НЭС/Определитель

Определитель
Новый энциклопедический словарь

Словник: Ньюфаундленд — Отто. Источник: т. 29: Ньюфаундленд — Отто (1916), стлб. 555 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Определитель (Determinant). Решая два уравнения первой степени с двумя неизвестными:

$a_{1}x+b_{1}y=c_{1}$,

$a_{2}x+b_{2}y=c_{2}$,

получаем следующие выражения для x и y:

$x={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}$,

$y={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}$.

Подобным же образом, решая три уравнения первой степени с тремя неизвестными, получим выражения последних в виде отношений многочленов, составленных из постоянных, входящих в уравнения. Например, многочлен, стоящий в знаменателях, будет:

$a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{3}c_{1}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}$.

Многочлены такого вида называются определителями и обозначаются особыми символами; так:

$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}={\begin{vmatrix}a_{1},&a_{2}\\b_{1},&b_{2}\end{vmatrix}}$

$a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}+\ldots -a_{3}b_{2}c_{1}={\begin{vmatrix}a_{1},&a_{2},&a_{3}\\b_{1},&b_{2},&b_{3}\\c_{1},&c_{2},&c_{3}\end{vmatrix}}$

Свойства О. и действия над ними рассматриваются в алгебраическом анализе. Многие сложные вычисления значительно упрощаются при пользовании О. В высшем анализе приходится пользоваться так называемыми функциональными О., составленными из производных от функций, зависящих от нескольких переменных; таков, напр., функциональный определитель:

${\begin{vmatrix}{\frac {d\varphi _{1}}{dx_{1}}},&{\frac {d\varphi _{1}}{dx_{2}}},&{\frac {d\varphi _{1}}{dx_{3}}}\\{\frac {d\varphi _{2}}{dx_{1}}},&{\frac {d\varphi _{2}}{dx_{2}}},&{\frac {d\varphi _{2}}{dx_{3}}}\\{\frac {d\varphi _{3}}{dx_{1}}},&{\frac {d\varphi _{3}}{dx_{2}}},&{\frac {d\varphi _{3}}{dx_{3}}}\end{vmatrix}}$

трех функций φ₁, φ₂, φ₃ от трех переменных x₁, x₂, x₃. Есть на всех языках сочинения, заключающие теорию О. — См. Е. Нетто, «Начала теории определителей» (Одесса, 1912).