Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики/Глава 20/ДО

Какъ постепенно дошли люди до настоящей ариѳметики : Общедоступные очерки для любителей ариѳметики — Римскій способъ дѣленія
авторъ В. Беллюстин (1865-1925)

Опубл.: 1909. Источникъ: 2-ое издание журнала «Педагогическiй листокъ», Типографiя К. Л. Меньшова, Москва

Римскій способъ дѣленія.

Римляне были расположены къ счету круглыми числами, и поэтому они любили замѣнять числа, близкія къ круглымъ, при посредствѣ этихъ круглыхъ. Примѣровъ этому можно привести очень много, хотя бы: 18 по ихъ нумераціи выражается черезъ 20 безъ двухъ, 90 черезъ сто безъ десяти и т. д. Естественно поэтому ожидать, что подобная наклонность къ круглымъ числамъ будетъ проявлена и при дѣленіи. Примѣръ 668 : 6 рѣшается по римскому способу слѣдующимъ образомъ. Дѣлимъ 668 не на 6 равныхъ частей, а на 10, тогда въ каждой части будетъ по 6 десятковъ, но вѣдь мы взяли 4 лишнихъ части, и въ каждой по 6 десятковъ, всего, слѣд., взяли лишняго 24 десятка, эту сдачу надо приложить опять къ делимому, будетъ 308. Дѣлимъ теперь 30 десятковъ на 10, будетъ въ каждой части по 3 десятка, и такъ какъ лишнихъ частей взято опять 4, то онѣ составятъ 12 дес, а поэтому всего осталось подѣлить число 128. Изъ этого 12 дес. при дѣленіи на 10 дадутъ въ каждой части по 1 дес. и сдачи образуется 4 дес. Всего мы, слѣд., набрали въ частномъ 6 д.+3 д.+1 д.=10 дес, или 100. Теперь надо 68 дѣлить на 6. Продолжаемъ это дѣлать тѣмъ же самымъ пріемомъ, какимъ вели и до сихъ поръ, именно: 60 : 10, будетъ по 6 ед., сдачи 4×6=24, да 8, всего 32; дѣлимъ 32 на 10, будетъ по 3, сдачи 3×4=12, да 2, всего 14; дѣлимъ 14 на 10, будетъ по 1 единицѣ, сдачи 4, да 4, всего 8, теперь число уже не дѣлится на 10 и поэтому остается только вопомнить настоящаго дѣлителя 6; и раздѣлить на него, будетъ въ частномъ 1 и въ остаткѣ 2. Подсчитаемъ итогъ, сколько мы набрали всего-навсего единицъ: 6+3+1+1=11, и въ остаткѣ 2; десятковъ мы выше насчитали 10, и слѣд. окончательный отвѣтъ представится въ видѣ 100+11, т.-е. 111 и ост. 2. Вотъ какой длинный и кропотливый путь. Онъ составляетъ характерную принадлежность римской ариѳметики, особенно же временъ упадка Рима и перехода римской цивилизаціи къ народамъ Западной Европы. Особенно подробно разработанъ этотъ способъ у Боэція (470—525 по Р. X.), знатнаго и ученаго римскаго гражданина, и у Герберта (папы Сильвестра II), жившаго около 1000 года по Р. X. Послѣ Герберта этотъ способъ сталъ все болѣе и болѣе вытѣсняться арабскими пріемами, т.-е. такими, которые близки къ нашему нормальному дѣленію. Не даромъ съ этихъ поръ стали называть способъ Боэція «желѣзнымъ правиломъ», въ отличіе отъ «золотого» подъ которымъ чаше всего разумѣли «дѣленіе вверху» (см. на стр. 98).

Труденъ и очень труденъ былъ римскій способъ, значительно труднѣе, чѣмъ «дѣленіе внизу» и «дѣленіе вверху».

Обременительность его зависѣла прежде всего отъ его сложности, но кромѣ того, еще и отъ того, что педагоги и составители учебниковъ или не умѣли, или не хотѣли объяснить дѣло, какъ слѣдуетъ. Высокимъ, ученымъ слогомъ, безъ обращенія къ чему-нибудь наглядному и понятному, они вели бесѣду такъ, какъ будто передъ ними находились тоже ученые люди или педагоги, а не малыя дѣти: тогдашняя школа мѣряла все на аршинъ учителя и не примѣнялась къ возрасту и развитію ученика.

Вотъ выписка изъ книжки Сперанскаго (Очерки по исторіи народной школы въ Западной Европѣ, стр. 118, заимств. изъ Гюнтера): При дѣленіи 5069 на 4, дѣйствія располагаются слѣдующимъ образомъ. Мы имѣемъ: 10—4=6, ${\frac {5000}{10}}\cdot 6=3000$. Образуемъ теперь произведеніе $\left({\frac {3000}{10}}=300\right)\cdot 6=1800,\left({\frac {1000}{10}}=100\right)\cdot 6=600$, откуда мы получаем 600 + 800 = 1400. Точно также: $\left({\frac {1000}{10}}=100\right)\cdot 6=600$, 600+400=1000. Пользуясь все тѣмъ же пріемомъ, вычисляемъ произведеніе $\left({\frac {1000}{10}}=100\right)\cdot 6=600,\left({\frac {600}{10}}=60\right)\cdot 6=360,\left({\frac {300}{10}}=300\right)\cdot 6=180,\left({\frac {100}{10}}=10\right)\cdot 6=60$ и образуемъ сумму 60+80+60+60=260. Далѣе: $\left({\frac {200}{10}}=20\right)\cdot 6=120,\left({\frac {100}{10}}=10\right)\cdot 6=60$, а 60+20+60=140. Двигаясь тѣмъ же путемъ далѣе, мы получимъ: $\left({\frac {100}{10}}=10\right)\cdot 6=60$, 40+60=100, $\left({\frac {100}{10}}=10\right)\cdot 6=60,\left({\frac {60}{10}}=6\right)\cdot 6=36,\left({\frac {30}{10}}=3\right)\cdot 6=18,\left({\frac {10}{10}}=1\right)\cdot 6=6$;

6+8+6+9=29. Затѣмъ находимъ $\left({\frac {20}{10}}=2\right)\cdot 6=12,\left({\frac {10}{10}}=1\right)\cdot 6=6$; 6+2+9=17; $\left({\frac {10}{10}}=1\right)\cdot 6=6$; 7+6=13; $\left({\frac {10}{10}}=1\right)\cdot 6=6$; 3+6=9; эта сумма, подобно дѣлитеkю, является уже числомъ меньшимъ 10-ти. Такимъ образомъ оказывается, что остатокъ отъ дѣленія равенъ 1. Искомое частное 1267. Первоначально римскій способъ примѣнялся на абакѣ, при помощи римскихъ цифръ; но съ теченіемъ времени, когда въ Европу проникли арабскія цифры, онъ сталъ примѣняться и на нихъ и долго не уступалъ своего мѣста новымъ пріемамъ. Теперь онъ уже совершенно оставленъ и рѣшительно нигдѣ не встрѣчается. А между тѣмъ и у него есть нѣкоторое удобство, которое возвышаетъ его въ этомъ отношеніи: именно легкое угадываніе цифръ частнаго. Въ нашемъ нормальномъ дѣленіи иногда случается задаваться не тою цифрою, какая нужна, а большей или менmiей; у римлянъ же это могло случаться гораздо рѣже, потому что дѣлителемъ у нихъ всегда служило круглое число, про которое легко найти, сколько разъ оно содержится въ дѣлимомъ.

Приведемъ образцы письменнаго расположенія по этому способу. Примѣры: 672 : 16 и 3276 : 84.

16:672=30										84:3276=30
	(	2	0	)						(	1	0	0	)
	6	0	0								3	0	0	0
+		7	2								+	2	7	6
	1	2	0									4	8	0
	1	9	2	=	9							7	5	6	=	7
	(	2	0	)							(	1	0	0	)
	1	8	0									7	0	0
	+	1	2								+		5	6
		3	6									1	1	2
		4	8	=	2							1	6	8	=	1
	(	2	0	)							(	1	0	0	)
		4	0									1	0	0
			8										6	8
			8										1	6
		1	6	=	1		4	2.					8	4	=	1		3	9.
	(	1	6	)								(	8	4	)