НЭС/Объем

Объем
Новый энциклопедический словарь

Словник: Ньюфаундленд — Отто. Источник: т. 29: Ньюфаундленд — Отто (1916), стлб. 189—191 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Объем — вместимость геометрического тела, т.-е. части пространства, ограниченной одною или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в О. кубических единиц. Вычисление величины О. производится помощью приемов, излагаемых в геометрии и интегральном исчислении.

Приводим здесь формулы, выражающие величины О. некоторых геометрических тел:

A. Выражения О. правильных многогранников, в которых a означает длину ребра, R — радиус описанного шара, r — радиус шара вписанного:

Тетраэдра  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	$\qquad {\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{12}}={\frac {8}{27}}R^{3}{\sqrt {3}}=8r^{3}{\sqrt {3}}.$
Куба  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	$\qquad a^{3}={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}R^{3}=8r^{3}.$
Октаэдра  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	$\qquad {\frac {a^{3}}{3}}{\sqrt {2}}={\frac {4}{3}}R^{3}=4r^{3}{\sqrt {3}}.$
Додекаэдра  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	$\qquad {\frac {a^{3}}{4}}{\sqrt {5}}(7+3{\sqrt {5}})={\frac {2}{9}}R^{3}{\sqrt {15}}(1+{\sqrt {5}})=10r^{3}{\sqrt {2}}{\sqrt {65-29{\sqrt {5}}}}.$
Икосаэдра  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	$\qquad {\frac {5}{12}}a^{3}(3+{\sqrt {5}})={\frac {2}{3}}R^{3}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=10r^{3}{\sqrt {3}}(7-3{\sqrt {5}}).$

B. Величина О. всякой прямой или наклонной к основанию призмы равняется произведению из площади основания на высоту.

C. Величина О. всякой прямой пирамиды равняется одной трети произведения из площади основания на высоту. Величина О. пирамиды, отсеченной параллельно основанию, выражается следующею формулою, в которой G означает величину площади основания, a — длину одной из сторон его, b — длину соответствующей стороны верхнего сечения, h — высоту верхнего сечения над основанием:

${\frac {h}{3}}G\left(1+{\frac {b}{a}}+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\right).$

D. Величина О. прямого или наклонного к основанию цилиндра равняется произведению из величины площади основания на высоту h цилиндра. Величина О. стены цилиндрической трубки, прямой или наклонной к основанию, если основание стенки трубки есть плоское кольцо, заключающееся между кругами радиусов R и r, выражается: $\pi (R^{2}-r^{2})h$. Величина О. кругового прямого цилиндра, отсеченного наклонно к основанию, если длина наибольшей производящей есть H, а наименьшей — h, выражается формулою $\pi R^{2}{\frac {H+h}{2}}$. Если секущая плоскость проходит через центр круга, служащего основанием, и наибольшая производящая имеет длину h, то О. отрезка цилиндра равен ${\frac {2}{3}}R^{2}h$.

E. Величина О. всякого конуса высоты h выражается одною третью произведения площади основания на высоту. Величина О. прямого кругового конуса ${\frac {1}{3}}\pi R^{2}h$. Величина О. прямого кругового конуса, срезанного параллельно основанию, если r есть радиус круга сечения, a h высота сечения над основанием, выражается формулою

${\frac {1}{3}}\pi h(R^{2}+Rr+r^{2}).$

F. Величина О. шара радиуса R равна ${\frac {4}{3}}\pi R^{3}$. Величина О. шарового сегмента высоты h при радиусе R выражается так: ${\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3r-h)$. Величина О. шарового пояса высоты h, если радиусы кругов сечений суть r₁ и r₂, выражается так: ${\frac {1}{6}}\pi h(3r_{1}^{2}+3r_{2}^{2}+h)$. О. шарового сектора, состоящего из сегмента высоты h и конуса высоты (R − h), равен ${\frac {2}{3}}\pi R^{2}h$. О. трехосного эллипсоида, главные полуоси которого суть a, b, c, paвен ${\frac {4}{3}}\pi abc$. О. кольца с круговым сечением выражается так: $2\pi ^{2}Rr^{2}$, если r есть радиус круга сечения и R радиус круга, образуемого центрами сечений. О. части параболоида вращения, отсеченной плоскостью, отстоящею на h от вершины, если r радиус круга сечения, выражается так: ${\frac {1}{2}}\pi r^{2}h$. О. бочки, глубины h, если диаметр дна равен d, а средний диаметр D выражается, при параболическом виде меридионального сечения, так:

${\frac {1}{15}}\pi h\left(2D^{2}+Dd+{\frac {3}{4}}d^{2}\right),$

‎а при круговом меридиональном сечении приблизительно: ${\frac {1}{12}}\pi h(2D^{2}+d^{2})$.

G. О. какого-либо тела вращения вычисляется по правилу Гульдина таким образом: величина О. равняется $2\pi r_{0}F$, где F есть величина площади меридионального сечения тела, r₀ — расстояние центра инерции этой площади от оси вращения.

Определение О. путем опыта. — Измерение линейных размеров позволяет вычислить О. тела только в том случае, когда его форма геометрически определена. Для жидкостей и газов измерение О. удобно производить помощью разного рода мерных сосудов, но для твердых тел приходится прибегать к особого рода приемам. Когда тело однородное и плотность, т.-е. масса единицы его О., известна, для определения всего его О. достаточно взвешивания, так как вес P равен весу единицы О. вещества D, помноженному на число единиц V, выражающее О. тела, откуда: $V={\frac {P}{D}}$. Надо заметить, что числа, выражающие плотности разных веществ, изменяются в своих сотых и даже десятых долях от строения вещества и примесей. Это обстоятельство заставляет прибегать к гидростатическому взвешиванию, когда требуется возможно большая точность в определении О. Можно применять и собственно способ Архимеда: взвешивать или непосредственно измерять количество воды, вытекшее из наполненного до краев сосуда, когда в него погрузят измеряемое тело. Чтобы удобнее собирать вытекающую воду, сосуд снабжают боковою трубкою или сифоном с короткою наружною ветвью. Налив избыток воды, дают ему свободно стечь и потом уже погружают тело; чтобы вода не вылилась из самого сифона, его отверстие должно быть достаточно сужено или закрыто сеткою (Мейер). Этот способ может дать довольно большую процентную точность, если тело не слишком мало. Для тел растворимых или вообще изменяющихся от прикосновения жидкостей, можно определять О., основываясь на законе Мариотта, пользуясь «объемомерами» или «волюменометрами». Первоначально такой прибор был изобретен в 1797 г. инженерным капитаном Се (Say) под именем «стереометра», затем ему придали более удобные формы: Реньо, Копп, В. В. Лермантов и др. В наиболее простом виде объемомер Реньо может быть устроен следующим образом. Стеклянный сосуд V своими пришлифованными и смазанными салом краями может быть плотно прижат винтом к пластинке A, снабженной краном B и внутренним каналом, соединяющим V с манометром CDEF, у которого трубка EF может подниматься и опускаться за прозрачной шкалой, нанесенной на стекле. На CD сделано раздутие, и О. его v между двумя кольцевыми чертами тщательно измерен посредством взвешивания ртути, его наполнявшей. Сначала, при открытом кране B, устанавливают уровень ртути в CD на верхней черте, поднимая трубку FE; тогда запирают B и опускают FE, пока уровень ртути придет к нижней черте, и воздух, замкнутый в сосуде V, займет О. V + v, а в открытом колене ртуть будет стоять на h см. ниже, чем в закрытом. Называя H высоту барометра, получим, на основании закона Мариотта, уравнение:

$V:V+v=(H-h):H$, откуда $V=v.{\frac {H-h}{h}}.$

‎Узнав, таким образом, О. всего сосуда V, вводят в него измеряемое тело x и повторяют опыт: искомый О. будет разность V и полученного из второго опыта О., оставшегося в сосуде воздуха. Можно поступать и в обратном порядке: замкнуть V + v и сжать до V.