Фигурные или многоугольные числа — дана арифметическая прогрессия (XXV, 350) с разностью, равной единице
1, 2, 3, 4, 5, 6….
Суммы членов этой прогрессии
1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10,…
образуют ряд треугольных чисел. Подобным же образом
1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16,…
есть ряд четырехугольных чисел, а
1 + 4 = 5, 1 + 4 + 7 = 12, 1 + 4 + 7 + 10 = 22,…
ряд пятиугольных чисел.
Точно так же получаются семи-, восьми- и другие многоугольные числа.
Чтобы объяснить эти названия, рассмотрим для примера пятиугольные числа.
Представим себе несколько правильных пятиугольников, стороны которых равны 1, 2, 3 и т. д. Наложим эти многоугольники друг на друга так, чтобы один угол был общий; тогда получим указанный чертеж:
Если отложим на каждой стороне длины равные единице, то число точек деления в одном пятиугольнике будет 5, в двух 12, в трех 22 и т. д.