ЭСБЕ/Объем

Объем
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Нэшвилль — Опацкий. Источник: т. XXIa (1897): Нэшвилль — Опацкий, с. 637—639 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Объем — вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в О. кубических единиц. Вычисление величины О. производится с помощью приемов, излагаемых в геометрии и интегральном исчислении. Приводим здесь формулы, выражающие величины объема некоторых геометрических тел:

A. Выражения О. правильных многогранников, в которых a означает длину ребра, R — радиус описанного шара, r — радиус шара вписанного.

Тетраэдра	${\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{12}}={\frac {8}{27}}R^{3}{\sqrt {3}}=8r^{3}{\sqrt {3}}$
Куба	$a^{3}={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}R^{3}=8r^{3}$
Октаэдра	${\frac {a^{3}}{3}}{\sqrt {2}}={\frac {4}{3}}R^{3}=4r^{3}{\sqrt {3}}$
Додекаэдра	${\frac {a^{3}}{4}}{\sqrt {5}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)={\frac {2}{9}}R^{3}{\sqrt {15}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)=10r^{3}{\sqrt {2}}{\sqrt {65-29{\sqrt {5}}}}$
Икосаэдра	${\frac {5}{12}}a^{3}\left(3+{\sqrt {5}}\right)={\frac {2}{3}}R^{3}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=10r^{3}{\sqrt {3}}\left(7-3{\sqrt {5}}\right)$

B. Величина О. всякой прямой или наклонной к основанию призмы равняется произведению из площади основания на высоту. О. прямоугольного параллелепипеда, длины сторон которого суть a, b, c, равняется abc. Величины О. прямых или наклонных призм высоты h, основания которых суть правильные многоугольники, стороны которых имеют длину a, выражаются формулами: призма с основанием треугольным ${\frac {a^{2}h}{4}}{\sqrt {3}}$, призма с основанием квадратным а²h, призма с основанием пятиугольным ${\frac {5}{4}}a^{2}h{\sqrt {1+{\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}}}$, призма с основанием шестиугольным ${\frac {3}{2}}a^{2}h{\sqrt {3}}$.

С. Величина О. всякой прямой пирамиды высоты h равняется одной трети произведения из площади основания на высоту. Величины О. правильных пирамид, основания которых суть правильные многоугольники, длины сторон которых равны a, выражаются следующими формулами: треугольная пирамида ${\frac {a^{2}h}{12}}{\sqrt {3}}$, четырехугольная пирамида ${\frac {a^{2}h}{3}}$, шестиугольная пирамида ${\frac {a^{2}h}{2}}{\sqrt {3}}$. Величина О. пирамиды, отсеченной параллельно основанию, выражается следующей формулой, в которой G означает величину площади основания, a — длину одной из сторон его, b — длину соответствующей стороны верхнего сечения, h — высоту верхнего сечения над основанием: ${\frac {h}{3}}G\left(1+{\frac {b}{a}}+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\right)$.

D. Величина О. прямого или наклонного к основанию цилиндра равняется произведению из величины площади основания на высоту h цилиндра. Величины О. цилиндров, основания которых суть: круг радиуса R … $\pi R^{2}h$, эллипс, полуоси которого a и b … $\pi abh$. Величина О. стены цилиндрической трубки, прямой или наклонной к основанию, если основание стенки трубки есть плоское кольцо, заключающееся между кругами радиусов R и r, выражается: $\pi (R^{2}-r^{2})h$. Величина О. кругового прямого цилиндра, отсеченного наклонно к основанию, если длина наибольшей производящей есть H, а наименьшей — h, выражается формулой $\pi R^{2}{\frac {H+h}{2}}$. Если секущая плоскость проходит через центр круга, служащего основанием и наибольшая производящая имеет длину h, то О. отрезка цилиндра равен ${\frac {2}{3}}R^{2}h$.

Е. Величина О. всякого конуса высоты h выражается одной третью произведения площади основания на высоту. Величина О. прямого кругового конуса: ${\frac {1}{3}}\pi R^{2}h$. Величина О. прямого кругового конуса, срезанного параллельно основанию, если r есть радиус крута сечения, а h высота сечения над основанием, выражается формулой: ${\frac {1}{3}}\pi h(R^{2}+Rr+r^{2})$.

F. Величина О. шара радиуса R равна: ${\frac {4}{3}}\pi R^{3}$. Величина О. шарового сегмента высоты h при радиусе r выражается так: ${\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3r-h)$. Величина О. шарового пояса высоты h, если радиусы кругов сечений суть r₁ и r₂, выражается так: ${\frac {1}{6}}\pi h(3r_{1}^{2}+3r_{2}^{2}+h)$. О. шарового сектора, состоящего из сегмента высоты h и конуса высоты (R—h), равен: ${\frac {2}{3}}\pi R^{2}h$. О. трехосного эллипсоида, главные полуоси которого суть a, b, c, равен: ${\frac {4}{3}}\pi abc$. О. кольца с круговым сечением выражается так: $2\pi ^{2}Rr^{2}$, если r есть радиус круга сечения и R — радиус круга, образуемого центрами сечений. О. части параболоида вращения, отсеченной плоскостью, отстоящей на h от вершины, если r радиус круга сечения, выражается так: ${\frac {1}{2}}\pi r^{2}h$. О. бочки, глубины h, если диаметр дна равен d, а средний диаметр D, выражается, при параболическом виде меридионального сечения так: ${\frac {1}{15}}\pi h\left(2D^{2}+Dd+{\frac {3}{4}}d^{2}\right)$, а при круговом меридиональном сечении приблизительно: ${\frac {1}{12}}\pi h(2D^{2}+d^{2})$.

G. О. какого-либо тела вращения вычисляется по правилу Гюльдена таким образом: величина О. равняется $2\pi r_{0}F$, где F есть величина площади меридионального сечения тела, r₀ — расстояние центра инерции этой площади от оси вращения.

Д. Б.

Определение объемов путем опыта. — Измерение линейных размеров позволяет точно вычислить О. тела только в том случае, когда его форма геометрически определена и поверхность очень правильно выполнена. Тщательные измерения этого рода производились только для определения веса единицы объема воды при определении системы мер. Для жидкостей и газов измерение объема удобно производить с помощью разного рода мерных сосудов (см. Лаборатория и Объемный анализ), но для твердых тел приходится прибегать к особого рода приемам. Когда тело однородное и плотность, т. е. масса единицы его О., известна, для определения всего его О. достаточно взвешивания, так как вес P всегда равен весу единицы О. вещества D, помноженному на число единиц V, выражающее О. тела, откуда: $V={\frac {P}{D}}$, а ${\frac {1}{D}}=$ О. единицы веса тела плотности D. Для получения точных результатов, в этом случае разновес должен быть «нормальным», т. е. представлять действительно граммы, золотники и т. п., а не произвольные единицы массы, близкие к ним; необходимо также исключать двойным взвешиванием (см.) влияние неравенства плеч весов и делать поправку на вес вытесненного воздуха. Если назовем p вес кубического сантиметра воздуха при условиях взвешивания, q вес гирек в граммах, а d их удельный вес, то искомый О. V можно выразить: $V=q\left[{\frac {1}{D}}+p\left({\frac {1}{D}}-{\frac {1}{d}}\right)\right]$, где D удельный вес тела при температуре взвешивания. Ту же формулу легко применить и к определению емкости V′ сосуда по весу жидкости плотности D, его наполняющей: надо только определить гири q₀, уравновешивающие пустой сосуд:

$V'=(q-q_{0})\left[{\frac {1}{D}}+p\left({\frac {1}{D}}-{\frac {1}{d}}\right)\right]$.

Надо заметить, что числа, выражающие плотности разных веществ, изменяются в своих сотых и даже десятых долях от строения вещества и примесей. Это обстоятельство заставляет прибегать к гидростатическому взвешиванию (см.), когда требуется возможно большая точность в определении О. Можно применять и собственно способ Архимеда: взвешивать или непосредственно измерять количество воды, вытекшее из наполненного до краев сосуда, когда в него погрузят измеряемое тело. Чтобы удобнее собирать вытекающую воду, сосуд снабжают боковой трубкой или сифоном с короткой наружной ветвью. Налив избыток воды, дают ему свободно стечь, и потом уже погружают тело; чтобы вода не вылилась из самого сифона, его отверстие должно быть достаточно сужено или закрыто сеткой (Мейер). Этот способ может дать довольно большую процентную точность, если тело не слишком мало. Для тел растворимых или вообще изменяющихся от прикосновения жидкостей можно определять О. основываясь на законе Мариотта, пользуясь «объемомерами» или «волюменометрами». Первоначально такой прибор был изобретен в 1797 г. инженерным капитаном Ce (Say) под именем «стереометра», затем ему придали более удобные формы: Реньо, Копп и др. В наиболее простом виде объемомер Реньо может быть устроен следующим образом. Стеклянный сосуд V своими пришлифованными и смазанными салом краями может быть плотно прижат винтом к пластинке A, снабженной краном B и внутренним каналом, соединяющим V с манометром CDEF, у которого трубка EF может подниматься и опускаться за прозрачной шкалой, нанесенной на стекле.

Фиг. 1.

На CD сделано раздутие g, и О. его v между двумя кольцевыми чертами тщательно измерен посредством взвешивания ртути его наполнявшей. Сначала, при открытом кране B, устанавливают уровень ртути в CD на верхней черте, поднимая трубку FE; тогда запирают B и опускают FE пока уровень ртути придет к нижней черте и воздух, замкнутый в сосуде V займет О. V + v, а в открытом колене ртуть будет стоять на h см. ниже, чем в закрытом. Называя H высоту барометра, получим, на основании закона Мариотта, уравнение:

$V:V+v=H-h:H$, откуда $V=v\cdot {\frac {H-h}{h}}$.

Узнав таким образом О. всего сосуда V, вводят в него измеряемое тело х и повторяют опыт: искомый О. будет разность V и полученного из второго опыта О., оставшегося в сосуде воздуха. Можно поступать и в обратном порядке: замкнуть V+v и сжать до V. Объемомер — прибор не достоверный, так как редко условия опыта не осложняются посторонними влияниями: изменением температуры, изменением количества воздуха в сосуде, вследствие различного сгущения его на поверхности, когда тело пористое, и особенно присутствием переменного количества водяного пара, когда тело гигроскопично. В таких случаях О. того же тела получается иной, если повторять опыт, изменяя степень разрежения и другие условия. Несмотря на эти недостатки, объемомер, основанный на законе Мариотта, незаменим во многих случаях, когда приходится определять вес единицы О. тел, изменяющихся от прикосновения жидкостей, например тканей, почвы, муки, дерева, некоторых растворимых солей и т.п.

В. Л.

Для измерения О. древесины, в обрубках, по О. вытесненной последней воды, служит ксилометр в простейшем виде — это деревянный или металлический сосуд, с прикрепленной к его стенке изнутри шкалой, разделенной на равнообъемные части, по которой и отсчитывается О. погружаемой в наполненный водой до определенного уровня сосуд древесины. Видоизменение ксилометра этого типа представляет собой сосуд с узкой сообщающейся трубкой сбоку, снабженной делениями. Другой тип ксилометров — сосуд с боковым отверстием на некоторой определенной высоте, до которой и наливается вода в начале опыта; опуская в сосуд измеряемую древесину и определяя О. вытекшей при погружении последней через отверстие воды, получают искомую величину. В Лисинском лесничестве для измерения О. дров употребляется ящик из толстых половых досок с поверхностью в 1 кв. сажень и высотой в 0,5 сажени. При измерении вода в него наливается доверху, затем кладется ¹/₂ сажени дров и затем, когда последние вынуты, отсчитывается высота, до которой упала вода в ящике после вынимания поленьев.