Уравнения движения энергии в телах (Умов)/II

Уравнения движения энергии в телах : Уравнения движения энергии в различных телах — Часть II
автор Николай Алексеевич Умов (1846—1915)

Дата создания: 1874, опубл.: 1874. Источник: Умов Н. А. Избранные сочинения / А. С. Предводителев — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — С. 151—156. — 5000 экз. • докторская диссертация

II. Уравнения движения энергии в различных телах

§ 4. Уравнения движения энергии в твёрдых телах постоянной упругости. Означим через u, v, w перемещения по осям прямоугольных координат центра тяжести элемента объёма, через $p_{xx}$, $p_{yy}$, $p_{zz}$ — нормальные и через $p_{xy}$, $p_{yz}$, $p_{xz}$ — тангенциальные силы упругости, действующие на стороны бесконечно малого параллелепипеда (причём натяжения принимаются положительными, а давления отрицательными), и через $\rho$ — плотность в какой-нибудь точке среды. Полагая, далее,

$\delta u={\frac {du}{dt}}=u',\quad \delta v={\frac {dv}{dt}}=v',\quad \delta w={\frac {dw}{dt}}=w',$

(8.)

мы найдём следующее выражение закона сохранения энергии для всего упругого тела:

${\begin{matrix}\iiint {\frac {\rho }{2}}\delta \left(u'^{2}+v'^{2}+w'^{2}\right)\,d\omega +\iiint \left[p_{xx}{\frac {\partial \delta u}{\partial x}}+p_{yy}{\frac {\partial \delta v}{\partial y}}+p_{zz}{\frac {\partial \delta w}{\partial z}}\right.+\\+\left.p_{yz}\left({\frac {\partial \delta v}{\partial z}}+{\frac {\partial \delta w}{\partial y}}\right)+p_{xz}\left({\frac {\partial \delta w}{\partial x}}+{\frac {\partial \delta u}{\partial z}}\right)+p_{xy}\left({\frac {\partial \delta u}{\partial y}}+{\frac {\partial \delta v}{\partial x}}\right)\right]\,d\omega -\\-\iint \left\{\delta u\left[p_{xx}\cos(nx)+p_{xy}\cos(ny)+p_{xz}\cos(nz)\right]\right.+\\+\delta v\left[p_{xy}\cos(nx)+p_{yy}\cos(ny)+p_{yz}\cos(nz)\right]+\\+\left.\delta w\left[p_{xz}\cos(nx)+p_{yz}\cos(ny)+p_{zz}\cos(nz)\right]\right\}\,d\sigma =0\end{matrix}}$

(9.)

Первые два тройных интеграла представляют приращение энергии, отнесённое к единице времени, во всей упругой среде. Двойной интеграл распространяется на всю поверхность среды и представляет работу внешних давлений. Мы опускаем действие внешних сил на элементы упругой среды. Обращая внимание на значение величин $\delta u$, $\delta v$ и $\delta w$ по формуле (8), мы замечаем, что двойной интеграл выражения (9) преобразуется в следующий тройной интеграл:

${\begin{matrix}\iiint \left\{{\frac {\partial }{\partial x}}\left(p_{xx}u'+p_{yx}v'+p_{zx}w'\right)\right.+\\+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(p_{xy}u'+p_{yy}v'+p_{yz}w'\right)+\\+\left.{\frac {\partial }{\partial z}}\left(p_{xz}u'+p_{yz}v'+p_{zz}w'\right)\right\}\,d\omega \end{matrix}}$

(10.)

Так как первые два тройных интеграла выражения (9) тождественны с первым тройным интегралом выражения (6), то двойной интеграл, входящий в выражение (9), взятый с тем знаком, с которым он входит в это выражение, или тождественный с ним тройной интеграл (10), взятый с отрицательным знаком, должен быть тождествен со вторым тройным интегралом, входящим в выражение (6); следовательно, подинтегральная функция тройного интеграла (10), взятая с отрицательным знаком, должна быть тождественна подинтегральной функции второго тройного интеграла выражения (6), или, что всё равно, второй части уравнения (I). Это заключение легко поверяется при помощи основных уравнений упругости, дающих возможность преобразовать сумму подинтегральных функций первых двух тройных интегралов, входящих в выражение (9), тождественную с \frac{\partial E}{\partial t} , в отрицательную подинтегральную функцию выражения (10). Из тождества этой последней со второй частью уравнения (I) вытекают следующие равенства:

$\left.{\begin{matrix}-El_{x}&=&p_{xx}u'+p_{xy}v'+p_{xz}w',\\-El_{y}&=&p_{xy}u'+p_{yy}v'+p_{uz}w',\\-El_{z}&=&p_{xz}u'+p_{yz}v'+p_{zz}w',\end{matrix}}\right\}$

(11.)

откуда заключаем: количество энергии, протекающее через бесконечно малый плоский элемент в бесконечно малое время, равно отрицательной работе сил упругости, действующих на этот элемент.

Найденные выражения (11) представляют связь законов движения энергии с законами частичных движений твёрдого тела постоянной упругости. К правым частям этих выражений не прибавлены функции, зависящие только от координат $(y,z)$, $(z,x)$, $(x,y)$, ибо левые части должны обращаться в нуль, когда $u'=v'=w'=0$.

§ 5. Для выяснения найденных нами заключений приложим формулы (10) к определению скорости распространения в упругой среде плоских волн с продольными и поперечными колебаниями.

Рассмотрим колебания продольные. Пусть несущие их плоские волны перпендикулярны к оси $x$. Следовательно,

$v=0,\qquad w=0$

(12.)

Положим, кроме того,

$u=A\cos {\frac {2\pi }{T}}\left(t-{\frac {x}{\Omega }}\right)$

(13.)

где $\Omega$ есть искомая скорость распространения продольных колебаний. Пользуясь выражениями сил упругости, данными Ламе, мы имеем в нашем случае:

$\left.{\begin{matrix}p_{xx}=(\lambda +2\mu ){\frac {\partial u}{\partial x}},&p_{yz}=0,\\p_{yy}=\lambda {\frac {\partial u}{\partial x}},&p_{xy}=0,\\p_{zz}=\lambda {\frac {\partial u}{\partial x}},&p_{xz}=0.\end{matrix}}\right\}$

(14.)

Кроме того, мы имеем:

${\frac {\partial E}{\partial t}}={\frac {\rho }{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\right)^{2}+p_{xx}{\frac {\partial {\frac {\partial u}{\partial t}}}{\partial x}}$

(15.)

Интегрируя это выражение по времени, имеем:

$E={\frac {\rho }{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\lambda +2\mu }{2}}\right)\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}$

(16.)

Вставляя сюда величину $u$, находим:

$E={\frac {2\pi ^{2}A^{2}}{T^{2}}}\left(\rho +{\frac {2\mu +\lambda }{\Omega ^{2}}}\right)\sin ^{2}{\frac {2\pi }{T}}\left(t-{\frac {x}{\Omega }}\right)$

(17.)

С другой стороны, подставляя (13) и (14) в (11), находим:

$\left.{\begin{matrix}-El_{x}=-(\lambda +2\mu ){\frac {4\pi ^{2}A^{2}}{\Omega T^{2}}}\sin ^{2}{\frac {2\pi }{T}}\left(t-{\frac {x}{\Omega }}\right),\\-El_{y}=0,\\-El_{z}=0.\end{matrix}}\right\}$

(18.)

Последние два соотношения дают $l_{y}=0$, $l_{z}=0$. Следовательно, $l_{x}=\Omega$, и первое из соотношений (18) по сокращении общих факторов даёт соотношение:

$\Omega \left(\rho +{\frac {2\mu +\lambda }{\Omega ^{2}}}\right)={\frac {2(\lambda +2\mu )}{\Omega }},$

(19.)

откуда получается известный результат:

$\Omega ^{2}={\frac {\lambda +2\mu }{\rho }}$

(20.)

В случае распространения плоской волны с колебаниями поперечными мы нашли бы точно так же известное выражение для скорости распространения поперечных колебаний.

Выражения (11) дают возможность найти общие соотношения между формой волн, несущих продольные или поперечные колебания, и движениями частиц упругого тела.

Известно, что скорость распространения тех или других волн постоянна и что волны, исходящие из одной и той же поверхности сотрясения, имеют общие нормали. Означая через $c$ скорость распространения волны, мы имеем, следовательно,

$l_{x}={\frac {c{\frac {\partial B}{\partial x}}}{\Delta _{1}B}},\quad l_{y}={\frac {c{\frac {\partial B}{\partial y}}}{\Delta _{1}B}},\quad l_{z}={\frac {c{\frac {\partial B}{\partial z}}}{\Delta _{1}B}},$

(21.)

где

$B=const$

(22.)

есть уравнение какой-нибудь волновой поверхности, а $\Delta _{1}B$ — её дифференциальный параметр первого порядка. Мною было показано («Законы колебаний в неограниченной среде постоянной упругости»), что, выбирая за параметр $B$ волны отрезок луча между некоторым начальным положением волны и последующим, мы имеем:

$\Delta _{1}B=1$

(23.)

Принимая последнее выражение и подставляя (21) в (11), находим:

$\left.{\begin{matrix}-Ec{\frac {\partial B}{\partial x}}&=&p_{xx}u'+p_{xy}v'+p_{xz}w',\\-Ec{\frac {\partial B}{\partial y}}&=&p_{xy}u'+p_{yy}v'+p_{yz}w',\\-Ec{\frac {\partial B}{\partial z}}&=&p_{xz}u'+p_{yz}v'+p_{zz}w'.\end{matrix}}\right\}$

(24.)

Эти выражения показывают, что

$\left.{\begin{matrix}-{\frac {p_{xx}u'+p_{xy}v'+p_{xz}w'}{Ec}},\\-{\frac {p_{xy}u'+p_{yy}v'+p_{yz}w'}{Ec}},\\-{\frac {p_{xz}u'+p_{yz}v'+p_{zz}w'}{Ec}}\end{matrix}}\right\}$

(25.)

суть выражения косинусов углов нормали в какой-нибудь точке волны с осями координат. Так как по закону общих нормалей все элементы нормалей, проведённые в соответствующих точках одной и той же волны в различных её положениях, лежат на одной прямой, носящей название луча, то выражения (25) остаются неизменными на протяжении одного и того же луча.

Выражения (25) показывают также, что, воображая себе в какой-нибудь точке луча линию, равную по величине произведению из энергии на скорость её распространения, величины

$\left.{\begin{matrix}-\left(p_{xx}u'+p_{xy}v'+p_{xz}w'\right),\\-\left(p_{xy}u'+p_{yy}v'+p_{yz}w'\right),\\-\left(p_{xz}u'+p_{yz}v'+p_{zz}w'\right)\end{matrix}}\right\}$

(26.)

представят ее проложения на оси координат.

Возвышая выражения (24) в квадрат и складывая, находим:

$E^{2}c^{2}=\left(p_{xx}u'+p_{xy}v'+p_{xz}w'\right)^{2}+\left(p_{xy}u'+p_{yy}v'+p_{yz}w'\right)^{2}+\left(p_{xz}u'+p_{yz}v'+p_{zz}w'\right)^{2}$

(27.)

Умножая выражения (24) соответственно на $l_{x}$, $l_{y}$, $l_{z}$, складывая и обращая внимание на соотношения (21), находим следующее выражение:

$E^{2}c^{2}+\left(p_{xx}u'+p_{xy}v'+p_{xz}w'\right)l_{x}+\left(p_{xy}u'+p_{yy}v'+p_{yz}w'\right)l_{y}+\left(p_{xz}u'+p_{yz}v'+p_{zz}w'\right)l_{z}=0$

(28.)

Величина $Ec^{2}$ может быть названа двойной живой силой движения энергии.

§ 6. Закон энергии для волновых поверхностей произвольного вида. Вставляя в уравнение (I) выражения (21) и принимая в соображение (23), найдём:

${\frac {1}{c}}{\frac {\partial E}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(E{\frac {\partial B}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(E{\frac {\partial B}{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(E{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)=0$

(29.)

Это соотношение даёт связь между энергией и формой волновой поверхности, которая приводится по отношению к энергии к дифференциальному уравнению с частными производными первого порядка. Мы находим, раскрывая выражение (29):

${\frac {1}{c}}{\frac {\partial E}{\partial t}}+E\Delta _{2}B+{\frac {\partial E}{\partial x}}{\frac {\partial B}{\partial x}}+{\frac {\partial E}{\partial y}}{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial E}{\partial z}}{\frac {\partial B}{\partial z}}=0$

(30.)

Здесь $\Delta _{2}$ означает дифференциальный параметр второго порядка.

Введём ортогональные координаты, причём параметры двух систем поверхностей, ортогональных между собой и к волновой поверхности $B$, означим через $\rho _{1}$, $\rho _{2}$. Принимая во внимание условия ортогональности, мы представим выражение (30) в следующем виде:

${\frac {1}{c}}{\frac {\partial E}{\partial t}}+E\Delta _{2}B+{\frac {\partial E}{\partial B}}=0$

(31.)

Это выражение интегрируется при помощи совместных дифференциальных уравнений:

$-{\frac {dE}{E\Delta _{2}B}}=cdt=dB$

(32.)

Означая через $f$ произвольную функцию, находим:

$E=e^{\int \Delta _{2}BdB}f(ct-B,\rho _{1},\rho _{2})$

(33.)

Таково общее выражение энергии для колебаний в одной и той же точке среды, несомых волной произвольного вида $B$. $\int \Delta _{2}B\,dB$ можно взять в общем виде, как показано будет ниже [формула (46)]. Рассмотрим случай волны цилиндрической. Пусть ось цилиндра параллельна оси $z$ и координаты точки её пересечения с плоскостью $xy$ суть $a,0,0$. Мы имеем в данном случае:

$B=r,\quad r^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}$

(34.)

Следовательно,

$\Delta _{2}B={\frac {1}{r}}$

(35.)

и выражение (33) даёт нам:

$E={\frac {1}{r}}f(ct-r,z,\varphi )$

(36.)

где \varphi есть параметр плоскостей, проходящих через ось цилиндра.

Для волны сферической, центр которой имеет координаты $a,b,c$, мы имеем:

$B=r,\quad r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}$

(37.)

Отсюда

$\Delta _{2}B={\frac {2}{r}}$

(38.)

и выражение (33) даёт:

$E={\frac {1}{r^{2}}}f(ct-r,\psi ,\varphi )$

(39.)

Подобные результаты были известны для живой силы колебательных движений; здесь они даны для всей энергии движений, не определяя в подробности его формы.

Из выражения (33) мы можем заключить о законе энергии в точке волны по мере её движения вместе с волной. Я предпочитаю, однако, вывести этот закон непосредственно из основного уравнения (I'), Обращая внимание на указанный выше выбор параметра $B$ волны, мы имеем:

$B=ct+c_{1}$

(40.)

где $c$ и $c_{1}$ суть постоянные.

Подставляя в уравнение (I') величины (21) и принимая в соображение (23), находим:

${\frac {1}{E}}{\frac {dE}{dt}}+c\Delta _{2}B=0$

(41.)

откуда

$E=-e^{c\int \Delta _{2}B\,dt}f(\rho _{1},\rho _{2})$

(42.)

Из (40) имеем:

$cdt=dB$

(43.)

Кроме того, означая через $h$, $h_{1}$, $h_{2}$ дифференциальные параметры первого порядка волновой поверхности и ортогональных к ней поверхностей $\rho _{1}$, $\rho _{2}$, мы имеем (Lame, Lecons sur les coordonnees curvilignes, 1859):

$\Delta _{2}B=hh_{1}h_{2}{\frac {d{\frac {h}{h_{1}h_{2}}}}{dB}}$

(44.)

Замечая, что в нашем случае $h=1$, имеем:

$\Delta _{2}B=-{\frac {d\ln h_{1}h_{2}}{dB}}$

(45.)

Подставляя (43) и (45) в (42) и производя интеграцию, находим:

$E=h_{1}h_{2}f(\rho _{1},\rho _{2})$

(46.)

Но элемент объёма будет, так как $h=1$,

$d\omega ={\frac {dB\,d\rho _{1}\,d\rho _{2}}{h_{1}h_{2}}}$

(47.)

Умножая выражение (46) на (47), находим:

$E\cdot d\omega =f(\rho _{1},\rho _{2})\,dB\,d\rho _{1}\,d\rho _{2}$

(48.)

Так как во всё время движения энергии вдоль одного и того же луча величины $\rho _{1}$ и $\rho _{2}$ остаются неизменными, то из выражения (48) заключаем, что энергия целиком переносится волной от одной точки луча к другой.

§ 7. Я закончу настоящий отдел несколькими общими соображениями относительно законов движения энергии, не ограничиваясь случаем, когда она распространяется во всех направлениях с постоянной скоростью. Вообразим себе внутри упругого тела бесконечно малый плоский элемент, нормаль коего обозначим через $n$. Пусть сила упругости, действующая на элемент, будет $P$. Мы имеем по известным формулам теории упругости соотношения:

$\left.{\begin{matrix}P\cos(Px)&=&p_{xx}\cos(nx)+p_{xy}\cos(ny)+p_{xz}\cos(nz),\\P\cos(Py)&=&p_{xy}\cos(nx)+p_{yy}\cos(ny)+p_{yz}\cos(nz),\\P\cos(Pz)&=&p_{xz}\cos(nx)+p_{yz}\cos(ny)+p_{zz}\cos(nz).\end{matrix}}\right\}$

(49.)

Умножая эти выражения на $u'$, $v'$, $w'$ и складывая, находим:

$Pi\cos(iP)=-Ee\cos(en)$

(50.)

Здесь $i$ есть скорость центра рассматриваемого нами бесконечно малого плоского элемента, $e$ — скорость движения энергии в этом центре. Означая через $i_{p}$ слагающую скорости элемента по направлению силы упругости и через $l_{n}$ — слагающую скорости энергии по нормали к элементу, выражение (50) может быть написано в следующем виде:

$Pi_{p}=-El_{n}$

(51.)

Мы видим из этого выражения, что сила упругости, взятая с отрицательным знаком, пропорциональна количеству протекающей через элемент в единицу времени энергии и обратно пропорциональна слагающей скорости частиц самого элемента по направлению силы упругости.

В каждой точке $M$. упругого тела всегда существуют три взаимно перпендикулярных плоских элемента, испытывающих одни только нормальные силы упругости. Воображая себе в точке $M$ оси прямоугольных координат проведёнными таким образом, что плоскости координат параллельны указанным трём плоским элементам, мы имеем по формуле (51):

$\left.{\begin{matrix}-El_{x}&=&p_{xx}u',\\-El_{y}&=&p_{yy}v',\\-El_{z}&=&p_{zz}w'.\end{matrix}}\right\}$

(52.)

Выражения (11), (51) и (52) показывают, что сумма из количества энергии, протекающей через произвольный плоский элемент, и работы сил упругости на элемент равна нулю. Уравнение (51), будучи справедливым для каждого плоского элемента внутри среды, имеет место на границах среды. Оно даёт, следовательно, возможность по давлению, испытываемому границами среды, определить количество входящей в неё энергии, зная при этом скорость движения частиц на границах. Точно так же, зная количество энергии $q$, входящей в среду в единицу времени, и зная скорость частиц на границах, мы можем определить давление или натяжение, соответствующее этому переходу. Заметим, что $q$ имеет знак положительный, когда энергия выходит из тела, и отрицательный, когда энергия входит в тело. Следовательно, из (51) мы находим:

$P=-{\frac {q}{i_{p}}}$

(53.)

Если дано $q$ и $P$, то найдём отсюда $i_{p}$; соотношение (53) показывает именно, что скорость движения частиц тела на границе по направлению силы $P$ равна частному из количества энергии, прошедшей через весьма малый плоский элемент, центр коего совпадает с частицей, и отнесённого к единице площади и времени, на давление или натяжение $P$.

Возьмём числовой пример. Пусть давление $P$, испытываемое элементом границы тела, нормально к его поверхности и в данный момент времени равно давлению атмосферы. Давление $P$, отнесённое на квадратный метр поверхности, есть 10 334 кг. Пусть количество энергии, протекающее в данный момент времени через бесконечно малый элемент поверхности, отнесённое к 1 сек. и к квадратному метру, есть 1 килограммо-метр в 1 сек. Тогда для данного момента скорость $i_{p}$ движения частиц взятого элемента поверхности будет по формуле (53):

$i_{p}={\frac {1}{10334}}$ м/сек = 0,096 мм/сек.

Возьмём ещё другой пример. Положим, что теплота, сообщаемая упругому телу, заключается в энергии его частичных движений, удовлетворяющих уравнениям упругости. Положим, что температура 1 кг тела повышена на 1 °С в 1 сек. Означим плотность тела через $\partial$, его теплоёмкость под давлением атмосферы — через $\gamma$ и положим, что тело имеет кубическую форму. Объём тела будет ${\frac {1}{1000\partial }}$ м³, поверхность $s=6\left({\frac {1}{1000\partial }}\right)^{\frac {2}{3}}$; количество энергии, прошедшее в 1 сек. через 1 м поверхности, есть ${\frac {\gamma \cdot 425}{s}}$ кгм. По формуле (53) вычисляется средняя скорость $i_{p}$ частиц его поверхности при давлении одной атмосферы, т. е. 10 344 кг/м²:

$i_{p}=0{,}687\cdot \gamma \cdot \partial ^{\frac {2}{3}}$ м/сек.

Отсюда вычисляются:

железо		0,3 м/сек,
платина		1,8 м/сек.

Формула (53) приводит нас еще к следующему заключению: скорости $i_{p}$ граничных частиц всех упругих тел при одном и том же давлении или натяжении и при одном и том же количестве энергии, проходящем через них в бесконечно малый элемент времени, равны.

§ 8. Уравнения движения энергии в телах жидких. Рассмотрим сначала жидкости, не обращая внимания на так называемое внутреннее трение частиц жидкости. Означая через $u$, $v$, $w$ скорости движения частиц жидкости в одной и той же точке пространства, через $p$ — давление и $\rho$ - плотность, мы имеем следующие уравнения гидродинамики:

$\left.{\begin{matrix}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}&=&{\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}},\\-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}&=&{\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+w{\frac {\partial v}{\partial z}},\\-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&=&{\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}.\end{matrix}}\right\}$

(54.)

Мы снова опускаем случай действия внешних сил на частицы жидкости. Кроме приведённых соотношений, мы имеем ещё следующие:

$\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho w)}{\partial z}}=0,\\{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}.\end{matrix}}\right\}$

(55.)

Умножая выражения (54) соответственно на и $udt$, $vdt$, $wdt$, складывая, деля на $dt$ и интегрируя для всего объёма среды, находим:

${\begin{matrix}\iiint {\frac {\rho }{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\,d\omega +{\frac {1}{2}}\iiint \left[\rho u{\frac {\partial }{\partial x}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right.+\\+\left.\rho v{\frac {\partial }{\partial y}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)+\rho w{\frac {\partial }{\partial z}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right]\,d\omega +\iiint \left(u{\frac {\partial p}{\partial x}}+v{\frac {\partial p}{\partial y}}+w{\frac {\partial p}{\partial z}}\right)\,d\omega =0\end{matrix}}$

(56.)

Первая часть этого выражения после интеграции по частям представится в виде:

${\begin{matrix}\iiint \left\{{\frac {\rho }{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)+{\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2}}{\frac {d\rho }{dt}}-p\theta \right\}\,d\omega +\\+\iint \left[\rho {\frac {\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)}{2}}+p\right]\left[u\cos(nx)+v\cos(ny)+w\cos(nz)\right]\,d\sigma =0,\end{matrix}}$

(57.)

где $d\sigma$ есть элемент границ и $\theta$ — кубическое расширение. Это выражение может быть написано ещё в таком виде:

${\begin{matrix}\iiint \left[{\frac {\partial }{\partial t}}\left\{{\frac {\rho }{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right\}-p\theta \right]\,d\omega +\\+\iint \left[\rho {\frac {\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)}{2}}+p\right]\left[u\cos(nx)+v\cos(ny)+w\cos(nz)\right]\,d\sigma =0,\end{matrix}}$

(58.)

Тройной интеграл, входящий в это выражение, представляет сумму изменений энергии во всех элементах пространства, занятого средой. Действительно, первый член подинтегральной функции тройного интеграла представляет изменение живой силы со временем в одном и том же элементе объёма среды; второй же член той же подинтегральной функции представляет изменение работы давлений в одном и том же элементе, взятое с надлежащим знаком. Отсюда следует, что двойной интеграл выражения (58) представляет количество энергии, входящее в среду через её границы. Следовательно, выражение (58) представляет закон сохранения энергии для всей жидкой среды, и потому оно тождественно с уравнением (7). Двойной интеграл уравнения (58) должен быть тождествен с двойным интегралом уравнения (7) и, следовательно, должен преобразовываться в тройной интеграл, тождественный со вторым тройным интегралом выражения (6). Действительно, двойной интеграл выражения (58) может быть преобразован в тройной интеграл следующего вида:

${\begin{matrix}\iiint \left\{{\frac {\partial }{\partial x}}\left[u\left(p+{\frac {\rho \left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)}{2}}\right)\right]\right.+\\+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[v\left(p+{\frac {\rho \left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)}{2}}\right)\right]+\\+\left.{\frac {\partial }{\partial z}}\left[w\left(p+{\frac {\rho \left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)}{2}}\right)\right]\right\}\,d\omega =0,\end{matrix}}$

(59.)

Подинтегральная функция, входящая в это выражение, представляет уже количество энергии, проникающей в единицу времени в один и тот же элемент объёма жидкости. Справедливость этого заключения может быть поверена непосредственно, преобразовывая подинтегральную функцию тройного интеграла выражения (58) при помощи приведённых выше уравнений гидродинамики. Итак, подинтегральная функция выражения (59) тождественна с подинтегральной функцией второго тройного интеграла выражения (7) или со второй частью основного уравнения (I). Из этого тождества вытекают следующие соотношения между законами энергии и законами частичных движений жидких сред:

$\left.{\begin{matrix}-El_{x}&=&u\left(p+{\frac {\rho i^{2}}{2}}\right),\\-El_{y}&=&v\left(p+{\frac {\rho i^{2}}{2}}\right),\\-El_{z}&=&w\left(p+{\frac {\rho i^{2}}{2}}\right),\end{matrix}}\right\}$

(60.)

где $i$ есть скорость движения частицы жидкости, т. е.

$i^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}$

(61.)

Из выражений (60) следует, означая через $c$ скорость движения энергии, т. е.

$c^{2}=l_{x}^{2}+l_{y}^{2}+l_{z}^{2}$

(62.)

что

$Ec=i\left(p+{\frac {\rho i^{2}}{2}}\right)$

(63.)

т. е. количество движения энергии равно произведению скорости движения жидкости на сумму гидростатического давления и живой силы. Деля каждое из уравнений (60) на (63), находим:

${\frac {l_{x}}{c}}={\frac {u}{i}},\ {\frac {l_{y}}{c}}={\frac {v}{i}},\ {\frac {l_{z}}{c}}={\frac {w}{i}};$

(64.)

иными словами, направление движения энергии одинаково с направлением движения жидкости. Отсюда вытекает заключение, что внутри жидких тел невозможны такие формы движений, при которых направление движения частиц не совпадает с направлением движения энергии. Так, например, в жидких телах невозможно распространение волн с колебаниями поперечными. Выражение (63) существует и на поверхности жидкости; подобно выражению (53) оно даёт возможность вычислять скорости частиц у поверхности жидкости по давлению на этой поверхности и количеству энергии, входящей в тело.

§ 9. Случай несжимаемой жидкости. Для жидкости несжимаемой величина энергии равна живой силе движения частиц жидкости. Следовательно,

$E={\frac {\rho i^{2}}{2}}$

(65.)

Подставляя эту величину в выражение (63), мы находим:

$i^{2}-ic+{\frac {2p}{\rho }}=0$

(66.)

откуда

$c=i+{\frac {2p}{\rho }}$

(67.)

и

$i={\frac {c}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}-{\frac {2p}{\rho }}}}$

(68.)

Последнее выражение показывает нам, во-первых, что для всех форм движения, возможных внутри несжимаемой жидкости, подкоренная величина выражения (68) должна оставаться положительной, т. е.

${\frac {c^{2}}{4}}\gg {\frac {2p}{\rho }}$

(69.)

Во-вторых, оно показывает, что всегда

$i<c$

(70.)

Скорость $i$ равна скорости $c$ только при $p=0$. Выражение (69) даёт возможность определить минимум скорости движения энергии под данным давлением в несжимаемой жидкости. Этот минимум будет:

$c_{m}={\sqrt {\frac {8p}{\rho }}}$

(71.)

Означая через $n$ число атмосфер, под давлением которых находится частица жидкости, через $\partial$ — плотность жидкости относительно воды при 4 °С, принимая, далее, за единицу длины метр и за единицу времени секунду, мы находим:

$\left.{\begin{matrix}p=10\,334\cdot n\ kg,\\\rho ={\frac {P}{g}}\partial \end{matrix}}\right\}$,

(72.)

где $P$ есть вес кубического метра воды при 4 °С, т. е. 1000 кг, и $g$ — ускорение тяжести, равное приблизительно 10 м. Вставляя величины (72) в (71), находим:

$c=28,752{\sqrt {\frac {n}{\partial }}}$м

(73.)

Следовательно, для воды наименьшая возможная скорость движения энергии в частях жидкости, находящихся под давлением одной атмосферы, есть 28,752 м. Формула (73) показывает, что для жидкостей различной плотности минимум скорости энергии понижается с увеличением плотности; для одной и той же жидкости минимум скорости движения энергии повышается с увеличением давления.

Из выражения (66) мы находим:

$-{\frac {p}{\rho }}={\frac {i(i-c)}{2}}$.

(74.)

Подставляя эту величину в уравнения гидродинамики (54), мы приведём их к следующему виду:

$\left.{\begin{matrix}0=2{\frac {\partial u}{\partial t}}+v\zeta -w\eta +{\frac {\partial ci}{\partial x}},\\0=2{\frac {\partial v}{\partial t}}+w\xi -u\zeta +{\frac {\partial ci}{\partial y}},\\0=2{\frac {\partial w}{\partial t}}+u\eta -v\xi +{\frac {\partial ci}{\partial z}},\end{matrix}}\right\}$

(75.)

где

$\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial y}}=2\xi ,\\{\frac {\partial w}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial z}}=2\eta ,\\{\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial x}}=2\zeta .\end{matrix}}\right\}$

(76.)

Величины $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ представляют вращения элемента объёма около осей $x$, $y$, $z$. Если в жидкости вращательные движения не существуют, то выражения (75) принимают вид:

$\left.{\begin{matrix}0=2{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial ci}{\partial x}},\\0=2{\frac {\partial v}{\partial t}}+{\frac {\partial ci}{\partial y}},\\0=2{\frac {\partial w}{\partial t}}+{\frac {\partial ci}{\partial z}}.\end{matrix}}\right\}$

(77.)

Если $\varphi$ есть потенциал скоростей, то

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\frac {ci}{2}}$

(78.)

т. е. отрицательная частная производная от потенциала скоростей по времени равна половине произведения скорости движения энергии на скорость движения частиц. Функция времени, которая должна быть прибавлена к выражению (78), подразумевается под знаком $\varphi$.

§ 10. Уравнения движения энергии в жидкостях с трением. Более общие дифференциальные законы движения жидкостей получаются, как известно, принимая существование давлений, направленных косвенно к плоскому элементу внутри жидкости, стороны коего параллельны плоскостям координат; мы означим слагающие косвенных давлений, испытываемых тремя сторонами элемента, ближайшими к началу координат, через $p_{xx}$, $p_{yy}$, $p_{zz}$, $p_{xy}$, $p_{yz}$, $p_{zx}$; значение употреблённых здесь индексов известно. Мы имеем следующие дифференциальные уравнения с частными производными, предполагая, что внешние силы не действуют на элементы жидкости:

${\displaystyle }$

(79.)

Кроме этих выражений, для трущихся жидкостей остаются в силе соотношения (55).

Закон сохранения энергии для всей массы жидкости будет:

${\displaystyle }$

(80.)

Интегрируя это выражение по частям, находим:

${\displaystyle }$

(81.)

Простой интеграл, входящий в это выражение, представляет изменение энергии всей жидкой массы, отнесённое к единице времени; двойной же интеграл, распространённый на элементы поверхности жидкой массы, представляет количество энергии, входящей в жидкость извне. Этот двойной интеграл может быть представлен в форме тройного интеграла следующего вида:

${\displaystyle }$

(82.)

Подинтегральная функция этого выражения представляет количество энергии, проникающее в один и тот же элемент объёма жидкости от смежных частей жидкости. Путём заключений, сходных с употреблёнными в предыдущих параграфах мы убедимся, что эта подинтегральная функция тождественна со второй частью основного уравнения (I). Математическое выражение этого тождества представится следующими соотношениями:

${\displaystyle }$

(83.)

Законы движения энергии представляют в данном случае средину между законами, имеющими место для тела упругого и для тела жидкого.