[326]Кетле въ своей прекрасной теоріи вторичныхъ каустическихъ линій (caustiques secondaires), представляющихъ собою развертывающія каустическихъ линій Чирнгаузена, нашелъ, что вторичныя каустическія линіи при отраженіи и преломленія на кругѣ, освѣщенномъ одною свѣтящеюся
[327]точкою, суть овалы Декарта, или апланетическія линіи[1]. Въ то же самое время Штурмъ[2] съ своей стороны пришелъ къ тому же результату, представляющему второе приложеніе къ діоптрикѣ оваловъ, изобрѣтенныхъ Декартомъ именно для этой науки.
Теорему Кетле можно выразить геометрически въ такихъ словахъ:
На плоскости даются два неподвижные круга; если будемъ перемѣщать центръ третьяго круга по окружности перваго, радіусъ же брать пропорціонально разстоянію — его центра отъ окружности втораго круга, то огибающая подвижнаго круга будетъ кривая четвертаго порядка, представляющая совокупность двухъ сопряженныхъ оваловъ Декарта.
Между различными интересными свойствами, найденными Кетле въ этой кривой, мы укажемъ здѣсь два способа образованія ея на поверхностяхъ, или, по выраженію древнихъ, посредствомъ loca ad superficiem.
Первый способъ: «Вообразимъ себѣ шаръ и прямой конусъ и сдѣлаемъ стереографическую проэкцію кривой пересѣченія этихъ двухъ поверхностей, помѣстивъ глазъ въ концѣ того діаметра шара, который параллеленъ оси конуса и взявъ за плоскость проэкціи — плоскость, перпендикулярную къ оси конуса, въ проэкціи получимъ апланетическую линію»[3].
Второй способъ: «Представимъ себѣ два прямые конуса, вершины которыхъ находятся въ различныхъ точкахъ и оси которыхъ параллельны; пересѣченіе этихъ двухъ конусовъ пролагается на плоскость перпендикулярную къ ихъ осямъ по апланетической линіи»[4].
[328]
Оба эти способа образованія даютъ въ совокупности два овала, составляющіе полную апланетическую линію; съ помощію ихъ удобно обнаруживаются различныя формы, въ которыхъ могутъ являться эти кривыя и въ особенности тѣ, которыя ускользнули отъ анализа Декарта.
Мы нашли, что вторая теорема можетъ быть обобщена слѣдующимъ образомъ.
«Если два косые конуса имѣютъ основаніями двѣ окружности въ одной плоскости и если прямыя, соединяющія центры основаній съ вершинами соотвѣтственныхъ конусовъ, пересѣкаются въ пространствѣ въ одной точкѣ, то третій конусъ, имѣющій эту точку вершиною и проходящій черезъ кривую пересѣченія первыхъ двухъ конусовъ, пересѣкаетъ плоскость ихъ основаній по кривой четвертаго порядка, которая есть апланетическая линія»[5].
Апланетическія линіи можно получать на плоскости, не прибѣгая къ мѣстамъ на поверхности и къ проэкціямъ, посредствомъ слѣдующаго построенія, которое ведетъ къ цѣли скорѣе, нежели построеніе Декарта, и имѣетъ еще то преимущество, что доставляетъ за разъ оба сопряженные овала.
На плоскости даны два круга; если около точки, взятой на линіи, соединяющей центры обоихъ круговъ, будемъ вращать сѣкущую, пересѣкающую каждый изъ круговъ въ двухъ точкахъ, то радіусы, проводимые изъ центровъ круговъ къ соотвѣтственнымъ точкамъ пересѣченія съ сѣкущей, будутъ встрѣчаться между собою въ четырехъ точкахъ, геометрическое мѣсто которыхъ есть полная апланетическая линія, имѣющая фокусами центры обоихъ круговъ.
Построеніе это вытекаетъ прямо изъ Птоломеевой теоремы о треугольникѣ, пересѣченномъ трансверсалью. Дѣйствительно, теорема эта въ приложеніи къ нашей фигурѣ показываетъ,
[329]что въ каждой точкѣ описываемой кривой отношеніе разстояній этой точки отъ двухъ окружностей есть величина постоянная.
Такой способъ черченія имѣетъ еще то преимущество, что онъ безъ всякаго новаго построенія даетъ касательныя къ кривой; въ самомъ дѣлѣ, каждой точкѣ кривой соотвѣтствуютъ по построенію двѣ точки на двухъ окружностяхъ и касательныя къ кривой и къ двумъ кругамъ въ этихъ трехъ точкахъ проходятъ черезъ одну и ту же точку, какъ это легко доказать при помощи одной геометрической теоремы[6].
Всегда полезно знать какъ можно болѣе различныхъ способовъ построенія одной и той же кривой, потому что каждое изъ нихъ выражаетъ отличительное свойство кривой, изъ котораго естественно проистекаютъ многія другія свойства, не столь легко выводимыя изъ другихъ способовъ построенія.
Въ предыдущихъ способахъ построенія кривой мы пользовались обоими ея фокусами; но есть еще способъ въ которомъ употребляется только одинъ фокусъ и который представляетъ еще многія другія преимущества; именно:
Даны кругъ и въ его плоскости произвольная неподвижная точка; если изъ этой точки проведемъ радіусъ-векторъ къ точкѣ окружности и еще другую прямую, образующую съ постоянной осью уголъ вдвое большій угла между радіусомъ-векторомъ съ тою-же осью, за тѣмъ на этой второй прямой отложимъ, начиная отъ названной точки, отрѣзокъ, пропорціональный квадрату радіуса-вектора, то геометрическимъ мѣстомъ конца этого отрѣзка будетъ апланетическая линія, состоящая изъ двухъ сопряженныхъ оваловъ и имѣющая фокусомъ неподвижную точку.
Такъ какъ здѣсь апланетическая линія выводится прямо изъ круга, то теорема эта особенно удобна для открытія многихъ свойствъ кривой. Такъ напримѣръ, извѣстныя свойства
[330]двухъ и трехъ круговъ непосредственно могутъ быть примѣнены къ системѣ двухъ и трехъ апланетическихъ линій, имѣющихъ общій фокусъ.
Чтобы воспользоваться этою теоремою, замѣтимъ еще, что въ томъ случаѣ, когда конецъ радіуса-вектора описываетъ вмѣсто круга прямую линію, мы получаемъ параболу, имѣющую фокусъ въ неподвижной точкѣ.
Когда, напримѣръ, двѣ прямыя вращаются около двухъ неподвижныхъ точекъ, образуя уголъ постоянной величины, то точка пересѣченія ихъ описываетъ кругъ; отсюда мы заключаемъ:
Положимъ, что мы имѣемъ двѣ группы параболъ, которыя всѣ имѣютъ общій фокусъ и изъ которыхъ однѣ проходятъ черезъ одну, — другія же черезъ другую неподвижную точку; если будемъ братъ изъ обѣихъ группъ тѣ параболы, оси которыхъ составляютъ постоянный уголъ, то точки пересѣченія такихъ двухъ параболъ будутъ лежатъ на апланетической линіи.
Теорема эта ведетъ ко многимъ слѣдствіямъ, изслѣдованіемъ которыхъ мы здѣсь заняться не можемъ[7].
Апланетическія линіи обладаютъ еще однимъ замѣчательнымъ свойствомъ, которое, какъ мнѣ кажется, не было еще никѣмъ указано: онѣ имѣютъ именно не два, a всегда три фокуса, т.-е. кромѣ двухъ фокусовъ, служащихъ для построенія, существуетъ еще третій, который съ каждымъ изъ двухъ первыхъ играетъ такую же роль, какъ и тѣ между собою. Разсмотрѣніе трехъ фокусовъ въ особенности удобно для изученія всевозможныхъ формъ апланетическихъ линій.
Когда одинъ изъ фокусовъ удаляется въ безконечность, то кривая обращается въ коническое сѣченіе, удерживая два остальные фокусы.
[331]
Когда два фокуса совпадаютъ, то кривая имѣетъ узелъ; она обращается въ улиткообразную Паскаля (limaçon) и имѣетъ также два фокуса.
Наконецъ апланетическія линіи отличаются еще общимъ родовымъ характеромъ, который указываетъ свойственное имъ мѣсто между многочисленными кривыми четвертаго порядка; онѣ имѣютъ именно двѣ мнимыя сопряженныя точки, лежащія въ безконечности. Отсюда мы заключаемъ, что къ такой кривой изъ внѣшней точки можно вообще провести восемь касательныхъ и во всякомъ случаѣ не болѣе.
