ЭСБЕ/Вариационное исчисление

Вариационное исчисление
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Вальтер — Венути. Источник: т. Va (1892): Вальтер — Венути, с. 523—525 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Вариационное исчисление. История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII ст. многие знаменитые геометры, как, напр., Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: «Philosophiae naturalis principia mathematica», а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода — вопрос о виде брахистохроны, предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером («Methodus inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes…» 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. «Théorie des Fonctions analytiques» и «Leçons sur le Calcul des Fonctions»). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations).

Простейшие вопросы В. исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию от $x,\,$ которая, будучи подставлена вместо $y\,$ в данную функцию $F\,$ от $x,\,y,\,{\frac {dy}{dx}},\,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\,\dots ,$дала бы интегралу

$S=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}F\left(x,y,y',y'',\,\dots \right)dx$

‎наибольшую или наименьшую величину, при предположении, что $x_{1}\,$ и $x_{2},\,$ а также и соответствующие им $y_{1}\,$ и $y_{2}\,$ имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет

$\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx,$

(1)

‎где $x_{1}\,$ и $x_{2}\,$ суть абциссы данных точек.

Другой пример: требуется провести такую кривую $y=f\left(x\right)$ между двумя точками $\left(x_{1},\,y_{1}\right)$ и $\left(x_{2},\,y_{2}\right)$ на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг оси X-ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет:

$\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}y{\sqrt {1+{y'}^{2}}}dx.$

(2)

Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов: вариация и вариирование. Предположим, что искомая функция $f\left(x\right)$ найдена и что проведена кривая линия $y=f\left(x\right),$ делающая интеграл $S\,$ наибольшим или наименьшим. В функции $f\left(x\right),$ кроме $x\,$ заключается один или несколько параметров, в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Под вариацией от $y\,$ подразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординаты $y\,$ есть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через $\delta y.\,$ Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметры $f\left(x\right)$ суть $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ;$ бесконечно малые приращения их означим через $\delta \alpha ,\,\delta \beta ,\,\delta \gamma .\,$ Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить $\delta y\,$ так:

$\delta y={\frac {d\,f\left(x\right)}{d\alpha }}\delta \alpha +{\frac {d\,f\left(x\right)}{d\beta }}\delta \beta +{\frac {d\,f\left(x\right)}{d\gamma }}\delta \gamma .$

Следовательно, варьирование ординаты $y,\,$ или $f\left(x\right)$ может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой.

При варьировании $f\left(x\right)$ производные $y',\,y'',\dots$ от функции по $x\,$ также получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так: $\delta y',\,\delta y'',\dots$ Эти вариации производных можно представить так, например, $\delta y':\,$

$\delta y'={\frac {ddy}{d\alpha \,dx}}\delta \alpha +{\frac {ddy}{d\beta \,dx}}\delta \beta +{\frac {ddy}{d\gamma \,dx}}\delta \gamma ,$

‎а так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абцисс $x,\,$ то можно переменить порядок действий получения производных по $x\,$ и по параметрам; самые приращения $\delta \alpha ,\,\delta \beta ,\,\delta \gamma$ от $x\,$ не зависят, а потому:

$\delta y'={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{d\alpha }}\delta \alpha +{\frac {dy}{d\beta }}\delta \beta +{\frac {dy}{d\gamma }}\delta \gamma \right)={\frac {d\delta y}{dx}}.$

(A)

Точно так же можно показать, что:

$\delta y''={\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\,\dots$

(A₁)

‎и т. д.

При варьировании $y\,$ функция $F\left(x,y,y',y'',\,\dots \right)$ получает приращение, равное:

$\Delta F=F\left(x,y+\delta y,y'+\delta y',y''+\delta y'',\,\dots \right)-F\left(x,y,y',y'',\,\dots \right).$

Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций $\delta y,\,\delta y',\,\delta y''.\,$ Вариацией первого порядка функции $F\,$ называется та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций $\delta y,\,\delta y',\,\delta y'',\,\dots$ Эта вариация первого порядка от $F/,$ обозначается также знаком $\delta ,\,$ так что

$\delta F={\frac {dF}{dy}}\delta y+{\frac {dF}{dy'}}\delta y'+{\frac {dF}{dy''}}\delta y''+\dots$

Удвоенную сумму тех членов приращения $F,\,$ которые заключают вторые степени и произведения вариаций $\delta y,\,\delta y',\,\delta y'',\,\dots$ по две, называют вариацией второго порядка от функции $F\,$ и обозначают ее так: $\delta ^{2}F.\,$

Если составить выражение приращения, получаемого интегралом $\left(S\right),$при варьировании ординаты $y,\,$ то найдем, что оно равняется интегралу от $\Delta F$ и поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интеграла $S:\,$

$\delta S=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\delta F\,dx,$

Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка:

$\delta ^{2}S=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\delta ^{2}F\,dx.$

Составленное выражение $\delta S\,$ может быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только $\delta y,\,$ но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства (А), (А₁) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной по $x\,$ от $\delta y.\,$ Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что $\delta y_{1}=0\,$ и $\delta y_{2}=0\,$ (так как $y_{1}\,$ и $y_{2}\,$ имеют данные постоянные значения), получим:

$\delta S=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\left(F\right)\,\delta y\,dx,$

где

$\left(F\right)={\frac {dF}{dy}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dF}{dy'}}\right)+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left({\frac {dF}{dy''}}\right).$

Для того, чтобы интеграл $S\,$ был наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы $\delta S\,$ была равна нулю, какою бы функцией от $x\,$ ни была $\delta y;\,$ а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций $\delta y\,$ возможно только тогда, когда $\left(F\right)=0.$ Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функция $y=f\left(x\right),$ делающая $S\,$ наибольшим или наименьшим.

Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению:

$-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {y'}{\sqrt {1+y^{2}}}}\right)=0,$

‎из которого следует, что $y'=C\,$ и $y=C\,x+C_{1},$ где $C\,$ и $C_{1}\,$ — постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия — прямая.

Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией.

С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интеграл S наибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс («Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii», «Gesammelte Werke» Bd. V); Пуассон (в «Mémoires de l’Académie des Sciences», vol. 12, 1833) — в применении к двойным интегралам; Остроградский («Mémoire sur le calcul des variations des integrales multiples», в «Mem. de l’Acad. des Sciences de S-Pétersb.» 1838; «Crelle’s Journal», vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби («Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen», в «Gesam. Werke», т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариац. исчисления может служить: «Calcul des Variations р. Moigno et Lindelöf» (1861, четвертый том «Leçons de Calcul differentiel et integral p. Moigno»). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: «A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century», 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: Дифференциальные уравнения движения, Действие (начало наименьшего действия), Начало Гамильтона.

Д. Бобылев.