ЭСБЕ/Гамильтонов принцип

Гамильтонов принцип
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Гальберг — Германий. Источник: т. VIII (1892): Гальберг — Германий, с. 66—67 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Гамильтонов принцип, или начало Гамильтона, в механике и математической физике служит для получения дифференциальных уравнений движения. Этот принцип распространяется на всякие материальные системы, каким бы силам они ни были подвержены; сначала мы выскажем его в том виде, какой он принимает, если силы имеют потенциал, зависящий или не зависящий от времени явным образом.

Пусть q₁, q₂, q₃… независимые координаты, или координатные параметры, определяющие положение материальной системы; положим, k есть число этих параметров. Пусть U есть потенциал сил, действующих на систему; U есть функция от q₁, q₂, q₃… и может быть еще и функцией от t. Пусть Т означает живую силу материальной системы; это есть функция от t, q₁, q₂, q₃… и от производных

${\frac {dq_{1}}{dt}},\ {\frac {dq_{1}}{dt}},\ {\frac {dq_{1}}{dt}},\dots$

относительно этих производных Т есть функция второй степени.

Если бы вопрос о движении системы при действии данных сил был решен, то координаты q выражались бы функциями времени t и 2k произвольных постоянных C₁, C₂, C₃,… ; пусть эти функции будут: f₁, f₂, f₃,…

Составим сумму T + U, которую обозначим через L. Согласно вышесказанному, это есть функция от t, координат q и их производных q′; но если мы подставим вместо q₁, q₂, q₃… соответствующие им функции f₁, f₂, f₃,…, а вместо производных q₁′, q₂′,… производные по t от соответствующих функций f, то L обратится в функцию от t и от 2k произвольных постоянных C.

Предположив, что L выражена таким образом, возьмем интеграл от Ldt между произвольными пределами: нижним t₁ и верхним t₂; полученный интеграл, который обозначим через S:

$S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}(T+U)dt,$

(I)

будет функцией от t₂, t₁ и величины C.

Предположим, что положения материальной системы в моменты t₁ и t₂ вполне обозначены, так что координаты q имеют определенные значения для момента t₁ и другие определенные значения для момента t₂, тогда по этим 2k данным найдется по меньшей мере одна совокупность значений 2k величин C₁, C₂, C₃,… ; обозначим найденные величины малыми c₁, c₂, c₃,…

Под влиянием данных сил материальная система перейдет из данного первого положения в положение второе по таким путям, на которых вышесказанные величины C будут сохранять постоянные значения c₁, c₂, c₃ …; эти пути или этот путь системы условимся называть прямым путем.

Однако есть возможность перевести ту же материальную систему из первого положения во второе в течение времени (t₂−t₁) по другому, окольному, пути; для этого надо присоединить к данным силам еще новые силы или же сообщить ей во время движения ряд толчков. Так как добавочные силы или толчки могут быть бесконечно разнообразны, то и окольные пути будут столь же разнообразны. На каждом из окольных путей C будут уже не постоянны, но будут изменяемы с течением движения в зависимости от вида окольного пути; но только они должны будут иметь значения c₁, c₂, c₃,… в конечных положениях системы — первом и втором.

Предположим, что будем рассматривать окольные пути бесконечно мало отличающиеся от прямого; тогда значения С на этих путях будут отличаться от постоянных c₁, c₂, c₃,… на ничтожно малые величины δC₁, δC₂, δC₃, которые мы назовем вариациями этих постоянных. Вариации δC₁, δC₂, δC₃,… суть функции от t произвольного вида, обращающиеся в нуль при t₁ и t₂ и имеющие ничтожно малые величины при промежуточных значениях t.

Если постоянные С получают вариации на окольных путях, то и величина S варьируется. Принцип Гамильтона состоит в том, что вариация первого порядка интеграла S равна нулю для всяких окольных путей, бесконечно мало отличающихся от прямого.

Равенство δS=0 может быть представлено следующим образом:

$\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}(\delta T+\delta U)dt=0,$

(II)

причем вариации от T и U можно представить в виде сумм:

$\delta T=\sum {\frac {dT}{dq'}}\delta q'+\sum {\frac {dT}{dq}}\delta q$ $\delta U=\sum {\frac {dU}{dq}}\delta q$

Поступив с равенством (II) так, как объяснено в статье «Вариационное исчисление» (т. V, стр. 524), получим из равенства (II), выражающего принцип Гамильтона, Лагранжевы дифференциальные уравнения движения рассматриваемой материальной системы, т. е. уравнения:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {dL}{dq_{1}'}}\right)={\frac {dL}{dq_{1}}},$
${\frac {d}{dt}}\left({\frac {dL}{dq_{2}'}}\right)={\frac {dL}{dq_{2}}},$	и проч.

Подробнее о начале Гамильтона см. C. G. J. Jacobi, «Vorlesungen über Dynamik» (1866), или в полном издании сочинений Якоби, Supplementband.

Равенство δS = 0 выражает, что интеграл S есть minimum, maximum или minimax; для суждения о том, который из этих случаев имеет место, надо составить и определить знак вариации второго порядка от S.

Принцип Гамильтона имеет место и тогда, когда силы не имеют потенциала; он тогда выражается так:

$\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}(\delta T+\Xi Q\delta q)dt=0,$

(III)

где Q есть составляющая сил по координатному параметру q. О применении этого принципа к составлению дифференциальных уравнений гидродинамики и теории упругости см. Kirchhoff, «Vorlesungen über mathematische Physik», «Mechanik» (1874); «Mathematical papers of the late George Green» (1871).

Д. Б.