чтобы образующійся изъ нихъ треугольникъ былъ вписанъ въ данномъ кругѣ» (теор. 117). Теоремы 105, 107 и 108 суть особые случаи этой задачи, въ которыхъ одна изъ трехъ данныхъ точекъ предполагается на безконечномъ разстояніи.
Если предположимъ, что положеніе трехъ данныхъ точекъ совершенно произвольно, то получимъ болѣе общую задачу, знаменитую и по ея трудности, и по именамъ тѣхъ геометровъ, которые ею занимались, и въ особенности по тому, что самое общее и простое рѣшеніе ея было найдено неаполитанскимъ шестнадцатилѣтнимъ юношею Олтаяно (Oltajano). (См. Примѣчаніе XI).
Приведемъ наконецъ еще 238-ю и послѣднюю лемму, относящуюся къ loci ad superficiem и выражающую свойство директрисъ во всѣхъ трехъ видахъ коническихъ сѣченій. «Разстоянія каждой точки коническаго сѣченія отъ фокуса и отъ директрисы находятся въ постоянномъ отношеніи.» Этой прекрасной теоремы нѣтъ въ коническихъ сѣченіяхъ Аполлонія.
39. Въ 8-й книгѣ Математическаго Собранія говорится главнымъ образомъ о машинахъ, которыя употреблялись въ практической механикѣ, и о примѣненіи ихъ къ органическому образованіго кривыхъ линій. Тутъ же встрѣчаются различныя геометрическія предложенія; изъ нихъ наиболѣе замѣчательна теорема о центрѣ тяжести треугольника, которую можно выразить такъ: «если три тѣла, помѣщенныя первоначально въ вершинахъ треугольника, оставляютъ ихъ въ одно и то же время и движутся въ одномъ и томъ же направленіи по сторонамъ треугольника съ скоростями пропорціональными длинѣ соотвѣтствующихъ сторонъ, то центръ тяжести остается неизмѣннымъ».
Новѣйшіе геометры распространили эту теорему на всякій многоугольникъ, плоскій или косой. Въ изданіи Récréations mathématiques d'Ozanam Монтукла доказалъ ее при помощи механическихъ соображеній и думалъ, что чисто геометрическое рѣшеніе представляетъ значительныя трудности. Рѣшеніе, данное Паппомъ основывается на знаменитой Птоломеевой теоремѣ объ отрѣзкахъ, образуемыхъ сѣкущею на трехъ сторонахъ треугольника. Паппъ при доказательствѣ считаетъ эту послѣднюю теорему извѣстною и потомъ, позднѣе, доказываетъ ее.
