Квадратура круга (Перельман)/Глава 3

Квадратура круга — Глава 3
автор Яков Исидорович Перельман (1882-1942)

Опубл.: 1941.

Двухтысячелетние поиски решения

Великий математик древнего мира Архимед (III век до нашей эры) первый поставил задачу о квадратуре круга на научную основу. В сочинении «Измерение круга» он доказал, что круг равновелик прямоугольному треугольнику, один катет которого есть радиус круга, а другой — выпрямленная окружность (рис. 2); Способ выпрямления окружности указан Архимедом в том же сочинении: длина окружности меньше $3{\frac {1}{7}}$ диаметра, но больше, чем $3{\frac {10}{71}}$ диаметра. Другими словами, Архимед доказал, что отношение длины окружности к её диаметру, т.е. число, которое принято теперь обозначать греческой буквой $\pi$ (ПИ), заключается между $3{\frac {10}{71}}$ и $3{\frac {1}{7}}$. Высший предел, $3{\frac {1}{7}}$, настолько близок к истинной величине, что им часто пользуются на практике ещё в наши дни; его называют «Архимедовым числом».

<Рисунок 2>

Вытекающий из сказанного способ приближенного решения задачи о квадратуре круга весьма несложен. построив прямоугольный треугольник с катетами

$R$ и ${\frac {44}{7}}R$ (здесь $R$ — радиус круга),

<Рисунок 3>

превращают его в равновеликий квадрат. Построение стороны $x$ этого квадрата можно выполнить различными способами. Способ, показанный на рис. 3, основан на том, что перпендикуляр, опущенный из точки полуокружности на её диаметр, есть среднепропорциональная между отрезками диаметра.

Отложив на прямой последовательно $AC=R$ и $CB={\frac {22}{7}}R$ строим на сумме этих отрезков, как на диаметре, полуокружность; перпендикуляр в точке $C$ есть искомая сторона $x$ квадрата. В самом деле, из рис. 3 имеем

$R:x=x:{\frac {22}{7}}R$

откуда

$x^{2}={\frac {22}{7}}R^{2}$

т.е. площадь квадрата со стороною $x$ приближённо равна площади круга.

Чем точнее известно значение $\pi$, тем, очевидно, точнее может быть выполнено такое построение. Естественно поэтому, что позднейшие работы математиков над квадратурой круга были тесно связаны с получением возможно более точного $\pi$. В течение почти двух тысячелетий после Архимеда нахождение $\pi$ велось по методу великого математика древности; способ Архимеда заключался в том; что площадь круга сравнивалась с площадями вписанных и описанных правильных многоугольников, число сторон которых последовательно удваивается. Совершенствуя метод Архимеда, позднейшие математики получали для $\pi$ все более и более точные значения. Представленное в виде десятичных дробей, значение $\pi$ выражалось десятками цифр. Так, голландский математик Лудольф ван-Цейлен, пользуясь методом Архимеда, вычислил (в 1615 г.) $\pi$ с 31 верным десятичным знаком:

$\pi$ = 3,1415926535897932384626433832795.

(Эта дробь называется «Лудольфовым числом»). Оставалось, однако, неизвестным, имеет ли этот всё удлиняющийся ряд цифр конец, или же он бесконечен.

Когда, во второй половине XVII века, открыто было исчисление бесконечно малых, эта отрасль высшей математики нашла более быстрые и удобные приёмы вычисления $\pi$, нежели те, которыми располагает элементарная математика. Открыты были весьма важные для теории соотношения между числом $\pi$ и другими математическими величинами. Наконец, выявлены были замечательные особенности числа $\pi$, бросившие новый свет на старинную задачу о квадратуре круга.

До настоящего времени известно 707 цифр в числе $\pi$. Они были вычислены в 1874 г. английским математиком Шенксом. Это «самое длинное $\pi$» изображено под потолком зала математических развлечений Дома Занимательной Науки в Ленинграде, вдоль четырёх стен помещения.

<Рисунок 4>