Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I

Уравнения движения энергии в телах : Общее выражение закона сохранения энергии в элементе объёма среды — Часть I
автор Николай Алексеевич Умов (1846—1915)

Дата создания: 1874, опубл.: 1874. Источник: Умов Н. А. Избранные сочинения / А. С. Предводителев — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — С. 151—156. — 5000 экз. • докторская диссертация

I. Общее выражение закона сохранения энергии в элементе объёма среды

§ 1. Определения и задача исследования. Элемент объёма, произвольно взятый внутри какой-нибудь среды, частицы коей находятся в движении, заключает в данный момент времени определённое количество энергии. Эта энергия слагается из двух частей: из живой силы движения частиц элемента объёма и потенциальной энергии, т. е. работы, которая может быть отдана этими частицами при возвращении их из данного положения в некоторое начальное, соответствующее устойчивому равновесию. Под энергией элемента, я буду разуметь сумму живых сил частиц элемента и его потенциальной энергии, определённой, как было сказано выше.

Законы перехода энергии с одного элемента среды на другой определялись до сих пор только для частных форм движений. Задача настоящего труда заключается в установлении на общих началах учения о движении энергии в средах.

Раскрытие общей связи между распределением и движением энергии в средах и перемещениями их частиц, независимо от частных форм движений, должно дать возможность из известных законов движения и распределения энергии в теле выводить заключения о роде движений его частиц. Задачи подобного рода имеют важность ввиду стремления современной физики сводить все явления природы на явления движения.

Простейшие опытные данные, на которые могли бы опереться теоретические изыскания современной физики, идущие в указанном направлении, представляют распределения и движения энергии в различных явлениях природы. Орудия опытного исследования не настолько, однако, усовершенствованы, чтобы давать возможность определять законы каждой из составных частей энергии в отдельности. Поэтому важно отыскать метод, который давал бы возможность перейти от определённых путём опыта законов движения энергии к дифференциальным уравнениям движения частиц тела, которое, по предположению, даёт место наблюдаемому явлению.

§ 2. Уравнение сохранения энергии в элементе тела. Представим себе однородную среду с определёнными границами, конечными или бесконечно большими. Пусть на частицы этой среды не действуют внешние силы и прилив энергии к частицам обусловливается принятием или отдачей энергии средой через её границы.

Если мы выделим мысленно элемент объёма, изменение его энергии (т. е. суммы его живой силы и потенциальной энергии) по закону сохранения энергии может совершиться только на счёт прибыли или убыли последней в смежных элементах. Математическое выражение связи приращения количества энергии в элементе объёма с её потерями в смежных элементах и будет математическим выражением элементарного закона сохранения энергии в средах.

Математическое выражение указанной связи может быть нами почерпнуто из явления иного рода, опирающегося на закон, аналогичный закону сохранения энергии. Распределение вещества при движениях непрерывной сжимаемой среды подчиняется закону сохранения вещества. Насколько движение энергии и движение сжимаемого вещества обусловливаются законом их сохранения, настолько мы имеем право уподоблять движение энергии движению подвижного и сжимаемого вещества.

Количество энергии в элементе объёма среды, отнесённое к единице объёма, может быть названо плотностью энергии в данной точке среды.

Мы можем следить за изменениями, происходящими в количестве энергии и её скоростях в одной и той же точке пространства или же в одном и том же движущемся количестве (массе) энергии.

Означим буквой $\mathrm {E}$^[1] плотность энергии в произвольной точке среды, т. е. частное из количества энергии, заключённого внутри бесконечно малого элемента объёма, на этот элемент. Назовем через $l_{x}$, $l_{y}$, $l_{z}$ слагающие по прямоугольным осям координат $x$, $y$ и $z$ скорости, с которой энергия движется в рассматриваемой точке среды.

Вообразим себе элемент объёма $dx\,dy\,dz$. При введённых нами обозначениях количества энергии, входящие и выходящие через различные стороны элемента, будут:

${\displaystyle }$

(1.)

Сумма этих величин, представляющих токи энергии, даёт нам отнесённое к единице времени изменение количества энергии $\mathrm {E} \,dx\,dy\,dz$ в элементе объёма со временем $t$. Следовательно, делая сокращения,

$-{\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathrm {E} l_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {E} l_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {E} l_{z}}{\partial z}}$

(I.)

Здесь ${\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial t}}$ есть частная производная от $\mathrm {E}$ по времени. Выражение (I), аналогичное с выражением закона сохранения вещества в гидродинамике, есть выражение элементарного закона сохранения энергии в телах.

Означая через ${\frac {d\mathrm {E} }{dt}}$ полную производную от $\mathrm {E}$ по времени, мы находим следующее выражение для изменения плотности энергии со временем в одной и той же движущейся массе энергии:

${\frac {d\mathrm {E} }{dt}}={\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial x}}l_{x}+{\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial y}}l_{y}+{\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial z}}l_{z}$

(2.)

Соединяя выражение (2) с (I), находим:

$-{\frac {1}{\mathrm {E} }}{\frac {d\mathrm {E} }{dt}}={\frac {\partial l_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial l_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial l_{z}}{\partial z}}$

(I'.)

Аналогия между дифференциальными законами движения энергии и движения вещества, вообще, не простирается далее сходства уравнений (I) и (I') с соответственными уравнениями гидродинамики.

Выражение (I) открывает связь между количеством энергии, отнесённым к единице времени, втекающим в среду через её границы, и изменением количества энергии в среде. Мы находим:

$\iiint {\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial t}}\,dx\,dy\,dz+\iint \mathrm {E} l_{n}\,d\sigma =0$

(3.)

где тройной интеграл распространяется на весь объём среды, $d\sigma$ представляет элемент её границы и $l_{n}$ есть скорость движения энергии по внешней нормали $n$ к элементу границы, т. е.

$l_{n}=l_{x}\cos(nx)+l_{y}\cos(ny)+l_{z}\cos(nz)$

(4.)

§ 3. Связь законов движения энергии с законами частичных движений сред. Дифференциальные законы движений частиц различных сред дают, как известно, возможность установить математическое выражение, представляющее закон сохранения энергии для всей среды. Если через $\delta J$ означим приращение живой силы в элементе объёма среды, через $\delta W$ — приращение работы частичных сил элемента и через $\delta L$ — приращение работы давлений на элементе $d\sigma$ а поверхности тела, причём все эти приращения отнесены к единице времени, мы всегда имеем возможность по основным дифференциальным законам движений частиц среды составить следующее выражение, причём предполагается, что внешние силы не действуют на частицы среды:

$\iiint (\delta J+\delta W)\,d\omega +\iint \delta L\,d\sigma$

(5.)

В этом выражении $d\omega$ представляет элемент объёма среды, тройной интеграл распространяется на всю среду, а двойной — на её поверхность. Выражение (5) представляет не что иное, как закон сохранения энергии для всей среды.

Для данной среды подобное выражение может быть составлено ещё другим образом, исходя из уравнения I. Умножая обе части этого уравнения на элемент объёма $d\omega$ и интегрируя на всю среду, мы находим:

$\iiint {\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial t}}\,d\omega +\iiint \left[{\frac {\partial \mathrm {E} l_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {E} l_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {E} l_{z}}{\partial z}}\right]\,d\omega$

(6.)

или, преобразовывая второй тройной интеграл,

$\iiint {\frac {\partial \mathrm {E} }{\partial t}}\,d\omega +\iint \mathrm {E} l_{n}\,d\sigma$

(7.)

Тройной интеграл, входящий в это выражение, представляющее закон сохранения энергии для всей среды, должен быть тождествен с тройным интегралом, входящим в выражение (5). Но двойной интеграл, входящий в выражение (7), преобразуется во второй тройной интеграл выражения (6); следовательно, и двойной интеграл, входящий в выражение (5), должен преобразоваться в тройной интеграл, тождественный со вторым тройным интегралом, входящим в выражение (6). Математическое выражение этого тождества и приведёт к выражениям, связывающим законы движения и распределения энергии с частичными движениями сред.

---

1. В оригинальном тексте Н. А. Умов использовал обозначение Э, однако по техническим причинам здесь оно использовано быть не может