НЭС/Наибольшие и наименьшие показатели

Наибольшие и наименьшие показатели
Новый энциклопедический словарь

Словник: Молочница — Наручи. Источник: т. 27: Молочница — Наручи (1916), стлб. 818—819 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Наибольшие и наименьшие показатели. — Способ Н. и наименьших показателей был предложен Ньютоном для разложения переменного y в ряд по убывающим или по возрастающим степеням переменного x в тех случаях, когда x и y связаны уравнением вида f(x, y) = 0. Способ этот, называемый также параллелограммом Ньютона, может иметь широкое применение к теории алгебраических функций, к исследованию особых точек кривых, к теории дифференциальных уравнений и так далее. Пусть данное уравнение будет:

$(1)\qquad a_{0}x^{m_{0}}y^{n_{0}}+a_{1}x^{m_{1}}y^{n_{1}}+a_{2}x^{m_{2}}y^{n_{2}}+\ldots =0.$

Цель рассматриваемого способа заключается в отыскании разложения переменного y по степеням переменного x, т.-е. в нахождении для разложения: y = Ax^α + Bx^β + Cx^γ + … показателей: α, β, γ… и коэффициентов: A, B, C… Положим, что требуется найти разложение по восходящим степеням, т.-е. что: α < β < γ… Вставив в данное уравнение (1) вместо y величину Ax^α, получим:

$(2)\qquad A^{n_{0}}a_{0}x^{m_{0}+n_{0}\alpha }+A^{n_{1}}a_{1}x^{m_{1}+n_{1}\alpha }+A^{n_{2}}a_{2}x^{m_{2}+n_{2}\alpha }+\ldots =0;$

‎если α наименьший показатель в искомом разложении, то среди величин:

$(3)\qquad m_{0}+n_{0}\alpha ;\,m_{1}+n_{1}\alpha ;\,m_{2}+n_{2}\alpha \ldots$

‎найдутся, по крайней мере, две, которые будут равны между собою и меньше остальных величин ряда (3). В силу этого принципа задача о нахождении α сводится к тому, чтобы составить всевозможные равенства из величин ряда (3), приравнивая их одну другой, из полученных уравнений определить различные значения α и из этих значений выбрать такие, которые обращали бы соответственные равные величины ряда (3) в наименьшие. Выбранные таким порядком значения и будут наименьшими показателями разложения. Сколько определится наименьших показателей, столько будет и разложений, удовлетворяющих вопросу. Для определения коэффициента A вставим один из найденных наименьших показателей вместо α в уравнение (2) и приравняем нулю сумму коэффициентов тех членов этого уравнения, которые окажутся содержащими одинаковые степени переменного x. Таким образом получим уравнение, из которого определится A. Найдя α и A, полагаем: y = Ax^α + y₁. Вставляя эту величину переменного y в данное уравнение (1), получим уравнение вида F(x, y₁) = 0, с которым поступаем так, как до сих пор поступали с данным уравнением, при чем найдем второй член Bx^β искомого разложения. Однако, здесь мы выбираем только тех показателей переменного x в разложении y₁, которые, удовлетворяя началу наименьших показателей, будут более найденного α. Затем, полагая y₁ = Bx^β + y₁₁, преобразуем уравнение F(x, y₁) = 0 в уравнение F₁(x, y₁₁) = 0 и продолжаем вычисление для определения Cx^γ и дальнейших членов разложения. Для нахождения таких значений α, при которых некоторые из величин ряда (3) вышли бы равными между собою и меньшими остальных, можно пользоваться и некоторым геометрическим построением, которое и дало повод к названию «параллелограмм Ньютона». Его можно найти, напр., в курсе «Аналитической Геометрии» Д. А. Граве. Если же нужно получить разложение по нисходящим степеням x, то прибегают к способу наибольших показателей, совершенно сходному с предыдущим. Рассматриваемый способ был дан Ньютоном в знаменитом его сочинении: «Methodus fluxionum et serierum infinitarum cum ejusdem applicatione ad curvarum geometriam». Затем этот способ положен основанием изучения алгебраических кривых в сочинении Крамера: «Introduction à l’analyse des lignes courbes algebriques» (1750). В аналитической форме способ Н. и наименьших показателей изложен у Serret в его «Cours d’algèbre superieure» (т. II) и у Бугаева в его ст.: «Различные приложения начала Н. и наименьших показателей к теории алгебраических функций» («Матем. Сборник», т. XIV).