Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/74

Чтобы вывести уравненіе (F') изъ (F), напишемъ

$mA=MA-Mm$; $mA'=MA'-Mm$, :$mA.mA'=MA.MA'+(MA+MA')Mm+Mm^{2}$,

или

$mA.mA'=MA.MA'-2M\alpha .Mm-Mm^{2}$. Подобнымъ же образомъ:

$mB.mB'=MB.MB'=2M\beta .Mm+Mm^{2}$

и

$mC.mC'=MC.MC'-2M\gamma .Mm+Mm^{2}$.

Уравненіе (F) обратится въ

$MA.MA'.\beta \gamma -MB.MB'.\alpha \gamma +MC.MC'.\alpha \beta -2Mm.(\beta \gamma .M\alpha -\alpha \gamma .M\beta +\alpha \beta .M\gamma )+(\beta \gamma -\alpha \gamma +\alpha \beta )Mm^{2}=0$.

Но между четырьмя точками $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,M$ всегда имѣемъ соотношеніе

$\beta \gamma .M\alpha -\alpha \gamma .M\beta +\alpha \beta .M\gamma =0$,

какъ мы доказали это въ Примѣчаніи IX (стр. 48); точно также между точками $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ существуетъ всегда соотношеніе

$\beta \gamma -\alpha \gamma +\alpha \beta =0$;

слѣдовательно наше уравненіе дѣйствительно приводится къ уравненію (F).

Остается показать, что уравненіе (F) существуетъ для какого нибудь частнаго положенія точки $m$. Положимъ, что эта точка помѣщена въ центральной точкѣ инволюліи шести точекъ; въ такомъ случаѣ

$mA.mA'=mB.mB'=mC.mC'$

и уравненіе наше приводится къ тождеству

$\beta \gamma -\alpha \gamma +\alpha \beta =0$.

Такимъ образомъ формула (F') и подобная ей формула (F) — доказаны.