Уравнения движения энергии в телах (Умов)/II: различия между версиями
| [досмотренная версия] | [досмотренная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
дополнение |
|||
Строка 257:
\end{matrix}</math>|58}}
Тройной интеграл, входящий в это выражение, представляет сумму изменений энергии во всех элементах пространства, занятого средой. Действительно, первый член подинтегральной функции тройного интеграла представляет изменение живой силы со временем в одном и том же элементе объёма среды; второй же член той же подинтегральной функции представляет изменение работы давлений в одном и том же элементе, взятое с надлежащим знаком. Отсюда следует, что двойной интеграл выражения ([[#eq58|58]]) представляет количество энергии, входящее в среду через её границы. Следовательно, выражение ([[#eq58|58]]) представляет закон сохранения энергии для всей жидкой среды, и потому оно тождественно с уравнением ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#7|7]]). Двойной интеграл уравнения ([[#eq58|58]]) должен быть тождествен с двойным интегралом уравнения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#7|7]]) и, следовательно, должен преобразовываться в тройной интеграл, тождественный со вторым тройным интегралом выражения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#6|6]]). Действительно, двойной интеграл выражения ([[#eq58|58]]) может быть преобразован в тройной интеграл следующего вида:
{{eqc|<math>
\iiint\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left[u\left(p + \frac{\rho\left(u^2+v^2+w^2\right)}{2}\right)\right]\right. + \\ +\frac{\partial}{\partial y}\left[v\left(p + \frac{\rho\left(u^2+v^2+w^2\right)}{2}\right)\right] + \\ +\left.\frac{\partial}{\partial z}\left[w\left(p + \frac{\rho\left(u^2+v^2+w^2\right)}{2}\right)\right]\right\}\,d\omega = 0,
\end{matrix}</math>|59}}
Подинтегральная функция, входящая в это выражение, представляет уже количество энергии, проникающей в единицу времени в один и тот же элемент объёма жидкости. Справедливость этого заключения может быть поверена непосредственно, преобразовывая подинтегральную функцию тройного интеграла выражения ([[#eq58|58]]) при помощи приведённых выше уравнений гидродинамики. Итак, подинтегральная функция выражения ([[#eq59|59]]) тождественна с подинтегральной функцией второго тройного интеграла выражения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#7|7]]) или со второй частью основного уравнения ([[Уравнения движения энергии в телах (Умов)/I#I|I]]). Из этого тождества вытекают следующие соотношения между законами энергии и законами частичных движений жидких сред:
{{eqc|<math>
\begin{matrix}
-El_x & = & u\left(p+\frac{\rho i^2}{2}\right), \\
-El_y & = & v\left(p+\frac{\rho i^2}{2}\right), \\
-El_z & = & w\left(p+\frac{\rho i^2}{2}\right),
\end{matrix}
\right\}</math>|60}}
где <math>i</math> есть скорость движения частицы жидкости, т. е.
{{eqc|<math>i^2 = u^2 + v^2 + w^2</math>|61}}
Из выражений ([[#eq60|60]]) следует, означая через <math>c</math> скорость движения энергии, т. е.
{{eqc|<math>c^2 = l_x^2 + l_y^2 + l_z^2</math>|62}}
что
{{eqc|<math>Ec = i\left(p+\frac{\rho i^2}{2}\right)</math>|63}}
т. е. количество движения энергии равно произведению скорости движения жидкости на сумму гидростатического давления и живой силы. Деля каждое из уравнений ([[#eq60|60]]) на ([[#eq63|63]]), находим:
{{eqc|<math>\frac{l_x}{c} = \frac{u}{i},\ \frac{l_y}{c} = \frac{v}{i},\ \frac{l_z}{c} = \frac{w}{i};</math>|64}}
иными словами, направление движения энергии одинаково с направлением движения жидкости. Отсюда вытекает заключение, что внутри жидких тел невозможны такие формы движений, при которых направление движения частиц не совпадает с направлением движения энергии. Так, например, в жидких телах невозможно распространение волн с колебаниями поперечными. Выражение ([[#eq63|63]]) существует и на поверхности жидкости; подобно выражению ([[#eq53|53]]) оно даёт возможность вычислять скорости частиц у поверхности жидкости по давлению на этой поверхности и количеству энергии, входящей в тело.
'''§ 9. Случай несжимаемой жидкости.''' Для жидкости несжимаемой величина энергии равна живой силе движения частиц жидкости. Следовательно,
{{eqc|<math>E = \frac{\rho i^2}{2}</math>|65}}
Подставляя эту величину в выражение ([[#eq63|63]]), мы находим:
{{eqc|<math>i^2 - ic + \frac{2p}{\rho} = 0</math>|66}}
откуда
{{eqc|<math>c = i + \frac{2p}{\rho}</math>|67}}
и
{{eqc|<math>i = \frac{c}{2} \pm \sqrt{\frac{c^2}{4} - \frac{2p}{\rho}}</math>|68}}
Последнее выражение показывает нам, во-первых, что для всех форм движения, возможных внутри несжимаемой жидкости, подкоренная величина выражения ([[#eq68|68]]) должна оставаться положительной, т. е.
{{eqc|<math>\frac{c^2}{4} \gg \frac{2p}{\rho}</math>|69}}
Во-вторых, оно показывает, что всегда
{{eqc|<math>i < c</math>|70}}
Скорость <math>i</math> равна скорости <math>c</math> только при <math>p = 0</math>. Выражение ([[#eq69|69]]) даёт возможность определить минимум скорости движения энергии под данным давлением в несжимаемой жидкости. Этот минимум будет:
{{eqc|<math>c_m = \sqrt{\frac{8p}{\rho}}</math>|71}}
Означая через <math>n</math> число атмосфер, под давлением которых находится частица жидкости, через <math>\partial</math> — плотность жидкости относительно воды при 4 °С, принимая, далее, за единицу длины метр и за единицу времени секунду, мы находим:
{{eqc|<math>
\begin{matrix}
p = 10\,334\cdot n\ kg, \\
\rho = \frac{P}{g}\partial
\end{matrix}
\right\}</math>,|72}}
где <math>P</math> есть вес кубического метра воды при 4 °С, т. е. 1000 кг, и <math>g</math> — ускорение тяжести, равное приблизительно 10 м. Вставляя величины ([[#eq72|72]]) в ([[#eq71|71]]), находим:
{{eqc|<math>c = 28,752\sqrt{\frac{n}{\partial}}</math><big>м</big>|73}}
Следовательно, для воды наименьшая возможная скорость движения энергии в частях жидкости, находящихся под давлением одной атмосферы, есть 28,752 м. Формула ([[#eq73|73]]) показывает, что для жидкостей различной плотности минимум скорости энергии понижается с увеличением плотности; для одной и той же жидкости минимум скорости движения энергии повышается с увеличением давления.
Из выражения ([[#eq66|66]]) мы находим:
{{eqc|<math>-\frac{p}{\rho} = \frac{i(i-c)}{2}</math>.|74}}
Подставляя эту величину в уравнения гидродинамики ([[#eq54|54]]), мы приведём их к следующему виду:
{{eqc|<math>
\begin{matrix}
0 = 2\frac{\partial u}{\partial t} + v\zeta - w\eta + \frac{\partial ci}{\partial x}, \\
0 = 2\frac{\partial v}{\partial t} + w\xi - u\zeta + \frac{\partial ci}{\partial y}, \\
0 = 2\frac{\partial w}{\partial t} + u\eta - v\xi + \frac{\partial ci}{\partial z},
\end{matrix}
\right\}</math>|75}}
где
{{eqc|<math>
\begin{matrix}
\frac{\partial v}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial y} = 2\xi, \\
\frac{\partial w}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial z} = 2\eta, \\
\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x} = 2\zeta.
\end{matrix}
\right\}</math>|76}}
Величины <math>\xi</math>, <math>\eta</math> и <math>\zeta</math> представляют вращения элемента объёма около осей <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>. Если в жидкости вращательные движения не существуют, то выражения ([[#eq75|75]]) принимают вид:
{{eqc|<math>
\begin{matrix}
0 = 2\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial ci}{\partial x}, \\
0 = 2\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial ci}{\partial y}, \\
0 = 2\frac{\partial w}{\partial t} + \frac{\partial ci}{\partial z}.
\end{matrix}
\right\}</math>|77}}
Если <math>\varphi</math> есть потенциал скоростей, то
{{eqc|<math>\frac{\partial\varphi}{\partial t} = -\frac{ci}{2}</math>|78}}
т. е. отрицательная частная производная от потенциала скоростей по времени равна половине произведения скорости движения энергии на скорость движения частиц. Функция времени, которая должна быть прибавлена к выражению ([[#eq78|78]]), подразумевается под знаком <math>\varphi</math>.
| |||