Квадратура круга (Перельман)/Глава 7

Квадратура круга — Глава 7
автор Яков Исидорович Перельман (1882-1942)

Опубл.: 1941.

Ответы и Указания

1. Если радиус круга $R$, то площадь его $\pi R^{2}$, а длина окружности $2\pi R$. Квадрат, площадь которого старинное правило принимает равной площади круга, имеет сторону длиною ${\frac {2\pi R}{4}}={\frac {\pi R}{2}}$. Площадь такого квадрата равна

$\left({\frac {\pi R}{2}}\right)^{2}={\frac {\pi ^{2}R^{2}}{4}}$

Отношение

${\frac {\pi ^{2}R^{2}}{4}}:\pi R^{2}=0,785$

показывает, что старинное правило дает преуменьшение почти на 22%.

2. Из отношения

$\left({\frac {8}{9}}\cdot 2R\right)^{2}:\pi R^{2}$

легко установить, что изложенное в задаче правило даёт преувеличение примерно на 0,6%.

3. Правило дает преуменьшение примерно на 2½%.

4. Оба выражения не решают задачи о квадратуре круга, потому что они не могут быть найдены помощью конечного числа математических операций.

5. Построив (рис. 6) прямоугольный треугольник с катетами в 1 и 3 единицы длины, получаем гипотенузу длиною в ${\sqrt {1+9}}$, т.е. ${\sqrt {10}}$ тех же единиц. Этот отрезок приближенно выражает длину окружности, диаметр которой равен взятой единице длины. Зная это, можно построить прямоугольник, приближенно равновеликий кругу; таким прямоугольником будет, например, прямоугольник со сторонами в 1 и ${\frac {1}{2}}{\sqrt {10}}$ единиц длины.

<Рисунок 6>

Построенный прямоугольник легко превратить в равновеликий квадрат. (См. рис. 3 и относящийся к нему текст).

6. Сумма ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=1,414+1,732=3.146$. Зная, что при радиусе, равном единице длины, ${\sqrt {2}}$ есть сторона вписанного квадрата (рис. 4), а ${\sqrt {2}}$ — сторона вписанного равностороннего треугольника (рис. 5), легко построить отрезок, приближенно равный длине полуокружности. Дальнейший ход построения читатель найдет сам, руководствуясь указаниями, данными выше.

7. Сумма $1,8+{\sqrt {1,8}}=1,8+1,342=3,142$. Для построения отрезка в $1,8+{\sqrt {1,8}}$ единиц длины, надо уметь построить отрезок равный ${\sqrt {1,8}}$ единиц длины. Построение может быть выполнено, как нахождение средне-пропорционального между отрезками в 1 и 1,8 ед. длины (рис. 7). Далее смотри решения предыдущих задач.

<Рисунок 7>

8. Так как выражение

$1{\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}+{\sqrt {\left(1{\frac {1}{5}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{5}}\right)^{2}}}$

равно $1,8+{\sqrt {1,8}}$, то задача является видоизменением предыдущей.

9. Семь верных цифр.

10. Подобных правил можно предложить много. Вот одно из возможных: площадь круга приближенно равна ${\frac {3}{4}}$ площади описанного квадрата плюс половина десятой доли этой величины. Легко видеть, что здесь $\pi$ принимается равным 3,15 — приближение достаточное для многих практических целей.