Живая математика (Перельман)/Глава 5
| ← Глава 4 | Живая математика — Глава 5 | Глава 6 → |
| Опубл.: 1934. Источник: Я. И. Перельман. Живая математика. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1967. — 160 с. |
ГЛАВА ПЯТАЯ. ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ
править45. За пять рублей — сто. Один эстрадный счётчик на своих сеансах делал публике следующее заманчивое предложение:
— Объявляю при свидетелях, что плачу 100 рублей каждому, кто даст мне 5 рублей двадцатью монетами — по 50, 20 и 5 коп. Сто рублей за пять! Кто желает?
Воцарялось молчание.
Публика погружалась в размышление. Карандаши бегали по листкам записных книжек,— но ответного предложения не поступало.
— Публика, я вижу, находит 5 рублей слишком высокой платой за 100 рублей. Извольте, я готов скинуть два рубля и назначаю пониженную цену: 3 рубля двадцатью монетами названного достоинства. Плачу 100 рублей за 3 рубля! Желающие, составляйте очередь!
Но очередь не выстраивалась. Публика явно медлила воспользоваться редким случаем.
— Неужели и 3 рубля дорого? Хорошо, понижаю сумму ещё на рубль; уплатите указанными двадцатью монетами всего только 2 рубля, и я немедленно вручу предъявителю сто рублей.
Так как никто не выражал готовности совершить обмен, счётчик продолжал:
— Может быть, у вас нет при себе мелких денег? Не стесняйтесь этим, я поверю в долг. Дайте мне только на бумажке реестрик, сколько монет каждого достоинства вы обязуетесь доставить!
46. Тысяча. Можете ли вы число 1000 выразить восемью одинаковыми цифрами?
При этом, кроме цифр, разрешается пользоваться также знаками действий.
47. Двадцать четыре. Очень легко число 24 выразить тремя восьмёрками: 8+8+8. Но можете ли вы сделать то же, пользуясь не восьмёрками, а другими тремя одинаковыми цифрами? Задача имеет не одно решение.
48. Тридцать. Число тридцать легко выразить тремя пятёрками: 5×5+5. Труднее сделать это тремя другими одинаковыми цифрами.
Попробуйте. Может быть, вам удастся отыскать несколько решений?
Можете ли вы восстановить недостающие цифры?
50. Какие числа? Вот ещё одна задача такого же рода. Требуется установить, какие числа перемножаются в примере:
51. Что делили? Восстановите недостающие цифры в таком примере деления:
52. Деление на 11. Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11.
Напишите наибольшее из таких чисел.
Напишите наименьшее из таких чисел.
53. Странные случаи умножения. Рассмотрите такой случай умножения двух чисел:
Он замечателен тем, что в нем участвуют по одному разу все девять значащих цифр.
Можете ли вы подобрать ещё несколько таких примеров? Сколько их, если они вообще существуют?
54. Числовой треугольник. В кружках этого треугольника (рис. 36) расставьте все девять значащих цифр так, чтобы сумма их на каждой стороне составляла 20.
55. Ещё числовой треугольник. Все значащие цифры разместить в кружках того же треугольника (рис. 36) так, чтобы сумма их на каждой стороне равнялась 17.
56. Магическая звезда. Шестиконечная числовая звезда, изображённая на рис. 37 обладает «магическим» свойством: все шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму
| 4 | + | 6 | + | 7 | + | 9 | = | 26 | 11 | + | 6 | + | 8 | + | 1 | = | 26 | |
| 4 | + | 8 | + | 12 | + | 2 | = | 26 | 11 | + | 7 | + | 5 | + | 3 | = | 26 | |
| 9 | + | 5 | + | 10 | + | 2 | = | 26 | 1 | + | 12 | + | 10 | + | 3 | = | 26 |
но сумма чисел, расположенных на вершинах звезды другая:
Не удастся ли вам усовершенствовать эту звезду, расставив числа в кружках так, чтобы не только прямые ряды давали одинаковые суммы (26), но чтобы ту же сумму (26) составляли числа на вершинах звезды?
РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 45-56
править45. Все три задачи неразрешимы; счётчик мог безбоязненно обещать за их решения любую премию. Чтобы в этом удостовериться, обратимся к языку алгебры и рассмотрим задачи одну за другой.
Уплата 5 рублей. Предположим, что уплата возможна и что для этого понадобилось x 50-копеечных, y 20-копеечных и z 5-копеечных монет. Имеем уравнение:
Сократив на 5, получаем:
Кроме того, так как общее число монет, по условию, равно 20, то x, y и z связаны ещё и другим уравнением:
Вычтя это уравнение из первого, получаем:
Разделив на 3, приводим уравнение к виду
Но 3x, тройное число 50-копеечных монет, есть, конечно, число целое. Число 20-копеечных, у, также целое. Сумма же двух целых чисел не может оказаться числом дробным (26 ⅔). Наше предположение о разрешимости этой задачи приводит, как видите, к нелепости. Значит, задача неразрешима.
Подобным же образом читатель убедится в неразрешимости двух других, «удешевлённых» задач: с уплатою в 3 и 2 руб. Первая приводит к уравнению
вторая — к уравнению
То и другое в целых числах неразрешимо.
Как видите, счётчик нисколько не рисковал, предлагая крупные суммы за решение этих задач: выдать премии никогда не придётся.
Другое дело было бы, если бы требовалось уплатить двадцатью монетами названного достоинства не 5, не 3 и не 2 руб., а например 4 руб.: тогда задача легко решалась бы и даже семью различными способами [1]).
46. 888+88+8+8+8=1000.
Имеются и другие решения.
47. Вот два решения:
48. Приводим три решения:
49. Недостающие цифры восстанавливаются постепенно, если применить следующий ход рассуждений.
Для удобства пронумеруем строки:
Легко сообразить, что последняя звёздочка в III строке цифр есть 0: это ясно из того, что 0 стоит в конце VI строки.
Теперь определяется значение последней звёздочки I строки: это — цифра, которая от умножения на 2 даёт число, оканчивающееся нулём, а от умножения на 3 — число, оканчивающееся 5 (V ряд). Цифра такая только одна — 5.
Ясно далее, что в конце IV строки стоит цифра 0. (Сравните цифры, стоящие на втором с конца месте в III и VI строках!)
Нетрудно догадаться, что скрывается под звёздочкой II строки: 8, потому что только 8 при умножении на число 15 даёт результат, оканчивающийся 20 (IV строка).
Наконец, становится ясным значение первой звёздочки строки I: это цифра 4, потому что только 4, умноженное на 8, даёт результат, начинающийся на 3 (строка IV).
Узнать остальные неизвестные цифры теперь не составляет никакой трудности: достаточно перемножить числа первых двух строк, уже вполне определившиеся.
В конечном итоге получаем такой пример умножения:
50. Подобным сейчас применённому ходом рассуждений раскрываем значение звёздочек и в этом случае.
Получаем:
51. Вот искомый случай деления:
52. Чтобы решить эту задачу, надо знать признак делимости на 11. Число делится на 11, если разность между суммою цифр, стоящих на чётных местах, и суммою цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11 или равна нулю. Испытаем, для примера, число 23 658 904.
Сумма цифр, стоящих на чётных местах:
Сумма цифр, стоящих на нечётных местах:
Разность их (надо вычитать из большего меньшее) равна:
Эта разность (5) не делится на 11; значит и взятое число не делится без остатка на 11.
Испытаем другое число: 7 344 535;
Так как 11 делится на 11, то и испытуемое число кратно 11.
Теперь легко сообразить, в каком порядке надо писать девять цифр, чтобы получилось число, кратное 11 и удовлетворяющее требованиям задачи.
Вот пример: 352 049 786.
Испытаем: 3+2+4+7+6=22, 5+0+9+8=22.
Разность 22-22=0; значит, написанное нами число кратно 11.
Наибольшее из всех таких чисел есть: 987 652 413.
Наименьшее: 102 347 586.
53. Терпеливый читатель может разыскать девять случаев такого умножения. Вот они:
| 12 | × | 483 | = 5796, | 48 | × | 159 | = 7632 | |
| 42 | × | 138 | = 5796, | 28 | × | 157 | = 4396, | |
| 18 | × | 297 | = 5346, | 4 | × | 1738 | = 6952, | |
| 27 | × | 198 | = 5346, | 4 | × | 1963 | = 7852, | |
| 39 | × | 186 | = 7254. |
54-55. Решения показаны на прилагаемых рисунках
56. Чтобы облегчить себе отыскание требуемого расположения чисел, будем руководствоваться следующими соображениями.
Сумма чисел на концах искомой звезды равна 26, сумма же всех чисел звезды 78. Значит, сумма чисел внутреннего шестиугольника равна 78-26=52.
Рассмотрим затем один из больших треугольников. Сумма чисел каждой его стороны равна 26; сложим числа всех трёх сторон — получим 26×3=78, причём каждое из чисел, стоящих на углах, входит дважды. А так как сумма чисел трёх внутренних пар (т. е. сумма чисел внутреннего шестиугольника) должна, мы знаем, равняться 52, то удвоенная сумма чисел на вершинах каждого треугольника равна 78-52=26; однократная же сумма = 13.
Поле поисков теперь заметно сузилось. Мы знаем, например, что ни 12, ни 11 не могут занимать вершины звезды (почему?). Значит, испытания можно начинать с 10, причём сразу определяется, какие два числа должны занимать остальные вершины треугольника: 1 и 2.
Продвигаясь таким путём далее, мы, наконец, разыщем требуемое расположение. Оно показано на рис. 40.
Примечания
править- ↑ Вот одно из возможных решений: 6 монет 50-копеечных, 2 монеты 20-копеечные и 12 монет 5-копеечных.