Уравнения движения энергии в телах (Умов)/II: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
текст |
|||
Строка 20:
'''§ 4. Уравнения движения энергии в твёрдых телах постоянной упругости.''' Означим через u, v, w перемещения по осям прямоугольных координат центра тяжести элемента объёма, через <math>p_{xx}</math>, <math>p_{yy}</math>, <math>p_{zz}</math> — нормальные и через <math>p_{xy}</math>, <math>p_{yz}</math>, <math>p_{xz}</math> — тангенциальные силы упругости, действующие на стороны бесконечно малого параллелепипеда (причём натяжения принимаются положительными, а давления отрицательными), и через <math>\rho</math> — плотность в какой-нибудь точке среды. Полагая, далее,
{{eqc|<math>\delta u = \frac{du}{dt}=u',\quad\delta v = \frac{dv}{dt}=v',\quad\delta w = \frac{dw}{dt}=w',</math>|8}}
{{eqc|<math></math>|8}}▼
мы найдём следующее выражение закона сохранения энергии для всего упругого тела:
{{eqc|<math>
\begin{matrix}
\iiint\frac{\rho}{2}\delta\left(u'^2+v'^2+w'^2\right)\,d\omega + \iiint\left[p_{xx}\frac{\partial\delta u}{\partial x} + p_{yy}\frac{\partial\delta v}{\partial y} + p_{zz}\frac{\partial\delta w}{\partial z}\right. + \\
+ \left. p_{yz}\left(\frac{\partial\delta v}{\partial z} + \frac{\partial\delta w}{\partial y}\right) + p_{xz}\left(\frac{\partial\delta w}{\partial x} + \frac{\partial\delta u}{\partial z}\right) + p_{xy}\left(\frac{\partial\delta u}{\partial y} + \frac{\partial\delta v}{\partial x}\right)\right]\,d\omega - \\
- \iint\left\{\delta u\left[p_{xx}\cos(nx) + p_{xy}\cos(ny) + p_{xz}\cos(nz)\right]\right. + \\
+ \delta v\left[p_{xy}\cos(nx) + p_{yy}\cos(ny) + p_{yz}\cos(nz)\right] + \\
+ \left. \delta w\left[p_{xz}\cos(nx) + p_{yz}\cos(ny) + p_{zz}\cos(nz)\right]\right\}\,d\sigma = 0
\end{matrix}
Первые два тройных интеграла представляют приращение энергии, отнесённое к единице времени, во всей упругой среде. Двойной интеграл распространяется на всю поверхность среды и представляет работу внешних давлений. Мы опускаем действие внешних сил на элементы упругой среды. Обращая внимание на значение величин <math>\delta u</math>, <math>\delta v</math> и <math>\delta w</math> по формуле ([[#eq8|8]]), мы замечаем, что двойной интеграл выражения ([[#eq9|9]]) преобразуется в следующий тройной интеграл:
{{eqc|<math></math>|10}}
| |||