О стационарном движении электричества на проводящих поверхностях произвольного вида (Умов)

О стационарном движении электричества на проводящих поверхностях произвольного вида
автор Николай Алексеевич Умов (1846—1915)

Дата создания: 1877, опубл.: 1878. Источник: Умов Н. А. Избранные сочинения / А. С. Предводителев — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — С. 447—453. — 5000 экз. • впервые опубликована в «Математическом сборнике», т. 9

В июне 1875 г. мною была представлена проф. Кирхгофу работа, носящая заглавие настоящей статьи. Результаты этой работы помещены были проф. Кирхгофом в Monatsberichte der Konigl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin за 1875 г. под заглавием: «Uber die stationaren elektrischen Stromungen in einer gekrummten leitenden Flache». Доказательство же этих результатов дано было проф. Кирхгофом отличное от моего; метод, им употреблённый, сходен с тем, который мы находим в его же статье: «Uber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene etc.» (Pogg. Ann., LXIV).

Я считаю нелишним привести здесь мне принадлежащее доказательство найденных мною результатов. Представим себе поверхность произвольного вида или изогнутую пластинку бесконечно малой, но равномерной толщины из однородного вещества, проводящего электричество. На этой поверхности проведём двойную сеть её линий кривизны. Параметры линий кривизны каждой системы означим через $\rho$ и $\rho _{1}$. Положение точки на поверхности будем определять пересекающимися в ней линиями кривизны $\rho$ и $\rho _{1}$ Элементы этих линий будем означать соответственно через $ds$ и $ds_{1}$ Мы имеем:

$ds=\theta _{1}d\rho _{1},\qquad ds_{1}=\theta d\rho$

(1.)

где $\theta _{1}$ и $\theta$ суть некоторые функции переменных $\rho$ и $\rho _{1}$. Предположим, что на поверхности установилось стационарное движение электричества. Тогда через периферию каждого элемента поверхности столько же втекает электричества, сколько и вытекает. Выразим аналитически это условие стационарности электрического движения для бесконечно малого четырёхугольника, который образован пересечением четырёх линий кривизны $\rho$, $\rho +d\rho$ и $\rho _{1}$, $\rho _{1}+d\rho _{1}$. Означим стороны четырёхугольника, лежащие на линиях кривизны $\rho$ и $\rho +d\rho$, через $ds$ и $ds'$ на линиях кривизны $\rho _{1}$ и $\rho _{1}+d\rho _{1}$ — через $ds_{1}$ и $ds'_{1}$. Назовём через $\kappa /$ электропроводность пластинки и через $\delta$ — её толщину. Электродвижущая сила, действующая в точке элемента $ds$ в направлении, к нему перпендикулярному, есть

$-{\frac {\partial V}{\partial s_{1}}}$

(2.)

где $V$ означает потенциал свободного электричества, находящегося на нашей кривой пластинке. Количество электричества, втекающего в продолжение элемента времени $dt$ в наш четырёхугольник через сторону его $ds$, будет:

$-\kappa \cdot \delta \cdot dt\cdot {\frac {\partial V}{\partial s_{1}}}ds$

(3.)

Через противоположную сторону $ds'$ вытекает в то же самое время количество электричества, равное

$-\kappa \cdot \delta \cdot dt\cdot \left[{\frac {\partial V}{\partial s_{1}}}ds+{\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial V}{\partial s_{1}}}ds\right)ds_{1}\right]$

(4.)

Подобным же образом через элемент $ds_{1}$ втекает количество электричества за тот же промежуток времени:

$-\kappa \cdot \delta \cdot dt\cdot {\frac {\partial V}{\partial s}}ds_{1}$

(5.)

и вытекает через противоположную сторону $ds'_{1}$:

$-\kappa \cdot \delta \cdot dt\cdot \left[{\frac {\partial V}{\partial s}}ds_{1}+{\frac {\partial }{\partial s}}\left({\frac {\partial V}{\partial s}}ds_{1}\right)ds\right]$

(6.)

Избыток вытекающего электричества над втекающим в случае стационарного движения электричества должен быть равен нулю; следовательно,

${\frac {\partial }{\partial s_{1}}}\left({\frac {\partial V}{\partial s_{1}}}ds\right)ds_{1}+{\frac {\partial }{\partial s}}\left({\frac {\partial V}{\partial s}}ds_{1}\right)ds=0$

(7.)

Внося в это уравнение величины $ds$ и $ds_{1}$ из выражений (1), сокращая произведение $d\rho$ · $d\rho _{1}$, находим:

${\frac {\partial }{\partial \rho }}\left({\frac {\theta _{1}}{\theta }}{\frac {\partial V}{\partial \rho }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \rho _{1}}}\left({\frac {\theta }{\theta _{1}}}{\frac {\partial V}{\partial \rho _{1}}}\right)=0$

(8.)

Это есть дифференциальное уравнение с частными производными, которому должен удовлетворять потенциал свободного электричества на изогнутой пластинке в случае стационарного движения электричества. Общий интеграл уравнений такого вида был дан мною в статье: «Законы колебаний в неограниченной среде постоянной упругости» (Математический сборник, т. V, стр. 24).

Так как нам нужен этот общий интеграл для последующего, то я найду его здесь, тем более, что в упомянутой мною статье о нем было сказано слишком кратко. Означим через $\xi$ и $\eta$ интегралы дифференциальных уравнений:

$\theta d\rho +\theta _{1}d\rho _{1}{\sqrt {-1}}=0$

и

$\theta d\rho -\theta _{1}d\rho _{1}{\sqrt {-1}}=0$

тогда, называя через $\psi$, $\psi _{1}$ интегрирующце множители этих уравнений, имеем:

$\left.{\begin{matrix}d\xi &=&\psi (\theta d\rho +\theta _{1}d\rho _{1}{\sqrt {-1}})\\d\eta &=&\psi _{1}(\theta d\rho -\theta _{1}d\rho _{1}{\sqrt {-1}})\end{matrix}}\right\}$

(10.)

Легко доказать, что

$V=f(\xi )+F(\eta )$

(11.)

будет общим интегралом дифференциального уравнения с частными производными (8). В самом деле, условия интегрируемости уравнений (10) будут:

$\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial (\psi \theta )}{\partial \rho _{1}}}&=&{\frac {\partial (\psi \theta _{1})}{\partial \rho }}{\sqrt {-1}}\\{\frac {\partial (\psi _{1}\theta )}{\partial \rho _{1}}}&=&-{\frac {\partial (\psi _{1}\theta _{1})}{\partial \rho }}{\sqrt {-1}}\end{matrix}}\right\}$

(12.)

Достаточно доказать, что $f(\xi )$ будет интегралом нашего уравнения (8); тем же способом докажется, что и $F(\eta )$ есть интеграл того же уравнения. Полагая

$V=f(\xi )$

(13.)

мы находим:

${\frac {\partial V}{\partial \rho }}={\frac {\partial V}{\partial \xi }}\psi \theta ,\quad {\frac {\partial V}{\partial \rho _{1}}}={\frac {\partial V}{\partial \xi }}\psi \theta _{1}{\sqrt {-1}}$

(14.)

Отсюда

$\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left({\frac {\theta _{1}}{\theta }}{\frac {\partial V}{\partial \rho }}\right)={\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\psi \theta _{1}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right)={\frac {\partial (\psi \theta _{1})}{\partial \rho }}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}-\psi ^{2}\theta _{1}\theta {\frac {\partial ^{2}V}{\partial \xi ^{2}}}\\{\frac {\partial }{\partial \rho _{1}}}\left({\frac {\theta }{\theta _{1}}}{\frac {\partial V}{\partial \rho _{1}}}\right)={\frac {\partial }{\partial \rho _{1}}}\left(\psi \theta {\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right){\sqrt {-1}}={\frac {\partial (\psi \theta )}{\partial \rho _{1}}}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}{\sqrt {-1}}-\psi ^{2}\theta _{1}\theta {\frac {\partial ^{2}V}{\partial \xi ^{2}}}\end{matrix}}\right\}$

(15.)

Но первое из выражений даёт нам

${\frac {\partial (\psi \theta )}{\partial \rho _{1}}}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}{\sqrt {-1}}=-{\frac {\partial (\psi \theta _{1})}{\partial \rho }}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}$

(16.)

Складывая выражения (15), обращая внимание на соотношение (16), мы находим, что сумма их тождественно равна нулю, чем и доказывается наше предложение.

Перейдём теперь к преобразованию уравнения с частными производными (8), которое даст нам возможность свести вопрос о распределении стационарных электрических токов на поверхностях произвольного вида к вопросу о распределении токов на некоторой плоской пластинке. Общий вид интегрирующих множителей $\psi$ и $\psi _{1}$ в выражениях (1) будет:

$\left.{\begin{matrix}\psi &=&a+b{\sqrt {-1}}\\\psi _{1}&=&a-b{\sqrt {-1}}\end{matrix}}\right\}$

(17.)

где $a$ и $b$ суть некоторые функции переменных $\rho$ и $\rho _{1}$ Внося выражения (17) в выражения (10), находим:

$\left.{\begin{matrix}d\xi &=&(a\theta d\rho -b\theta _{1}d\rho _{1})+(b\theta d\rho +a\theta _{1}d\rho _{1}){\sqrt {-1}}\\d\eta &=&(a\theta d\rho -b\theta _{1}d\rho _{1})-(b\theta d\rho +a\theta _{1}d\rho _{1}){\sqrt {-1}}\end{matrix}}\right\}$

(18.)

Так как эти выражения суть полные дифференциалы, то действительные и мнимые их части суть тоже полные дифференциалы. Вводя две новые переменные $x$ и $y$, мы можем, следовательно, написать:

$\left.{\begin{matrix}dx&=&a\theta d\rho -b\theta _{1}d\rho _{1}\\dy&=&b\theta d\rho +a\theta _{1}d\rho _{1}\end{matrix}}\right\}$

(19.)

и

$\left.{\begin{matrix}d\xi &=&dx+dy{\sqrt {-1}}\\d\eta &=&dx-dy{\sqrt {-1}}\end{matrix}}\right\}$

(20.)

Интегралы этих последних уравнений будут:

$\left.{\begin{matrix}\xi &=&x+y{\sqrt {-1}}\\\eta &=&x-y{\sqrt {-1}}\end{matrix}}\right\}$

(21.)

Следовательно, общий интеграл (11) уравнения с частными производными (8) будет:

$V=f(x+y{\sqrt {-1}})+F(x-y{\sqrt {-1}})$

(22.)

Такое выражение общего интеграла уравнения (8) показывает нам, что это уравнение в переменных $x$ и $y$, связанных с переменными $\rho$ и $\rho _{1}$ дифференциальными уравнениями (19), принимает вид:

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=0$

(23.)

Этому же уравнению должен удовлетворять, в случае стационарного движения электричества, потенциал на плоской пластинке, совпадающей с плоскостью $xy$.

Итак, решение вопроса о распределении электрических токов на поверхности произвольного вида приводится к решению вопроса о распределении электрических токов на некоторой плоской пластинке. Посмотрим теперь, в каком отношении находится эта пластинка к нашей поверхности.

Во-первых, очевидно, что каждой точке поверхности будет соответствовать по меньшей мере одна точка пластинки.

Решая уравнения (19) относительно $d\rho$ и $d\rho _{1}$, мы находим:

$\left.{\begin{matrix}d\rho &=&{\frac {adx+bdy}{\theta \left(a^{2}+b^{2}\right)}}\\d\rho _{1}&=&{\frac {ady-bdx}{\theta _{1}\left(a^{2}+b^{2}\right)}}\end{matrix}}\right\}$

(24.)

Линиям кривизны $\rho$ и $\rho _{1}$ поверхности будут соответствовать на нашей пластинке кривые линии, секущие друг друга под прямым углом и дифференциальные уравнения коих будут:

$\left.{\begin{matrix}adx+bdy&=&0\\ady-bdx&=&0\end{matrix}}\right\}$

(25.)

Следовательно, каждому прямоугольнику на нашей поверхности будет соответствовать прямоугольник на нашей пластинке. Двум элементам $ds$ и $ds_{1}$ линий кривизны поверхности будут соответствовать два элемента $d\sigma$ и $d\sigma _{1}$ линий (25), которые мы найдём, полагая в выражениях (19) или $d\rho =0$ или $d\rho _{1}=0$. Именно:

$\left.{\begin{matrix}d\sigma &=&{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}ds\\d\sigma _{1}&=&{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}ds_{1}\end{matrix}}\right\}$

(26.)

откуда заключаем, что

${\frac {d\sigma }{d\sigma _{1}}}={\frac {ds}{ds_{1}}}$

(27.)

Следовательно, пластинка наша представляет собою изображение поверхности на плоскости, подобное изображаемой поверхности в мельчайших частях. Заметим, что задача о такого рода изображении поверхности произвольного вида на плоскости была разрешена Гауссом (Gauss, Werke, Bd. IV, S. 193).

Одесса.

21 марта 1877 г.