БСЭ1/Эллипс

Эллипс
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Электрофор — Эфедрин. Источник: т. LXIV (1933): Электрофор — Эфедрин, стлб. 62—63 ( РГБ )

ЭЛЛИПС, плоская кривая, к-рую можно получить из круга, если его «сжать» в одном из двух взаимно-перпендикулярных направлений (рис. 1). Э. есть один из типов конических сечений (см.).

Э. представляет ограниченную замкнутую кривую, имеющую центр и две взаимно-перпендикулярные оси симметрии (главные оси). Если взять оси симметрии за координатные, то уравнение Э. можно представить в виде:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

Величины a и b называются полуосями Э.

На большей оси на расстоянии $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ по обе стороны от центра лежат две точки, называемые фокусами Э. Файл:БСЭ1/ЭллипсРис. 1. Файл:БСЭ1/ЭллипсРис. 2. Расстояние c называется линейным эксцентриситетом Э. Сумма расстояний каждой точки Э. до обоих фокусов есть величина постоянная и равна 2a (a — большая полуось). На этом свойстве Э. основан простейший способ его вычерчивания. Воткнув в лист бумаги две кнопки или булавки на расстоянии F₁ — F₂^{[ВТ 1]}, равном заданному линейному эксцентриситету, укрепляют на них нить длины 2a и, оттянув ее карандашом, проводят кривую так, чтобы нить все время оставалась оттянутой (рис. 2). Файл:БСЭ1/ЭллипсРис. 3. Другой очень удобный способ графического построения Э. таков. На большой оси Э. AA¹ строим круг диаметра 2a (рис. 3); взяв ординату любой точки его MQ, получим точку Э. P, если уменьшим

ординату MQ в отношении a:b. Для этого строим на оси BB¹ круг радиуса 2b, проводим радиус OQ и через точку его пересечения с этим кругом R проводим прямую, параллельную AA¹; ее пересечение с MQ и дает искомую точку P. Существуют также приборы, так наз. эллиптические циркули, для механического построения Э.

Касательные и нормали к Э. проще всего можно построить, пользуясь теоремой о том, что касательная PT делит пополам угол F₁PS, а нормаль PN — угол F₁PF₂. Поэтому, если из точки P как центра провести окружность, проходящую через B, то нормаль PN должна быть параллельна OS (рис. 4).

Параллельно меньшей оси Э. на расстоянии ${\frac {a^{2}}{c}}$ по обе стороны от центра расположены две прямые, называемые директриссами Э. Файл:БСЭ1/ЭллипсРис. 4. Отношение расстояния точки Э. до фокуса к ее расстоянию до директриссы есть постоянная величина, именно $e={\frac {c}{a}}$. Эта величина называется численным эксцентриситетом Э. Указанное свойство касательной имеет применение в оптике (см.). Именно, если построить зеркало в форме поверхности вращения Э. вокруг большей оси и поместить светящуюся точку в фокусе эллипса, то после отражения лучи соберутся точно в другом фокусе.

Каждая хорда Э., проходящая через его центр, называется диаметром Э. Если углы φ₁, φ₂ двух диаметров с большей осью связаны зависимостью $\operatorname {tg} \varphi _{1}\cdot \operatorname {tg} \varphi _{2}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$, то диаметры называются сопряженными. Площадь эллипса равна πab. О проективном построении и свойствах эллипса см. Проективная геометрия.

Ур-ие Э. в полярных координатах, если за полюс взять один из фокусов, а за ось — большую ось Э.:

$r={\frac {p}{1+c\cos \theta }},~~~~{\text{где}}~~p={\frac {b^{2}}{a}}.$

Э. играют большую роль в астрономии (см.). Согласно закону Кеплера, планеты обращаются вокруг Cолнца по Э., причем Cолнце находится в одном из фокусов Э^{[ВТ 2]}.

Лит.: Любой курс аналитической геометрии (см.).

Примечания редакторов Викитеки

1. В редакции 2-ого завода, в 1-ом — F₁, F₂
2. В редакции 2-ого завода, в 1-ом — «Согласно закону Кеплера, планеты обращаются вокруг солнца по Э., причем солнце находится в одном из фокусов Э»