Эллипс. — Предположим, что на плоскости даны две точки и Геометрическое место точки для которой сумма расстояний и — величина постоянная, есть кривая линия, называемая Э. Точки и суть фокусы. Если в точке или поместить источник света, то лучи после отражения от дуги Э. соберутся в или Отсюда и происходит название фокус (очаг, foyer, Brennpunkt). Точка О, делящая прямолинейный отрезок пополам, есть центр кривой. Это значит, что в точке О делится пополам всякая хорда, проходящая через эту точку. Введем обозначения:
Если начало координат возьмем в точке O, ось x-ов направим по линии , ось у-ов по перпендикуляру к , то уравнение Э. будет
Вид этой кривой изображен на табл. 1, фиг. 1 (XVI, 740). Отложим по оси х-ов расстояние , равное , в ту сторону, где находится точка , и проведем прямую перпендикулярно к оси x-ов. Эта прямая называется директриссой. Расстояние до этой прямой обозначим через . Для всякой точки Э. отношение есть величина постоянная, называемая эксцентриситетом и обозначаемая буквой . В нашем случае . Это показывает, что для Э. . По другую сторону центра лежит фокус и соответствующая ему директрисса . Точки пересечения Э. с осью х-ов (на ней находятся фокусы) обозначим через и , а с осью у-ов через и . В таком случае
назыв. большой осью Э., а — малой осью. Точки , , , назыв. вершинами Э. Мы предполагаем, что и находятся на положительных частях осей координат, а и — на отрицательных. Если начало координат перенесем в и сохраним прежнее направление осей координат, то уравнения Э. будет
где , . Число называется параметром. Уравнение
выражает Э. относительно полярной системы координат, причем полюс находится в фокусе, а полярная ось проходит через вершину Э. При пересечении конуса плоскостью, удовлетворяющей некоторым условиям, получается Э. См. Конические сечения (XV, 954).