание Гейберга (см. ниже).
„Начала“ состоят из 13 книг, которые, однако, не все посвящены Г. Книги VII, VIII и IX посвящены теории чисел, как говорят одни, арифметике, как — по нашему мнению, правильнее — говорят другие (см. Арифметика, III, 449). Книга V представляет собой как бы связующее звено между Г. и арифметикой; она содержит теорию пропорций. Книга X посвящена теории иррациональных величин. Эти пять книг, менее известные, чем остальные, чисто геометрические, представляют собой, быть может, наиболее замечательную часть сочинения: в такой мере глубок анализ, в такой мере тонки вопросы, которые автор себе ставит. Трудности в теории иррациональных величин, в теории отношений несоизмеримых величин, которые склонны обходить многие математики нашего времени, которых многие даже не замечают, совершенно ясны Евклиду; и нельзя достаточно надивиться тому умению, с которым Евклид справляется с этими вопросами. Так сильна была у греков способность к отвлеченному мышлению.
Обратимся, однако, к геометрическим книгам. Книга первая содержит условия равенства треугольников, соотношения между сторонами и углами треугольника, теорию параллельных линий, свойства параллелограммов, условия равновеликости треугольников и многоугольников и заканчивается задачей о превращении всякого многоугольника в равновеликий ему треугольник. Книга вторая доводит тот же вопрос до превращения всякого треугольника в равновеликий ему квадрат. Попутно Евклид в геометрической форме доказывает ряд тождеств, которые мы так просто доказываем теперь алгебраически, — например: ab + а(a − b) = a² (теор. 2), ab = b(a − b) + b² (теор. 3) и т. д.
Книга третья посвящена окружностям: здесь рассмотрены главные свойства окружности, относительное положение двух окружностей, а также прямой и окружности, соотношения между центральными и вписанными углами. Книга четвертая трактует о вписанных и описанных многоугольниках. Книга шестая содержит теорию подобия многоугольников и, в связи с этим, теорию площадей прямолинейных фигур. Заметим при этом, что Евклид не дает алгебраических выражений для площадей параллелограмма, треугольника и т. п.; он ограничивается только тем, что устанавливает отношения между соответствующими площадями. В сущности, к этому и сводится вопрос об измерении фигур. Одиннадцатая и двенадцатая книги содержат начала стереометрии, теорию объемов многогранников и основных тел вращения. Наконец, книга тринадцатая рассматривает правильные многогранники.
Сопоставляя этот материал с тем, что было сказано выше об успехах греческой Г., мы видим, что „Начала“ отнюдь не содержат всего геометрического материала, которым греки в то время владели. Это — введение в Г., это — ее элементы, это — „элементарная Г.“, как мы ее понимаем по сей день.
Таково содержание „Начал“ Евклида. Теперь обратимся к способу изложения.
Каждая книга начинается рядом определений всех тех понятий, которые в этой книге появляются. Первая книга начинается 23 определениями. За ними следуют постулаты (αἰτήματα) и аксиомы (κοιναὶ ἒννοιαι). Далее следуют одно за другим, безо всяких связующих рассуждений, предложения. Каждое предложение формулируется, затем указывается, что дано и что требуется доказать; далее следует доказательство с ссылками на предыдущие предложения, определения, постулаты и аксиомы. Наконец, каждое доказательство заключается словами „ὅπερ ἒδει δεῖξαι“ (что и требовалось доказать), каждое построение (решение задачи) словами „ὅπερ ἔδει ποιἤσαι“ (что и требовалось сделать).
Для Евклида нет мелочей; все детали доказательств, необходимость которых он умеет усмотреть, даже наиболее легкие, он излагает с тем же спокойствием, с каким он относится к наиболее трудным вопросам. С невозмутимым терпением он всякий раз одинаково подробно разбирает все случаи, которые могут представиться при доказательстве той или иной теоремы. Он старается предупредить каждый вопрос, каждое сомнение, которое может возникнуть у читателя.
Как руководство по Г., „Начала“ вытеснили все другие сочинения того же рода; но нужно иметь в виду, что это не элементарный учебник; это своего рода лекции, которые читались в Александрийской высшей школе. Но позже „Начала“ перерабатывались для юношей, и тот именно материал, который вошел в книгу Евклида, с непосредственно примыкающими дополнениями получил наименование „элементарной Г.“, установившееся и сохранившееся поныне.
Кроме „Начал“, Евклид написал еще ряд других сочинений, из которых в чистом виде до нас дошли два — „Данные“ и „Оптика“. Судя по этим сочинениям и отрывочным сведениям, которые дошли до нас об остальных (см. Евклид), одни из них, например, „Данные“, „Поризмы“, „Псевдарии“, представляли, главным образом, дальнейшую логическую разработку основных идей Г.; другие — „О делениях“, „Поверхностные геометрические места“ — составляют собрания серьезных задач частью на построение, частью на разыскание геометрических мест (к этим можно причислить и „Данные“); третьи, главным образом — „Конические сечения“, содержат материал, не вошедший в состав „Начал“; наконец, четвертые — „Феномены“, „Оптика“, „Музыка“ — содержат приложения Г. к астрономии, физике и гармонии. Таким образом, сочинения Евклида в совокупности охватывают весь материал современной ему Г.; в таком масштабе это был, конечно, первый и единственный в своем роде трактат.
Однако, это не значит, что после Евклида наступил упадок Г. Напротив, ближайшее после Евклида столетие представляет собой новый мощный подъем, можно сказать, золотой век греческой Г. В эту эпоху почти одновременно жили и творили три геометра, занимающие, быть может, наиболее выдающееся место среди греческих математиков; это были Архимед, Эратосфен и Аполлоний.
Об Архимеде (см.), по сохранившимся преданиям о его защите Сиракуз, в публике сложилось представление, как о представителе, главным образом, прикладной математики. В известной мере, это действительно справедливо: его сочинения „О равновесии плоских фигур“ и „О равновесии плавающих тел“ несомненно содержат основу современной механики (вернее, статики); но остальные сочинения (в том числе 7 дошедших до нас) носят чисто математический характер. Главная заслуга Архимеда заключается в указании методов измерения длины окружности, площади круга, объема и поверхности шара, площади параболы — вообще, следовательно, измерения криволинейных образов. У Архимеда впервые получил цельную разработку тот прием, который в средние века был известен под названием метода исчерпывания, а в нашей элементарной Г. известен под названием метода пределов. Конечно, никакого общего обоснования этого метода ни у Архимеда, ни у позднейших греческих геометров нет; вряд ли здесь даже возможно говорить об едином методе. Но для того, кто смотрит на эти приемы с современной точки зрения, в них совершенно ясно вырисовываются те общие идеи, которые положены в основу современного интегрального исчисления. С особой явственностью эти идеи выражены в недавно открытом „Эфодике“, — послании к Эратосфену о некоторых теоремах механики. Сущность Архимедова метода в применении, напр., к квадратуре параболы заключается в том, что он вписывает в нее треугольники, последовательно удваивая число их, и этими треугольниками постепенно „истощает“, „исчерпывает“ измеряемую площадь; тела вращения в „Эфодике“ рассматриваются, как состоящие из бесчисленного множества круговых сечений, заполняющих объем. Этими методами Архимед нашел приближенное значение числа π (3⅐), носящее его имя. Учение об измерении круга и шара в том виде, как оно разработано Архимедом, и составляет главное дополнение к „Началам“ Евклида, вошедшее вместе с последними в состав элементарной Г. (см. выше).
Заслуги Эратосфена относятся, главным образом, к астрономии и геодезии: в Г. он оставил только аппарат, служащий для построения двойной средней пропорциональной (т. е. отрезка x, определяемого пропорциями a:y =y:x; y:x = x:b), в частности для удвоения куба. Зато Аполлоний Пергамский обессмертил свое имя трактатом о конических сечениях, в котором эти замечательные кривые изучены с такой исчерпывающей полнотой, что дальнейшие исследования фактически прибавили к нему весьма немного. Наши методы оставляют далеко за собой сложные рассуждения Аполлония; но фактический материал, изучаемый, например, нашими студентами в университете, не охватывает всего содержания трактата Аполлония. Нам придется еще возвратиться к этому трактату (см. приложение). Трудами Аполл., можно сказать, завершается классическая Г. „Евклид, Архимед, Эратосфен и Аполлоний“, говорит Мориц Кантор, „довели математику до такой высоты, дальше которой старыми методами ее невозможно было развивать. И не только выше нельзя было подняться, но и достигнутые вершины науки были вскоре исследованы во всех направлениях. Оставалось вернуться обратно, осмотреться, разобраться в частностях того материала, мимо которого проскользнули творцы науки, быстро взбираясь на ее крутизны“.
С этого именно времени начинается упадок геометрического творчества. Первое столетие до Р. Хр. и первое после Р. Хр. еще дали отдельных выдающихся геометров (Феодосий, Менелай, Герон, Никомах); но это уже люди меньшего размаха, вклады которых в науку носят изолированный, частичный характер. Составляется впечатление, что все главное, принципиальное уже сделано; можно вносить лишь поправки и дополнения второстепенного значения. После Птолемея упадок идет уже быстрыми шагами, и математическая мысль сосредоточивается, главным образом, на разборе „Начал“ Евклида. Издаются многочисленные к ним комментарии, которые, по большей части, ничего не вносят ни в фактическую, ни в логическую сторону дела: они перебирают случаи, Евклидом опущенные, пополняют и исправляют определения, вносят новые аксиомы и леммы. „Но всеми этими случаями, леммами, новыми доказательствами“, говорит Прокл, „мы уже насыщены до отвала“. Лишь немногие из комментаторов Евклида возвышались до действительно продуктивной разработки и критики; мы упомянем только Теона (IV ст.), которому принадлежит издание Евклида, давшее начало почти всем сохранившимся спискам, Паппа, также жившего около IV столетия, и Прокла (V ст.), последнего из глубоких классических комментаторов Евклида. С падением греческой культуры была забыта и греческая Г.
О развитии так называемой классической Г. у других народов не приходится много говорить. Римляне ничего в нее не внесли; здесь нельзя назвать ни одного имени, которое приближалось бы, если не к великим творцам Г., то хотя бы к греческим геометрам второй величины. Только римские землемеры оставили некоторые практические приемы, сохранившие свою ценность. Начатки интуитивной Г., которые мы находим в поэтических трактатах индусских астрономов (Арьябхатта, Брахмагупта, Бхаскара) совершенно бледнеют перед созданием греческого гения.
Хранителями греческой науки после падения античной культуры явились арабы. Арабская наука в эпоху своего расцвета (X—XIII ст.) выдвинула и весьма выдающихся математиков, но это все были алгебраисты, их считают даже отцами алгебры (см. II, 88); но геометров, которые сделали бы крупный вклад в эту науку, они не выдвинули; даже Насир Эддин (XIII ст.) играет лишь скромную роль комментатора Евклида. Но арабы перевели сочинения греческих геометров и прежде всего Евклида на арабский язык: они их тщательно изучали и комментировали; они послужили, таким образом, проводниками классической Г. в новую европейскую культуру.
B XII ст. начинается возрождение науки в Италии и на западе Европы. В 1220 г. знаменитый итальянский геометр, Леонард Пизанский (см.), опубликовал сочинение под названием „Practica Geometriae“. Это — руководство, содержащее, главным образом, практические сведения из Г., заимствованные у Евклида и Архимеда. С этого времени, сначала в Италии, а затем во Франции и Германии, начинают появляться руководства по Г., перечислять которые нет нужды; большая часть из них — новые издания, переводы и переработки Евклида; некоторые составляют попытки заново разработать элементы геометрии, — но эти попытки чрезвычайно слабы. На протяжении столетий мы не можем указать крупных вкладов в Г.; задачи, интересующие геометров, как бы сузились до отдельных частных вопросов, правда, часто очень интересных и трудных. Новый подъем геометрического исследования начинается с XVII столетия, но он характеризуется уже совершенно другими приемами. В классич. же Г. даже „Начала“ Лежандра (1-ое изд. 1794) внесли изменения исключит. по форме и методу разработки, a не по существу. „Начала“ Лежандра послужили прототипом, по кот. составляются наши учебники Г.; все соврем. руководства элемент. Г. построены более или менее по этому типу. Т. к. идеи, с кот. связано дальн. развитие Г., носят более спец. характер, то продолжение статьи Г. выделено в приложение.
В. Каган.