Эвклидовский метод доказательства из собственного же лона породил на себя самую меткую пародию и карикатуру — в знаменитом споре о теории параллелей и в повторяющихся из года в год попытках доказать одиннадцатую аксиому. Последняя гласит, — прибегая к посредствующему признаку третьей, пересекающей линии, — что две линии, склоняющиеся одна к другой (ведь это и значит «быть меньше двух прямых»), если их достаточно продолжить, непременно встретятся. Эта истина кажется слишком сложной для того, чтобы считаться самоочевидной; поэтому она требует доказательства, которого однако не могут найти — именно потому, что нет истины, более непосредственной. Эта добросовестность напоминает мне юридический вопрос Шиллера:
Многие годы мой нос для обонянья мне служит:
Но обладаю ли я доказуемым правом на нос?
И мне думается, что логический метод доходить таким образом до абсурда. Но именно пререкания по данному вопросу, наряду с бесплодными попытками выяснить косвенную достоверность того, что достоверно непосредственным образом, — именно это составляет настолько же поучительный, насколько и забавный контраст между самостоятельностью и ясностью интуитивно-очевидного — с одной стороны, и бесполезностью и трудностью логического доказательства — с другой. Эвклидовский метод не признает непосредственной достоверности потому, что она не имеет чисто-логического характера, не вытекает из самого понятия, т. е. не опирается исключительно на отношение предиката к субъекту, по закону противоречия. Но ведь указанная аксиома — синтетическое суждение a priori, и за нее в качестве такого ручается чистое, не-эмпирическое воззрение, которое столь же непосредственно и достоверно, как и самый закон противоречия, откуда все доказательства только и заимствуют свою убедительность. В сущности сказанное применимо ко всякой геометрической теореме, и мы поступаем произвольно, когда желаем провести здесь границу между тем, что непосредственно достоверно, и тем, что нужно еще доказать.
Меня удивляет, что никто не остановился скорее на восьмой аксиоме: «фигуры, покрывающие друг друга при наложении, равны». Ведь покрывать друг друга при наложении — это либо тавтология, либо нечто совершенно эмпирическое и относящееся не к чистому воззрению, а к внешнему чувственному опыту. Здесь предполагается подвижность фигур; но подвижное в пространстве — это исключительно материя, и таким образом, ссылка на взаимное наложение покидает чистое пространство, единственную стихию геометрии, для того чтобы перейти в область материального и эмпирического.
Знаменитая надпись над школой Платона: Αγεωμετρητος μηδεις ειςιτω (несведущий в геометрии да не войдет), эта надпись, которой столь гордятся математики, несомненно объясняется тем, что Платон усматривал в геометрических фигурах нечто среднее между вечными идеями и отдельными вещами, как об этом часто упоминает Аристотель в своей Метафизике (в особенности I, с. 6 стр. 887, 998 и Scholia, стр. 827, Ed. Berol.). Кроме того, противоположность между самодовлеющими, вечными формами, или идеями, и преходящими отдельными вещами легче всего можно было уяснить на геометрических фигурах и этим положить основание для идеологии, которая составляет центр философии Платона и даже его единственно: серьезный и определенный теоретический догмат; вот почему при изложении идеологии Платон исходил из геометрии. Таков же смысл известия, что он рассматривал геометрию как подготовительную школу, в которой ум учеников, до тех пор, в практической жизни, занимавшийся только одними телесными вещами, привыкал к изучению бестелесных предметов (Schol. in Aristot., р. 12, 15). Вот, значит, в каком смысле Платон рекомендовал философам геометрию, и мы не имеем права давать этому совету более широкое толкование. С своей стороны, я мог бы рекомендовать в качестве исследования о влиянии математики на наши умственные способности и о значении ее для научного образования вообще, — очень основательное и ученое рассуждение в форме рецензии на одну книгу Уэлля, в Edinburgh’ Review (январь, 1836); автором его является В. Гамильтон, профессор логики и метафизики в Шотландии, — он впоследствии обнародовал его под своей фамилией вместе с некоторыми другими статьями. Названное рассуждение нашло себе немецкого переводчика и появилось отдельно под заглавием: «О пригодности и непригодности математики», с английского, 1836. Взгляд автора сводится к тому, что пригодность математики — лишь косвенная: именно, ею следует пользоваться для тех целей, которые достижимы только посредством нее; сама же по себе, математика оставляет ум на той же ступени, где она его нашла, и не только не способствует его дальнейшей культуре и развитию, но даже прямо задерживает их. Этот вывод опирается не только на основательное теоретическое исследование математических способностей ума, но и подкреплен весьма ученым подбором отдельных примеров и авторитетных мнений. Единственная непосредственная польза, которую автор оставляет на долю математики, заключается в том, что последняя может приучить рассеянные и неустойчивые умы сосредоточивать свое внимание на одном предмете. Даже Картезий, который сам был знаменитый математик, придерживался такого же мнения о своей науке. В книге Baillet: Vie de Descartes, 1693 (кн. II, гл. 6, стр. 54) мы читаем: «он по собственному опыту знал, что математика мало полезна, в особенности если ее разрабатывают исключительно ради нее самой… В его глазах не было ничего легкомысленнее, как заниматься просто-напросто числами и воображаемыми фигурами» и т. д.