Живая математика (Перельман)/Глава 12

Живая математика — Глава 12
автор Яков Исидорович Перельман (1882-1942)

Опубл.: 1934. Источник: Я. И. Перельман. Живая математика. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1967. — 160 с.

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. Тридцать разных задач

Я надеюсь, что знакомство с этой книжкой не прошло для читателя бесследно, что оно не только развлекло его, но и принесло известную пользу, развив его сметливость, находчивость, научив более умело распоряжаться своими знаниями. Читатель, вероятно, и сам желал бы теперь испытать на чём-нибудь свою сообразительность. Для этой цели и предназначаются те три десятка разнородных задач, которые собраны здесь, в последней главе нашей книжки.

101. Цепь. Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каждом обрывке, и заказали соединить их в одну цепь.

Прежде чем приняться за дело, кузнец стал думать, сколько колец понадобится для этого раскрыть и вновь заковать. Он решил, что придётся раскрыть и снова заковать четыре кольца.

Нельзя ли, однако, выполнить работу, раскрыв и заковав меньше колец?

Рис. 91. Пять обрывков цепи.

102. Пауки и Жуки. Мальчик собрал в коробку пауков и жуков — всего 8 штук. Если пересчитать, сколько всех ног в коробке, то окажется 54 ноги. Сколько же в коробке пауков и сколько жуков?

103. Плащ, шляпа и галоши. Некто купил плащ, шляпу и галоши И заплатил за все 20 руб. Плащ стоит на 9 руб. больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе на 16 руб. больше, чем галоши. Сколько стоит каждая вещь в отдельности?

Задачу требуется решить устным счётом, без уравнений.

104. Куриные и утиные яйца. Корзины содержат яйца; в одних корзинах куриные яйца, в других — утиные. Число их 5, 6, 12, 14, 23 и 29. «Если я продам вот эту корзину,— размышляет продавец,— то у меня останется куриных яиц ровно вдвое больше, чем утиных.»

Какую корзину имел в виду продавец?

105. Перелёт. Самолёт покрывает расстояние от города A до города B в 1 ч. 20 м. Однако обратный перелёт он совершает в 80 мин. Как вы это объясните?

106. Денежные подарки. Один отец дал своему сыну 150 руб., а другой своему — 100 руб. Оказалось, однако, что оба сына вместе увеличили свои капиталы только на 150 рублей. Чем это объяснить?

107. Две шашки. На пустую шашечную доску надо поместить две шашки разного цвета. Сколько различных положений могут они занимать на доске?

108. Двумя цифрами. Какое наименьшее целое положительное число можете вы написать двумя цифрами?

109. Единица. Выразите 1, употребив все десять цифр.

110. Пятью девятками. Выразите 10 пятью девятками. Укажите, по крайней мере, два способа.

111. Десятью цифрами. Выразите 100, употребив все десять цифр. Сколькими способами можете вы это сделать? Существует не меньше четырёх способов.

112. Четырьмя способами. Четырьмя различными способами выразите 100 пятью одинаковыми цифрами.

113. Четырьмя единицами. Какое самое большое число можете вы написать четырьмя единицами?

114. Загадочное деление. В следующем примере деления все цифры заменены звёздочками, кроме четырёх четвёрок. Поставьте вместо звёздочек те цифры, которые были заменены.

Задача эта имеет несколько различных решений.

115. Ещё случай деления. Сделайте то же с другим примером, в котором уцелело только семь семёрок:

116. Что получится? Сообразите в уме, на какую длину вытянется полоска, составленная из всех миллиметровых квадратиков одного квадратного метра, приложенных друг к другу вплотную.

117. В том же роде. Сообразите в уме, на сколько километров возвышался бы столб, составленный из всех миллиметровых кубиков одного кубометра, положенных один на другой.

118. Самолёт. Самолёт с размахом крыльев 12 м был сфотографирован во время полёта снизу, когда он пролетал отвесно над аппаратом. Глубина камеры 12 см, размер изображения 8 мм.

На какой высоте летел самолёт в момент фотографирования?

119. Миллион изделий. Изделие весит 89,4 г. Сообразите в уме, сколько тонн весит миллион таких изделий.

120. Число путей. На рис. 92 вы видите лесную дачу, разделённую просеками на квадратные кварталы. Пунктирной линией обозначен путь по просекам от точки A до точки B. Это, конечно, не единственный путь между указанными точками по просекам. Сколько можете вы насчитать различных путей одинаковой длины?

Рис. 92. лесная дача разделена просеками

121. Циферблат. Этот циферблат (рис. 93) надо разрезать на 6 частей любой формы,— так, однако, чтобы сумма чисел, имеющихся на каждом участке, была одна и та же.

Задача имеет целью испытать не столько вашу находчивость, сколько быстроту соображения.

Рис. 93. Этот циферблат надо разрезать на 6 частей

122. Восьмиконечная звезда. Числа от 1 до 16 надо расставить в точках пересечения линий фигуры, изображённой на рис. 94, так, чтобы сумма чисел на стороне каждого квадрата была 34, и сумма их на вершинах каждого квадрата также составляла 34.

Рис. 94. Восьмиконечная звезда.

123. Числовое колесо. Цифры от 1 до 9 надо разместить в фигуре на рис. 95 так, чтобы одна цифра была в центре круга, прочие — у концов каждого диаметра, и чтобы сумма трёх цифр каждого ряда составляла 15.

Рис. 94. Числовое колесо.

124. Трёхногий стол. Существует мнение, что стол о трёх ногах никогда не качается, даже если ножки его и неравной длины. Верно ли это?

125. Какие углы? Какие углы составляют между собой стрелки часов на рис. 96? Ответ надо дать по соображению, не пользуясь транспортиром.

Рис. 96. Какой величины углы между стрелками?

126. По экватору. Если бы мы могли обойти земной шар по экватору, то макушка нашей головы описала бы более длинный путь, чем каждая точка наших ступней.

Как велика эта разница?

127. В шесть рядов. Вам известен, вероятно, шуточный рассказ о том, как девять лошадей расставлены были по десяти стойлам и в каждом стойле оказалась одна лошадь. Задача, которая сейчас будет предложена, по внешности сходна с этой знаменитой шуткой, но имеет не воображаемое, а вполне реальное решение. Она состоит в следующем:

Расставить 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.

128. Крест и полумесяц. На рис. 97 изображена фигура полумесяца (строго говоря, это не полумесяц, т. к. полумесяц имеет форму полукруга, а лунный серп), составленная двумя дугами окружностей. Требуется на чертить знак Красного креста, площадь которого геометрически точно равнялась бы площади полумесяца.

Рис. 97. Как «превратить» полумесяц в крест.

129. Разрез куба. У вас имеется куб, ребро которого равно 3 см. Его объём равен 27 куб. см, и этот куб может быть разрезан на 27 маленьких кубиков, ребро каждого из которых равно 1 см. Это очень легко сделать, разрезав куб шестью плоскостями: надо провести две плоскости, параллельные одной грани, две, параллельные другой грани, и две, параллельные третьей. Вообразите, однако, что после каждого разреза вам разрешено перемещать части в пространстве: отрезав какую-либо часть, вы можете наложить её на другие так, чтобы следующая разрезающая плоскость пересекала их все. Не сможете ли вы, пользуясь этой дополнительной возможностью, уменьшить число разрезающих плоскостей, рассекающих куб на 27 маленьких кубиков?

Рис. 98. Надо провести две плоскости, параллельные одной грани...

130. Ещё разрез. Следующая задача похожа на предыдущую, но несколько в ином роде. Обычную шахматную доску, состоящую из 64 квадратиков (8 × 8), требуется разрезать на отдельные квадратики. При этом разрешается производить разрезы только по прямым линиям. Однако после каждого разреза можно перекладывать образовавшиеся части, чтобы следующий прямолинейный разрез мог рассечь не одну, а несколько частей. Сколько прямолинейных разрезов вам потребуется, чтобы разрезать всю доску на отдельные квадратики?

Рис. 99. Перед проведением очередного разреза образовавшиеся части можно перекладывать.

РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 101-130

101. Можно выполнить требуемую работу, раскрыв только три звена. Для этого надо освободить звенья одного обрывка и соединить ими концы остальных четырёх обрывков.

102. Чтобы решить эту задачу, нужно прежде всего припомнить из естественной истории, сколько ног у жуков и сколько у пауков: у жука 6 ног, у паука — 8.

Зная это, предположим, что в коробке были одни только жуки, числом 8 штук. Тогда всех ног было бы 6 × 8 = 48, на 6 меньше, чем указано в задаче. Заменим теперь одного жука пауком. От этого число ног увеличится на 2, потому что у паука не 6 ног, а 8.

Ясно, что если мы сделаем три такие замены, мы доведём общее число ног в коробке до требуемых 54. Но тогда из 8 жуков останется только 5, остальные будут пауки.

Итак, в коробке было 5 жуков и 3 паука.

Проверим: у 5 жуков 30 ног, у 3 пауков 24 ноги, а всего 30 + 24 = 54, как и требует условие задачи.

Можно решить задачу и иначе. А именно: можно предположить, что в коробке были только пауки, 8 штук. Тогда всех ног оказалось бы 8 × 8 = 64,— на 10 больше, чем указано в условии. Заменив одного паука жуком, мы уменьшим число ног на 2. Нужно сделать 5 таких замен, чтобы свести число ног к требуемым 54. Иначе говоря, из 8 пауков надо оставить только 3, а остальных заменить жуками.

103. Если бы вместо плаща, шляпы и галош куплено было только две пары галош, то пришлось бы заплатить не 20 руб., а на столько меньше, на сколько галоши дешевле плаща с шляпой, т. е. на 16 руб. Мы узнаем, следовательно, что две пары галош стоят 20-16=4 руб., отсюда стоимость одной пары — 2 руб.

Теперь стало известно, что плащ и шляпа вместе стоят 20-2=18 руб., причём плащ дороже шляпы на 9 руб. Рассуждаем, как прежде: вместо плаща с шляпой, купим две шляпы. Мы заплатим не 18 руб., а меньше на 9 руб. Значит, две шляпы стоят 18-9 = 9 руб., откуда стоимость одной шляпы — 4 руб. 50 коп.

Итак, вот стоимость вещей: галоши - 2 руб., шляпа - 4 руб. 50 коп., плащ - 13 руб. 50 коп.

104. Продавец имел в виду корзину с 29 яйцами. Куриные яйца были в корзинах с обозначениями 23, 12 и 5; утиные — в корзинах с числами 14 и 6.

Проверим. Всего куриных яиц оставалось:

23 + 12 + 5 = 40.

Утиных

14 + 6 = 20.

Куриных вдвое больше, чем утиных, как и требует условие задачи.

105. В этой задаче нечего объяснять: самолёт совершает перелёт в обоих направлениях в одинаковое время, потому что 80 мин.= 1 ч. 20 м.

Задача рассчитана на невнимательного читателя, который может подумать, что между 1 ч. 20 м. и 80 мин. есть разница. Как ни странно, но людей, попадающихся на этот крючок, оказывается немало, притом среди привыкших делать расчёты их больше, чем среди малоопытных вычислителей. Причина кроется в привычке к десятичной системе мер и денежных единиц. Видя обозначение: «1 ч. 20 м.» и рядом с ним «80 мин.», мы невольно оцениваем различие между ними, как разницу между 1 р. 20 к. и 80 коп. На эту психологическую ошибку и рассчитана задача.

106. Разгадка недоумения в том, что один из отцов приходился другому сыном. Всех было не четверо, а трое: дед, сын и внук. Дед дал сыну 150 руб., а тот передал из них 100 руб. внуку (т. е. своему сыну), увеличив собственные капиталы, следовательно, всего на 50 руб.

107. Первую шашку можно поместить на любое из 64 полей доски, т. е. 64 способами. После того как первая поставлена, вторую шашку можно поместить на какое-либо из прочих 63 полей. Значит к каждому из 64 положений первой шашки можно присоединить 63 положения второй шашки. Отсюда общее число различных положений двух шашек на доске

64 × 63 = 4032.

108. Наименьшее целое число, какое можно написать двумя цифрами, не 10, как думают, вероятно, иные читатели, а единица, выраженная таким образом:

${\frac {1}{1}},{\frac {2}{2}},{\frac {3}{3}},{\frac {4}{4}}$ и т.д. до ${\frac {9}{9}}$

Знакомые с алгеброй прибавят к этим выражениям ещё и ряд других обозначений:

$1^{0},2^{0},3^{0},4^{0}$ и т. д. до $9^{0}$,

потому, что всякое число в нулевой степени равно единице ^[1]).

109. Надо представить единицу как сумму двух дробей

${\frac {148}{296}}+{\frac {35}{70}}=1$

Знающие алгебру могут дать еще и другие ответы:

$123456789^{0};234567^{9-8-1}$

и т. п., так как число в нулевой степени равно единице.

110. Два способа таковы:

$9{\frac {99}{99}}=10$, ${\frac {99}{9}}-{\frac {9}{9}}=10$.

Кто знает алгебру, тот может прибавить ещё несколько решений, например:

$\left(9{\frac {9}{9}}\right)^{\frac {9}{9}}=10$ $9+99^{9-9}=10$

111. Вот 4 решения:

$70+24{\frac {9}{18}}+5{3}{6}=100$ $82{\frac {27}{54}}+19{3}{6}=100$ $87+9{\frac {4}{5}}+3{12}{60}=100$ $50{\frac {1}{2}}+49{38}{76}=100$

112. Число 100 можно выразить пятью одинаковыми цифрами, употребив в дело единицы, тройки и — всего проще — пятёрки

$111-11=100$ $33\times 3+{\frac {3}{3}}=100$ $5\times 5\times 5-5\times 5=100$ $(5+5+5+5)\times 5=100$

113. На вопрос задачи часто отвечают: 1111. Однако можно написать число во много раз больше — именно 11 в одиннадцатой степени: $11^{11}$. Если у вас есть терпение довести вычисление до конца (с помощью логарифмов можно выполнять такие расчёты гораздо скорее), вы убедитесь, что число это больше 280 миллиардов. Следовательно, оно превышает число 1111 в 250 миллионов раз.

114. Заданный пример деления может соответствовать четырём различным случаям, а именно:

1 337 174	:	943	=	1418;
1 343 784	:	949	=	1416;
1 200 474	:	846	=	1419:
1 202 464	:	848	=	1418.

115. Этот пример отвечает только одному случаю деления:

7 375 428 413 : 125 473 = 58 781.

Обе последние, весьма нелёгкие задачи были впервые опубликованы в американских изданиях: «Математическая газета», 1920 г. и «Школьный мир», 1906 г.

116. В квадратном метре тысяча тысяч квадратных миллиметров. Каждая тысяча приложенных друг к другу миллиметровых квадратиков составляет 1 м; тысяча тысяч их составляет 1000 м, т. е. 1 км: полоска вытянется на целый километр.

117. Ответ поражает неожиданностью: столб возвышался бы на... 1000 км.

Сделаем устный расчёт. В кубометре содержится кубических миллиметров тысяча × тысячу × тысячу. Каждая тысяча миллиметровых кубиков, поставленных один на другой, даст столб в 1000 м = 1 км. А так как у нас кубиков ещё в тысячу раз больше, то и составится 1000 км.

118. Из рис. 100 видно, что (вследствие равенства углов 1 и 2) линейные размеры предмета так относятся к соответствующим размерам изображения, как расстояние предмета от объектива относится к глубине камеры. В нашем случае, обозначив высоту самолёта над землёй в метрах через x, имеем пропорцию:

12 000 : 8 = x : 0,12,

откуда x = 180 м.

119. Надо умножить 89,4 г на миллион, т. е. на тысячу тысяч.

Умножаем в два приёма: 89,4 г × 1000 = 89,4 кг, потому что килограмм в тысячу раз больше грамма. Далее; 89,4 кг × 1000 = 89,4 тонны, потому что тонна в тысячу раз больше килограмма.

Итак, искомый вес — 89,4 тонны.

120. Всех путей по просекам от A до B можно насчитать 70. (Систематическое решение этой задачи возможно с помощью теории соединений, рассматриваемой в курсах алгебры.)

121. Так как сумма всех чисел, обозначенная на циферблате, равна 78, то числа каждого из шести участков должны составлять вместе 78 : 6, т. е. 13. Это облегчает отыскание решения, которое показано на рис. 101.

Рис. 101.

122-123. Решения показаны на прилагаемых рис. 102 и 103.

Рис. 102. Рис. 103.

124. Трёхногий стол всегда может касаться пола концами своих трёх ножек, потому что через каждые три точки пространства может проходить плоскость и притом только одна; в этом причина того, что трёхногий стол не качается. Как видите, она чисто геометрическая, а не физическая.

Вот почему так удобно пользоваться треногами для землемерных инструментов и фотографических аппаратов. Четвёртая нога не сделала бы подставку устойчивее; напротив, пришлось бы тогда всякий раз заботиться о том, чтобы подставка не качалась.

125. На вопрос задачи легко ответить, если сообразить, какое время показывают стрелки. Стрелки в левом кружке (рис. 96) показывают, очевидно, 7 час. Значит, между концами этих стрелок заключена дуга в ${\frac {5}{12}}$ полной окружности.

В градусной мере это составляет

$360^{\circ }\times {\frac {5}{12}}=150^{\circ }.$

Стрелки в правом кружке показывают, как нетрудно сообразить, 9 ч. 30 м. Дуга между их концами содержит 3½ двенадцатых доли полной окружности или ${\frac {7}{24}}$.

В градусной мере это составляет

$360^{\circ }\times {\frac {7}{24}}=105^{\circ }.$

126. Принимая рост человека в 175 см и обозначив радиус Земли через R, имеем:

$2\times 3,14\times (R+175)-2\times 3,14\times R=2\times 3,14\times 175=1100$ см.

т. е. около 11 м. Поразительно здесь то, что результат совершенно не зависит от радиуса шара и, следовательно, одинаков на исполинском Солнце и маленьком шарике.

127. Требованию задачи легко удовлетворить, если расставить людей в форме шестиугольника, как показано на рис. 104.

Рис. 104.

128. Читатели, слыхавшие о неразрешимости задачи квадратуры круга, сочтут, вероятно, и предлагаемую задачу неразрешимой строго геометрически. Раз нельзя превратить в равновеликий квадрат полный круг, то — думают многие — нельзя превратить в прямоугольную фигуру и луночку, составленную двумя дугами окружности.

Между тем, задача, безусловно, может быть решена геометрическим построением, если воспользоваться одним любопытным следствием общеизвестной Пифагоровой теоремы. Следствие, которое я имею в виду, гласит, что сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна полукругу, построенному на гипотенузе (рис. 105).

Перекинув большой полукруг на другую сторону (рис. 106), видим, что обе заштрихованные луночки вместе равновелики треугольнику ^[2]). Если треугольник взять равнобедренный, то каждая луночка в отдельности будет равновелика половине этого треугольника (рис. 107).

Отсюда следует, что можно геометрически точно построить равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна площади серпа.

А так как равнобедренный прямоугольный треугольник превращается в равновеликий квадрат (рис. 108), то и серп наш возможно чисто геометрическим построением заменить равновеликим квадратом.

Остаётся только превратить этот квадрат в равновеликую фигуру Красного креста (составленную, как известно, из пяти примкнутых друг к другу равных квадратов).

Существует несколько способов выполнения такого построения; два из них показаны на рис. 109 и 110; оба построения начинают с того, что соединяют вершины квадрата с серединами противоположных сторон.

Важное замечание: превратить в равновеликий крест можно только такую фигуру серпа, которая составлена из двух дуг окружностей: наружного полукруга и внутренней четверти окружности соответственно большего радиуса ^[3]).

Итак, вот ход построения креста, равновеликого серпу. Концы А и В серпа (рис. 111) соединяют прямой; в середине O этой прямой восставляют перпендикуляр и откладывают OC = OA. Равнобедренный треугольник OAC дополняют до квадрата OABC, который превращают в крест одним из способов, указанных на рис. 109 и 110.

Рис. 105. Рис. 106. Рис. 107. Рис. 108. Рис. 109. Рис. 110. Рис. 111.

129. Указанная дополнительная возможность не облегчает задачу: все равно требуется шесть разрезающих плоскостей. В самом деле, внутренний кубик из числа тех 27, на которые надо разрезать большой куб, имеет шесть граней, и никакая разрезающая плоскость не может открыть сразу двух граней этого внутреннего кубика, как бы мы ни переставляли части.

130. Сначала посмотрим, каково может быть наименьшее число разрезов. Если мы провели один разрез, то доска распадается на две части. Следующим разрезом, если он рассечёт обе из них, мы получим 4 части. Если мы расположим их так, что третий разрез пересечёт их все, то число частей снова удвоится, и после третьего разреза мы получим 8 частей. После четвёртого разреза мы получим самое большее 16 частей (если разрез пересечёт все получившиеся ранее части), после пятого — 32 части. Значит после пяти разрезов мы никак ещё но сможем получить 64 отдельных квадратика. И лишь после шестого разреза, когда число частей опять удвоится, мы можем рассчитывать получить 64 отдельных квадратика. Значит менее чем шестью разрезами обойтись невозможно.

Но теперь надо ещё показать, что шесть разрезов можно в действительности осуществить так, чтобы каждый раз число частей удваивалось и в результате получилось $2^{6}=64$ отдельных квадратика. Это уже нетрудно сделать: надо только следить, чтобы после каждого разреза все части оказывались равными и чтобы каждый очередной разрез разбивал каждую из частей пополам. На рис. 112 показаны первые три разреза.

Рис. 112.

Примечания

1. Но неправильны были бы решения ${\frac {0}{0}}$ или $0^{0}$ ; эти выражения вообще не имеют смысла.
2. Положение это известно в геометрии под названием «теоремы о гиппократовых луночках».
3. Тот лунный серп, который мы видим на небе, имеет несколько иную форму: его наружная дуга — полуокружность, внутренняя же — полуэллипс. Художники часто изображают лунный серп неверно, составляя его из дуг окружностей.