ЭСБЕ/Колебания звучащих тел

Колебания звучащих тел
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Коала — Конкордия. Источник: т. XVa (1895): Коала — Конкордия, с. 670—672 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Колебания звучащих тел. — Число колебаний в единицу времени, быстрота или частота колебаний, зависит от размеров, формы и природы тел. Высота звука, обуславливаемая числом колебаний звучащего тела в единицу времени, может быть определена различными способами (см. Звук). Твердые упругие тела могут совершать продольные, поперечные и крутильные, или вращательные колебания. Воздух же в трубах — только продольные колебания.

Законы поперечных колебаний струн найдены в начале XVII столетия Мерсеном (Mersenne). Высота основного тона струны прямо пропорциональна квадратному корню из натяжения и обратно пропорциональна длине и корню квадратному из произведения плотности струны на площадь поперечного сечения. Эти законы выражаются формулой, данной Тэйлором:

$N={\frac {1}{2L}}{\sqrt {\frac {P}{d.s}}}$.

Кроме основного тона струна может издавать еще и высшие гармонические тоны, причем струна разделяется на несколько равных колеблющихся частей. Струне могут быть сообщены и продольные колебания, вызывающие высокий, пискливый звук. Законы таких колебаний одинаковы как для струн, так и для стержней.

Законы поперечных колебаний стержней найдены теоретически Эйлером, а на опыте проверены Хладни, Лиссажу, Меркадье и др. Если один конец стержня закреплен, а другой свободен, то при самом низком или основном тоне, то есть когда он колеблется целиком, не разделяясь узлами на части, длина звуковой волны равняется учетверенной длине стержня. Формула, как для этого случая, так и для других случаев закрепления стержня, такая:

$N=C{\frac {a}{l^{2}}}{\sqrt {\frac {E}{d}}}$,

где $C$ численный коэффициент, $a$ — толщина, $l$ — длина стержня, $E$ — модуль упругости и $d$ — плотность. Число колебаний, следовательно, не зависит от ширины стержня. Если стержень закреплен на обоих концах, то по форме колебания такие же, как и у струн, но законы другие, потому что в первом случае колебания поддерживаются упругостью формы стержня, а во втором случае колебания зависят от упругости, обусловленной натяжением. Когда оба конца стержня свободны, то получаются по крайней мере два узла, удаленные от концов на расстояние приблизительно равное 1/5 длины. Если бы середина стержня была утолщена, то узлы находились бы ближе к середине. Подобный случай представляет камертон (см.).

Продольные колебания стержня вызывают более высокие звуки, нежели поперечные. Если один конец стержня закреплен, то на нем будет узел, а на свободном конце пучность. Поэтому на стержне поместится или ¼ стоячей волны, или ¾, или вообще нечетное число четвертей волны, то есть $l=(2n-1){\tfrac {\lambda }{4}}$. Но, назвав через $\omega$ скорость распространения продольных волн в стержне, а через $T$ время полного колебания, мы имеем $\lambda =\omega .T={\tfrac {\omega }{N}}$; откуда $N={\tfrac {\omega }{\lambda }}={\tfrac {\omega (2n-1)}{4l}}$. Если оба конца стержня свободны, то в нем помещаются или ½$\lambda$, или $\lambda$ и т. д., то есть вообще четное число четвертей волны. Поэтому для этого случая $N={\tfrac {2n\omega }{4l}}$.

Для основного тона $n=1$. Формулы показывают, что число колебаний обратно пропорционально длине и прямо пропорционально скорости распространения звука в стержне.

Колебания пластинок были впервые изучены Хладни опытным путем (1787 г.). Для опыта тонкая пластинка какой-либо правильной формы, стеклянная или металлическая, закрепляется посередине и на нее насыпают мелкий песок. Если на краю в одном месте придерживать пластинку пальцем, а в другом месте проводить смычком, то песок, вследствие колебаний, скопляется по узловым направлениям, образуя, таким образом, звездчатые фигуры, так называемые Хладниевы фигуры. Чем выше звук, тем сложнее фигура. Хладни нашел, что число колебаний в секунду пропорционально толщине и обратно пропорционально поверхности однородной пластинки, при одинаковости всех прочих условий, то есть $N={\tfrac {Ke}{S}}$, где $K$ есть множитель, зависящий от природы, формы и рода колебаний пластинки. Математическая теория колебаний пластинок разработана Софией Жермен (Sophie Germain) в 1810 г., Лагранжем, Пуассоном, Кирхгофом и др.

Колебания колоколов и круглых сосудов сходны с колебаниями круглых пластинок, когда они зажаты посередине и узловые линии идут по диаметрам. Разделяться эти звучащие тела могут на 4, 6, 8 и вообще четное число колеблющихся частей. При звучании колокола слышатся вместе с основным, низким тоном, также и слабые высшие, притом вообще мало гармоничные тоны. Для исследования К. колоколов, по предложению Хладни, наполняют их водой, на поверхности которой появляются неровности, по которым и можно судить об особенностях изучаемых К.

Колебания перепонок квадратных, круглых и эллиптических, были также обстоятельно изучены, как со стороны опыта, так и теории (Euler, Poisson, Lamé, Kirchhoff, Mathieu, Savart, Bourget и др.). Отличие перепонок от пластинок в акустическом смысле такое же, какое между струнами и стержнями. К. их Савар в 1826 г. изучал по способу Хладни. Натянутая на рамку перепонка помещалась Саваром около органной трубы, в которой с помощью передвигаемого поршня можно было постепенно изменять высоту тона. Савар заметил, что фигуры на перепонке переходили одна в другую непрерывно, не так как на пластинках, и перепонка всегда отвечала всякому тону трубы. Дальнейшие опытные исследования К. перепонок были произведены Бурже и Бернаром (1860).

Колебания воздуха в трубах. Звучащие трубы, употребляемые в музыке, бывают двух родов: 1) мундштуковые (или флейтовые) и 2) язычковые. Воздух, вдуваемый в трубы, приходит в К. и образует в трубе стоячие волны. В мундштуковых трубах (флейты и органные трубы) струя воздуха направляется через отверстие на острый край прореза в стенке трубы. В язычковых трубах воздух, вдуваемый через особое язычковое отверстие, приводит в колебание упругую пластинку (язычок). При этом в одном случае тон обусловливается прямо собственным тоном (числом К.) язычка (особые органные трубы, гармоника и т. п.); в другом случае, напротив, К. воздуха обуславливают К. язычка — тростниковой пластинки (кларнет, гобой и фагот); наконец, в третьем случае, как в медных инструментах, действие язычка исполняют губы, а при пении — голосовые связки гортани. На опыте можно убедиться, во-первых, что при слабом вдувании воздуха в мундштуковую трубу получается низкий, основной тон, а при сильном вдувании — высокие тоны; во-вторых, что высота основного тона в открытой трубе на октаву выше, нежели в закрытой трубе; в-третьих, что высота тона всякой трубы обратно пропорциональна ее длине. Простые законы звучания труб даны Бернулли (1762). Эти законы выводятся следующим образом. Если труба закрытая, то, очевидно, что К. воздуха у закрытого конца невозможны, а поэтому здесь образуется узел; у мундштука, напротив, должна быть пучность. Между узлом и пучностью может поместиться или ¼ или ¾ или вообще нечетное число четвертей стоячей волны, поэтому $l={\tfrac {2n+1}{4}}$, или $N={\tfrac {\omega (2n+1)}{4l}}$, так как $\omega =\lambda .N$. Следовательно, закрытая труба может издавать тоны, числа К. которых обратно пропорциональны длине трубы и которые между собой относятся как ряд нечетных чисел 1:3:5:7…(сходство с К. стержня, закрепленного на одном конце). Если труба открытая, то у обоих концов ее будут пучности. Между 2-мя пучностями может поместиться или одна полуволна, или 2, 3… полуволны. Поэтому $l={\tfrac {\lambda n}{2}}$ и $N={\tfrac {\omega n}{2l}}$.

Отсюда заключаем, что открытая труба может издавать тоны, соответствующие числа К. которых также обратно пропорциональны длине трубы, но которые относятся между собой как ряд натуральных чисел, 1:2:3:4…, причем высота основного тона открытой трубы октавой выше, нежели в такой же закрытой трубе. Опыты, однако, не вполне подтверждают эти законы; они показывают, именно, что число К. основного тона на самом деле несколько меньше, чем это следует из формул. Для согласования формул с опытом надо положить, вместо прежних, для основного тона следующие: $N={\tfrac {\omega }{2(l+a)}}$ и $N'={\tfrac {\omega }{4(l+b)}}$, где добавочные величины $a$ и $b$ малы сравнительно с $l$ и $a>b$.

Точная теория звучащих труб дана Гельмгольцем. Подробности относительно К. звучащих тел можно найти в книге «Cours de physique» par Violle (II) и других руководствах, упомянутых в статьях Акустика и Звук, к которым надо еще прибавить только что вышедшее «Введение в акустику и оптику» профессора А. Г. Столетова.

Н. Гезехус.