Квадратура круга (Перельман)/Глава 4

Квадратура круга — Глава 4
автор Яков Исидорович Перельман (1882-1942)

Опубл.: 1941.

Завершение поисков

Каким бы путем ни приступать к задаче о квадратуре круга, она приводит к необходимости построить отрезок $x$, удовлетворяющий уравнению

$x^{2}=\pi R^{h}$;

Иначе говоря, задача приводит к построению формулы $x=r{\sqrt {\pi }}$. Чтобы установить, выполнимо ли это построение, нужно выяснить, какие вообще выражения могут быть построены циркулем и линейкой. В высшей математике (в той ее отрасли, которая называется аналитической геометрией) доказывается, что циркулем и линейкой могут быть построены только такие выражения, в состав которых входят действия сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения квадратного корня и никакие другие; при этом число перечисленных операций не должно быть бесконечно велико. Тем же условиям должны удовлетворять и числа, входящие в формулу: если они не даны прямо, они должны получаться в результате только перечисленных действий.

Так, например, следующая формула

${\frac {2r{\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}}{5}}$

может быть построена (это — сторона правильного описанного десятиугольника). Напротив, простая на вид формула удвоения куба

$a{\sqrt[{3}]{2}}$

не может быть построена. Обращаясь к формуле квадратуры круга, $x=r{\sqrt {\pi }}$, мы видим, что она заключает только действия умножения и извлечения квадратного корня, т.е. операции, позволяющие выполнить построение. Однако, в формулу входит число $\pi$, и надо установить, допускает ли формула, содержащая это число, выполнение построения. Немецкий математик Ламберт доказал В 1766 г., что число $\pi$ принадлежит к роду чисел, называемых несоизмеримыми (или иррациональными); такие числа не могут быть точно выражены конечным рядом цифр. Среди не-математиков распространено мнение, что неразрешимость квадратуры круга обусловлена несоизмеримостью числа $\pi$, так как нельзя будто бы построить число, выражающееся бесконечным рядом цифр. Это обоснование неправильно. Существует такой род несоизмеримых чисел, которые могут быть построены. В качестве примеров укажем числа ${\sqrt {2}}$ и ${\sqrt {3}}$; они выражаются десятичными дробями с бесконечным рядом цифр после запятой, и тем не менее их легко построить: первое — как сторону вписанного квадрата (рис. 4), второе — как сторону вписанного равностороннего треугольника (рис. 5).

<Рисунок 4> <Рисунок 5>

Вообще, все те числа, которые получаются путем однократного или повторного (но не бесконечного) извлечения квадратного корня, могут быть строго геометрически построены.

К этому роду несоизмеримых чисел $\pi$ не принадлежит. В 1882 г. немецкий математик Линдеман опубликовал исследование, из которого вытекает, что число $\pi$ не может быть получено в результате конечного рада извлечений квадратного корня. Тем самым устанавливается невозможность построения формулы квадратуры круга, а следовательно, и неразрешимость этой задачи.

Доказательство неразрешимости какой-либо задачи рассматривается в математике как своего рода решение проблемы, потому что такое утверждение дает вполне исчерпывающий ответ на поставленный вопрос. В этом смысле доказательство Линдемана можно считать решением задачи о квадратуре круга, решением, полагающим конец двухтысячелетней работе над этой проблемой. Продолжают искать другого решения задачи только малосведушие любители. "Таких искателей — писал еще в 18-м столетии математик Ламберт — всегда будет достаточно, и если судить о будущих по их предшественникам, то это будут по большей части люди, мало смыслящие в геометрии и лишенные возможности правильно оценивать свои силы. Там, где им не хватает знания и понимания, где они не могут ничего сделать с помощью правильных последовательных выводов, там жажда славы и денег создает софизмы, которые чаще всего не отличаются ни особой тонкостью, ни особой замысловатостью".