ЭСБЕ/Наибольшие и наименьшие показатели

Наибольшие и наименьшие показатели
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
Brockhaus Lexikon.jpg Словник: Московский Университет — Наказания исправительные. Источник: т. XX (1897): Московский Университет — Наказания исправительные, с. 464—466 ( скан )
 Википроекты: Wikipedia-logo.png Википедия


Наибольшие и наименьшие показатели. — Способ Н. и наименьших показателей был предложен Ньютоном для разложения переменного в ряд по убывающим или по возрастающим степеням переменного в тех случаях, когда и связаны уравнением вида Способ этот, называемый также параллелограммом Ньютона, может иметь широкое применение к теории алгебраических функций, к исследованию особых точек кривых, к теории дифференциальных уравнений и так далее. Пусть данное уравнение будет:

(1) ...

Цель рассматриваемого способа заключается в отыскании разложения переменного по степеням переменного т. е. в нахождении для разложения: показателей: и коэффициентов: Положим, что требуется найти разложение по восходящим степеням, т. е. что: Вставив в данное уравнение (1) вместо величину получим:

(2) ...

если наименьший показатель в искомом разложении, то (по Ньютону) среди величин:

(3) ...

найдутся по крайней мере две, которые будут равны между собой и меньше остальных величин ряда (3). В силу этого принципа задача о нахождении сводится к тому, чтобы составить всевозможные равенства из величин ряда (3), приравнивая их одну другой, из полученных уравнений определить различные значения и из этих значений выбрать такие, которые обращали бы соответственные равные величины ряда (3) в наименьшие. Выбранные таким порядком значения и будут наименьшими показателями разложения. Сколько определится наименьших показателей, столько будет и разложений, удовлетворяющих вопросу. Для определения коэффициента вставим один из найденных наименьших показателей вместо в уравнение (2) и приравняем нулю сумму коэффициентов тех членов этого уравнения, которые окажутся содержащими одинаковые степени переменного Таким образом получим уравнение, из которого определится Найдя и полагаем: Вставляя эту величину переменного в данное уравнение (1), получим уравнение вида с которым поступаем так, как до сих пор поступали с данным уравнением, причем найдем второй член искомого разложения. Однако, здесь мы выбираем только тех показателей переменного в разложении которые, удовлетворяя началу наименьших показателей, будут более найденного Затем, полагая преобразуем уравнение в уравнение и продолжаем вычисление для определения и дальнейших членов разложения. Для нахождения таких значений при которых некоторые из величин ряда (3) вышли бы равными между собой и меньшими остальных, служит табличка (см. ниже). Пусть дано уравнение:

(1)′...

Вставляя в него вместо величину получим:

(2)′ ...

Показатель второго члена уравнения (2) не следует принимать в рассмотрение, потому что он при всяких более показателя третьего члена. Ряд, соответственный ряду (3) изложенной выше теории, будет:

(3)′ ...

Найдя всевозможные уравнения, составленные из этих величин, как то: и проч. и вставляя в ряд (3) определенные из этих уравнений значения составляем табличку:

Величины ряда (3)′ I II III IV V VI
α = − 2 α = − 1/2 α = − 2/3 α = + 1 α = 0 α = − 1
3α + 2 − 4 + 1/2 0 5 2 + 1
− 4 11/2 4/3 2 0 − 2
α + 1 − 1 1/2 1/3 2 1 0
0 0 0 0 0 0 0

Началу наименьших показателей удовлетворяет только и потому что только в 1-м и V-м столбцах мы находим величины, равные между собой и меньшие сравнительно с другими величинами своего столбца; именно в 1-м столбце число −4 стоит против и против в V-м столбце число 0 стоит против и против 0. Напр. IV столбец и соответственная ему величина не годятся, потому что, хотя в этом столбце число 2 встречается два раза, но в нем же есть число 0, которое меньше чем 2. Итак, возможны два допущения для первого члена искомого разложения: и Для определения замечаем, что при подстановке −2 вместо в уравнение (2)′ окажутся равными показатели членов: и Приравнивая сумму их коэффициентов нулю, получим: откуда Точно так же найдем (из подстановки числа 0 вместо ), что Итак, получим три разложения:

Указанным в приведенной выше теории порядком найдем и остальных членов этих разложений. Остановимся, напр., на первом разложении. Первый член его мы нашли равным Чтобы найти следующий член, полагаем: Вставив эту величину в данное уравнение, получим:

поступая с полученным уравнением подобно тому, как поступали с данным, определим и и так далее. В получаемом таким путем разложении по восходящим степеням переменного можно пренебрегать высшими степенями этого переменного, если небольшая величина. Если же величина большая, то можно пренебрегать его малыми степенями, а потому в этом случае удобнее стремиться найти разложение по нисходящим степеням переменного В этом случае прибегают к способу Н. показателей, совершенно сходному со способом показателей наименьших. Рассматриваемый способ был дан Ньютоном в знаменитом его сочинении: «Methodus fluxionum et serierum infinitarum cum ejusdem applicatione ad curvarum geometriam». Затем этот способ положен основанием изучения алгебраических кривых в сочинении Крамера: «Introduction à l’analyse des lignes courbes algebriques» (1750). Лиувилль применил этот способ к вычислению некоторых симметрических функций: «Jonrnal des Mathématiques pures et appliquées» (т. VI). Пюизе прилагал этот способ к теории алгебраических функции, Бугаев — к теории дифференциальных уравнений: «Математический Сборник» (т. XVI). Геометрическое построение, соответствующее этому способу, изложено в «Аналитической Геометрии» Д. А. Граве. В аналитической форме способ Н. и наименьших показателей изложен у Serret в его «Cours d’algèbre superieure» (т. II) и у Бугаева в его ст.: «Различные приложения начала Н. и наименьших показателей к теории алгебраических функций» («Матем. Сборник», т. XIV).