Давление жидкости на равномерно движущуюся в ней плоскость (Циолковский)/ДО

Давленiе жидкости на равномѣрно движущуюся въ ней плоскость.
авторъ Константинъ Эдуардовичъ Цiолковскiй

Дата созданія: 1891, опубл.: 1891. Источникъ: IV Томъ Трудовъ Отдѣленiя Физическихъ Наукъ Императорскаго Общества Любителей Естествознанiя.

К. Цiолковскiй.

ДАВЛЕНIЕ ЖИДКОСТИ

на

РАВНОМѢРНО ДВИЖУЩУЮСЯ

въ ней плоскость.

________________________

Отдѣльный оттискъ изъ IV тома Трудовъ Отдѣленiя Физическихъ Наукъ
Императорскаго Общества Любителей Естествознанiя.

________________________

МОСКВА
Типографія М. Г. Волчанинова, Б. Черныш. пер., д. Пустошкина,
противъ Англійской церкви.

1891

---

Давленіе жидкости на равномѣрно движущуюся въ ней плоскость.^[1]

К. Ціолковскій.

Равномѣрное и прямолинейное движеніе плоскости^[2] мы разложимъ на два слагающихъ движенія, одно изъ которыхъ — по направленію самой плоскости — мы будемъ называть, для краткости, параллельнымъ, а другое, перпендикулярное къ ней, - нормальнымъ.

При одномъ нормальномъ установившемся движеніи $v_{1}\!$, давленіе, производимое жидкостью на плоскость, выражается формулой

(1) $F={\frac {s_{1}\cdot d}{g}}\cdot v_{1}^{2},\!$^[3]

въ которой $F\!$ означаетъ давленіе, $s_{1}\!$ — площадь пластинки, $d\!$ — плотность жидкости, $g\!$ — ускореніе тяжести^[4] и $v_{1}\!$ — нормальную скорость пластинки; опредѣленіе давления по этой формулѣ даетъ величины весьма близкія къ тѣмъ, которыя получаются изъ опытовъ (ошибка не болѣе 1/10) съ помощью вращательныхъ приборовъ. Но пока движеніе плоскости и окружающей ея среды еще не установилось, то есть не сдѣлалось однообразнымъ, давленіе не можетъ быть опредѣляемо формулой (1).

Опредѣлимъ сначала работу пластинки, необходимую для сообщенія средѣ однообразнаго движенія.^[5] Относительно характера этого движенія жидкости мы должны принять какую нибудь гипотезу, которую, разумѣется, будемъ считать настолько вѣроятной, насколько выводы, вытекающіе изъ нея, оправдаются опытомъ.

Вотъ одна изъ этихъ гипотезъ о движеніи несжимаемой среды въ томъ случаѣ, когда пластинка имѣетъ форму круга (фиг. 1).

Фиг. 1

Наибольшую скорость пріобрѣтаютъ частицы, лежащія близь движущейся плоскости, причемъ движеніе частицъ спереди и сзади плоскости имѣетъ одно направленіе: переднія частицы гонятся впередъ, заднія увлекаются по тому же направленію, вслѣдствіе разрѣженія тамъ воздуха. Мы допустимъ, что сфера жидкости, облекающая пластинку, какъ свой большой кругъ, имѣетъ однообразную скорость, равную скорости пластинки; частицы этой сферы толкаютъ и увлекаютъ другія части жидкости, далѣе лежащія; но такъ какъ пространство, или, такъ сказать, русло ихъ постепенно расширяется, то и скорость частицъ жидкости тѣмъ болѣе уменьшается, чѣмъ далѣе онѣ расположены отъ движущейся плоскости.

На этомъ основаніи (фиг. 1), означая радіусъ площади черезъ $r\!$, — радіусъ какого нибудь сферическаго слоя H жидкости черезъ $H\!$, его скорость — черезъ $V\!$, а скорость пластинки черезъ $V_{n}\!$, найдемъ:

(2) $V={\frac {v_{n}\cdot \pi \cdot r^{2}}{2\pi \cdot H^{2}}}=V_{n}\cdot {\frac {r^{2}}{2H^{2}}},\!$

ибо, очевидно, что скорость слоя H во столько разъ меньше скорости пластинки, во сколько поверхность слоя больше поверхности пластинки.^[6]

Что касается до увлеченія заднихъ частей жидкости движеніемъ, подобнымъ движенію переднихъ толкающихъ частицъ, то это легко видѣть не только изъ опыта, но и теоретически. Въ самомъ дѣлѣ, пусть плоскость сдѣлала нѣкоторое передвиженіе впередъ; тогда, если-бы жидкость не имѣла упругости и притомъ была-бы помѣщена въ средѣ, свободной отъ тяжести, — сзади плоскости, на величину ея передвиженія, осталось-бы брешь — пустота и увлеченіе жидкости пластинкой не существовало-бы; но такъ какъ жидкость, въ обыкновенныхъ условіяхъ, имѣетъ тяжесть, не говоря уже объ упругости, то она тотчасъ же и занимаетъ образованную сзади плоскости пустоту. За первымъ заднимъ слоемъ такимъ же образомъ увлекается слѣдующій и т. д., — совершенно подобно тому, какъ и переднie слои жидкости толкаютъ другъ друга.

Дифференціалъ определяемой нами работы $T\!$ движенія жидкости равенъ

(3) $dT=m\cdot {\frac {V^{2}}{2g}},\!$ гдѣ m

есть масса сферическаго слоя толщиною въ dH, но

$m=4\pi \cdot H^{2}\cdot dH\cdot d...,\!$ a

$V=V_{n}\cdot {\frac {r^{2}}{2H^{2}}},\!$ слѣдовательно

(4) $dT={\frac {\pi \cdot d}{2g}}\cdot V_{n}^{2}\cdot {\frac {r^{4}}{H^{2}}}\cdot dH.\!$

Интегрируя это уравненіе, найдемъ:

(5) $T={\frac {-\pi \cdot d\cdot V_{n}^{2}}{2g}}\cdot {\frac {r^{4}}{H}}+C,\!$

гдѣ C есть постоянное.

Если $H=r\!$,, то работа $T\!$ равна той, которая необходима, чтобы сообщить сферѣ $A\!$ (фиг. 1) постоянную скорость $V_{n}\!$; стало быть:

(6) $T={\frac {4}{3}}\pi \cdot r^{3}\cdot d\cdot {\frac {V_{n}^{2}}{2g}}={\frac {-\pi d\cdot V_{n}^{2}}{2g}}\cdot r^{3}+C,\!$;

изъ двухъ послѣднихъ уравненій получимъ:

(7) $T={\frac {\pi \cdot d}{2g}}\cdot r^{3}\cdot V_{n}^{2}{\left(1-{\frac {r}{H}}\right)}+{\frac {2\pi \cdot d}{3g}}\cdot r^{3}\cdot V_{n}^{2}.\!$

Чтобы опредѣлить работу всей безконечной окружающей плоскость жидкости, надо тутъ положить $H=\infty \!$; тогда найдемъ:

(8) $T={\frac {7}{6}}\cdot {\frac {\pi \cdot d}{g}}\cdot r^{3}\cdot V_{2}^{3}.\!$^[7]

Зная работу $T\!$ и передвиженіе плоскости, можно узнать и среднее давленіе на нее.

Но прежде чѣмъ примѣнять послѣднее уравн. къ опредѣленію давленія на плоскость при сложномъ ея движеніи, (т. е. параллельномъ и нормальномъ) необходимо установить слѣдующія положенія:

a) Какъ теорія такъ и опытъ показываютъ, что давленіе на плоскость, при нормальномъ ея движение почти строго пропорціонально ея площади, независимо отъ формы послѣдней.

b) Точно также теорія и опытъ показываютъ, что работа $T\!$ въ первый моментъ нормальнаго движенія плоскости выражается уравн. (8) независимо отъ ея формы, лишь бы плоскость была не очень продолговата; на этихъ двухъ основаніяхъ, теорію которыхъ я тутъ выпускаю за недостаткомъ мѣста, формулу (8) можно примѣнить и къ прямоугольнику $(a\cdot b)\!$, не очень, однако, продолговатому; для этого замѣнимъ въ ней $\pi \cdot r^{2}\!$ и $r\!$ изъ выраженій

$\pi \cdot r^{2}=s_{1}\!$, и $\pi \cdot r^{2}=a\cdot b\!$, откуда $r={\sqrt {\frac {ab}{\pi }}}\!$;

получимъ:

(9) $T={\frac {7}{6}}\cdot {\frac {d}{g}}\cdot s_{1}\cdot {\sqrt {\frac {ab}{\pi }}}\cdot V_{n}^{2}.\!$

Опредѣлимъ теперь давленіе воздуха или, вообще, жидкости на прямоугольникъ, одна сторона (a) котораго перпендикулярна параллельному его движенію, а другая (b) параллельна ему.

Если-бы онъ имѣлъ одну нормальную скорость ($V_{n}\!$), то работа пріобрѣтенія ея (въ малый промежутокъ времени) выразилась-бы уравн. (9). Но онъ, кромѣ того, имѣя параллельную скорость $V_{p}\!$, прошолъ пространство $V_{p}\!$ въ направленіи, перпендикулярномъ къ прежнему, и потому его секундная работа должна быть во столько разъ больше работы по формулѣ (9), во сколько скорость параллельная $V_{p}\!$ больше ширины $b\!$ прямоугольника, по направленію которой совершается это движеніе. Дѣйствительно, при одной нормальной скорости, прямоугольникъ сообщаетъ известное движеніе воздуху близь площади величиною въ $a\cdot b\!$; при поступательномъ же движеніи, тотъ же прямоугольникъ въ одну секунду сообщаетъ то-же движеніе воздуху близь поверхности длиною въ $V_{p}\!$ и шириною въ $a\!$, т. е. пространству величиною въ $V_{p}\cdot a\!$, которое больше предыдущего въ ${\frac {V_{p}\cdot a}{a\cdot b}}={\frac {V_{p}}{b}}\!$ разъ... (10). Каждую часть этой воздушной полосы $V_{p}\cdot a\!$ прямоугольникъ давилъ и увлекалъ, хотя и короткое время, но съ определенною скоростію, равной нормальной скорости твердой пластинки, и потому неизбѣжно сообщилъ ей, т. е. полосѣ, нѣкоторое движеніе.^[8]

Итакъ, обозначая нормальное давленіе на плоскость, производимое этой причиной, черезъ $F\!$, найдемъ, на основаніи форм. (9) и (10), что секундная работа равна

(11) $F\cdot V_{n}={\frac {7\cdot d}{6\cdot g}}\cdot s_{1}\cdot V_{n}^{2}{\sqrt {\frac {ab}{\pi }}}\cdot {\left({\frac {V_{p}}{b}}\right)},\!$

откуда

(12) $F={\frac {7\cdot d\cdot s_{1}}{6{\sqrt {\pi }}\cdot g}}\cdot {\sqrt {\frac {a}{b}}}\cdot V_{n}\cdot V_{p}.\!$

Вводя во вторую часть этого уравненія множителемъ поправочный коефиціентъ $K\!$, въ виду не полной строгости вывода (10) и ограниченности положенія (10) и прибавляя къ полученному выражение давленія (12) давленіе ординарное (1), происходящее при одномъ нормальномъ установившемся движеніи, получимъ:

(13) $F={\frac {s_{1}\cdot d}{g}}\cdot V_{n}^{2}\left\{1+{\frac {7\cdot K}{6{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\sqrt {\frac {a}{b}}}\cdot \left({\frac {V_{p}}{V_{n}}}\right)\right\}.\!$^[9]

Прежде чѣмъ указывать на значеніе этой формулы въ наукѣ я считаю необходнмымъ проверить ее посредствомъ опытовъ.

Фиг. 2

Приборъ, которымъ мы намѣрены произвести эту повѣрку, состоитъ изъ небольшаго станка съ вращающеюся на немъ горизонтальной осью. Въ перпендикулярномъ направленіи къ оси укрѣплены на ней две тонкія проволоки, на концы которыхъ можно надѣвать разной величины и продолговатости прямоугольныя пластинки изъ плотной бумаги, такъ что ось тогда получаетъ два прямоугольныхъ и симметрично расположенныхъ крыла, (фиг. 2), лежащихъ въ одной съ ней плоскости. Ось и крылья могутъ нѣкоторое время вращаться посредствомъ, намотанной на ось нитки, разматываемой тяжестью груза.

На этомъ приборѣ легко видѣть, какъ увеличивается сопротивленіе воздуха при увеличеніи параллельной скорости крыла, которая, дѣйствуя на тонкія ребра крыла, повидимому, не должна бы оказывать никакого вліянія на скорость вращенія крылатки.

Для этого я беру её въ руки и пускаю въ дѣйствіе грузъ; — крылья вертятся съ известною скоростью; если теперь, во время этого вращенiя, я начінаю идти съ приборомъ въ рукахъ, стараясь, чтобы мое движеніе было параллельно оси прибора, то вращеніе, очевидно, замедляется и даже почти останавливается, если скорость поступательнаго движенія увеличить (грузъ былъ въ 2 грамма, ширина крыльевъ — около 4 сант., длина — около 5 сант.; таково же и ближайшее разстояніе ихъ до оси).^[10]

Но для производства точныхъ опытовъ нужно составить нѣсколько вспомогательныхъ формулъ примѣнительно къ нашему прибору (фиг. 2).

Означая давленіе воздуха на одно крыло черезъ $F\!$, разстояніе центра давленія до оси — черезъ $R\!$, радіусъ оси — черезъ $r\!$ и грузъ — черезъ $P\!$, найдемъ условіе равномѣрнаго движенія крыльевъ:

(14) $2\cdot F\cdot R=rP.\!$.

Если крылья въ теченіе времени $t\!$ сдѣлали $n\!$ полныхъ оборотовъ, причемъ нить размоталась на длину $L\!$, то:

(15) $2\pi \cdot R\cdot n=V_{n}\cdot t\!$ и (16) $2\pi \cdot R\cdot n=L.\!$.

Выключая изъ уравненія (14) $R\!$ и $r\!$, посредствомъ этихъ уравненій, и $F\!$ — посредствомъ уравненія (13), получимъ:

(17) ${\frac {4s_{1}\cdot \pi \cdot d}{g\cdot t}}\cdot R^{2}\cdot n\left\{{\frac {2\pi R\cdot n}{t}}+{\frac {7\cdot k}{6{\sqrt {\pi }}}}{\sqrt {\frac {a}{b}}}\cdot V_{p}\right\}={\frac {P\cdot L}{2\pi n}}.\!$

Зная, что $s_{1}=ab\!$ и рѣшая это уравненіе относительно $t\!$, найдемъ время развертыванія нити $L\!$ подъ вліяніемъ различныхъ грузовъ:

(18) $t={\frac {14\cdot d\cdot n^{2}\cdot R^{2}}{3\cdot PLg}}\cdot {\sqrt {\pi ^{3}\cdot a^{3}\cdot b}}\cdot V_{p}\cdot k+{\sqrt {\pi ^{3}\cdot a^{3}\cdot b}}\cdot {\sqrt {{\frac {196\cdot d^{2}\cdot n^{4}\cdot R^{4}}{9\cdot P^{2}\cdot L^{2}\cdot g^{2}}}\cdot V_{p}^{2}k^{2}+{\frac {16\cdot d\cdot n^{3}\cdot R^{3}}{P\cdot L\cdot g\cdot a^{2}}}}}.\!$

Примѣнимъ эту формулу для поверхностей не очень продолговатыхъ, когда (k) можно положить равнымъ единицѣ; положимъ, напримѣръ: (19) a=5 сантим., b = 5 с, d = 0,0013, n=10, R=10 сант., Vp=100 сант., і=21 сант., g=980 сант., — тогда вычислимъ, рядъ временъ въ зависимости отъ ряда принятыхъ грузовъ (Р) путемъ теоріи.

Придавая затѣмъ крыльямъ прибора (фиг. 2), удовлетворяющего условіямъ (19), вращеніе, посредствомъ того-же ряда грузовъ, и приводя въ то же время приборъ въ поступательное движенiе со скоростью 100 сантиметровъ въ 1 секунду — по направленію оси вращенія крыльевъ, — и замѣчая время развертыванія нити, — получимъ также рядъ временъ, но путемъ опыта; то и другое вмѣстѣ составитъ слѣдующую таблицу (20):

(20)

P	t вычис.	t опыт.
1	90,6	91
2	47,2	47
3	34,8	35
4	27,6	28
5	28,0	28
6	20,1	20
7	18,0	18
8	16,3	16
9	15,0	15
10	13,9	14
20	8,6	9

Первый вертикальный столбецъ ея показываетъ грузы въ граммахъ, второй — время по вычисленiю (№ 18), третій — время изъ опыта. Мы видимъ изъ нея, что часть нашей теоріи оправдывается достаточно.

Остается проверить вліяніе на давленіе $F\!$ продолговатости крыла, выражаемое уравн. (13).

Изъ Формулы (18), представляющей послѣдствія этого закона, можно замѣтить, что время развертыванія нити прибора, при постоянномъ грузѣ $P\!$ и для поверхностей мало продолговатыхъ, когда k=1, — пропорціонально квадратному корню изъ ширины $b\!$ крыла, или, при постоянной длинѣ $a\!$ его, — обратно пропорціонально квадратному корню изъ продолговатости ${\frac {a}{b}}\!$ крыла. Этимъ выводомъ изъ уравн. (18) мы воспользуемся для провѣрки (13) въ отношеніи продолговатости пластинки. Для этого я вырѣзывалъ пластинки разной продолговатости и последовательно надѣвалъ ихъ на спицы прибора. Изъ многихъ опытовъ привожу одну таблицу (№ 21);

(21)

b	1¼	2½	5	10	15	20
${\frac {a}{b}}\!$	4	2	1	½	1/3	¼
t	13	24	35	53	67	80
l	17½	25	35	50	60	70

первая горизонтальная строка ея показываетъ ширину $b\!$ пластинки (или длину по направленію оси) въ сантиметрахъ, при неизменныхъ размѣрахъ $a\!$ по направленiю перпендикулярному (5 сантим.) -, вторая указываетъ продолговатость ${\frac {a}{b}}\!$ вращающихся прямоугольниковъ; третья — время (t) изъ опыта въ секундахъ, при постоянномъ грузѣ (Р) въ 3 грамма и при прочемъ, по условіямъ (19); наконецъ, четвертая — время развертыванія нити по вычисленію изъ Формулы (18), предполагая, что k=1. Изъ сравненія временъ этой таблицы мы видимъ, что результаты опыта тѣмъ ближе къ результатамъ теоріи, чѣмъ менѣе продолговатость пластинки, или — вѣрнѣе — чѣмъ форма ея ближе къ формѣ квадрата.

Подставляя въ уравн. (17) последовательно размеры пластинки и соответствующiя времена табл. (21), полученныя изъ опыта, полагая постоянно Р = 3 граммамъ, а прочее по условіямъ (19),— найдемъ изъ этого уравненія (17) рядъ величинъ для коэфиціента k, который нетрудно тогда выразить извѣстными способами эмпирической формулой. Формула эта оказывается весьма простаго вида,

именно, (22) $k={\frac {9}{7+2\cdot \left({\frac {a}{b}}\right)}}.\!$

Вычисляя времена по уравн. (18) и полагая при этомъ k, согласно (22), получимъ рядъ временъ — 13, 23, 35, 53, 68, 79, — весьма близкихъ къ временамъ, полученнымъ изъ опыта (табл. № 21), 3-я гориз. строка).

Не могу не привесть тутъ одинъ мой опытъ, весьма ярко указывающій громадное вліяніе продолговатости на давленіе воздуха, или на время развертыванія нити. Канвою для этого опыта послужитъ намъ форм. (18), или формула (13), которыя упрощаются, когда грузъ $P\!$ не великъ, или когда скорость вращательнаго $V_{n}\!$ движенія не велика въ сравненіи со скоростію поступательнаго $V_{p}\!$ движенія прибора; тогда вмѣсто ур.22 получимъ:

(23) $F={\frac {7\cdot d\cdot s_{1}}{6{\sqrt {\pi }}\cdot g}}\cdot {\sqrt {\frac {a}{b}}}\cdot V_{n}\cdot V_{p},\!$,

а вмѣсто уравн. (18)

(24) $t={\frac {28\cdot d\cdot n^{2}\cdot R^{2}}{3\cdot P\cdot L\cdot g}}\cdot a\cdot {\sqrt {\pi ^{3}\cdot \left(a\cdot b\right)}}\cdot V_{p}\cdot k.\!$.

Изъ послѣдняго равенства видно, что, при постоянной площади $a\cdot b\!$ прямоугольника и при прочихъ одинаковыхъ условіяхъ, время развертыванiя нити пропорціонально $a\!$, то есть длинѣ его по направленію перпендикулярному къ оси. Поэтому, если, напр., данъ прямоугольникъ, одна сторона котораго вдвое болѣе другой, и онъ въ двухъ послѣдовательныхъ опытахъ расположенъ двумя способами — одинъ разъ длинною стороною поперекъ оси, а другой разъ — длинною стороною вдоль ея, — то и время развертыванія въ первомъ случаѣ будетъ вдвое болѣе, чѣмъ во второмъ, хотя-бы центръ давленія и находился въ обоихъ опытахъ на одномъ разстояніи $R\!$ отъ оси.

И, дѣйствительно, теоретическiй выводъ этотъ вполнѣ оправдывается на опытѣ.

Итакъ, одна и та-же площадь $a\cdot b\!$, подъ вліяніемъ одного и того-же груза, вращается съ различною скоростію, смотря по расположенію продолговатой площади.

Изъ форм. 23 можно также видѣть, что и давленіе въ этихъ двухъ случаяхъ разнится вдвое. Въ самомъ дѣлѣ, въ первомъ случаѣ ${\frac {a}{b}}=2\!$, во второмъ же — ${\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\!$; отношеніе равно 4, а квадратный корень изъ него — 2. Стало-быть $F\!$ вдвое измѣняется.

Разсматривая уравн. 13 и примѣняя къ рѣшенію вопроса о maximum давленія $F\!$ эмпирическое выраженіе для (22), найдемъ, что давленіе, при прочихъ одинаковыхъ обстоятельствахъ и при постоянной площади $(a\cdot b)\!$, будетъ наибольшимъ, когда продолговатость прямоугольника равна 3½.

Кажется и у птицъ и насекомыхъ отношеніе длины крыла къ его ширинѣ рѣдко превышаетъ отношеніе 3½.

Уравн. 13 можно придать другой видъ.

(25) $F={\frac {d}{g}}\cdot s_{1}\cdot V^{2}\cdot \sin ^{2}(i)\left\{1+{\frac {7\cdot k}{6{\sqrt {\pi }}}}{\sqrt {\frac {a}{b}}}\cdot \operatorname {ctg} (i)\right\};\!$

и тогда оно будетъ выражать или давленіе вѣтра на неподвижный прямоугольникъ, или давленіе жидкости подъ вліяніемъ движенія въ ней прямоугольника; въ этомъ уравн. $V\!$ означаетъ скорость вѣтра или пластинки, одна сторона (а) которой перпендикулярна къ скорости $V\!$, a і есть уголъ этого направления съ пластинкой.

Если уголъ (i) малъ, то уравн. 25 обращается:

(26) $F={\frac {d}{g}}\cdot s_{1}\cdot V^{2}\cdot \sin(i)\left\{{\frac {7k}{6{\sqrt {\pi }}}}{\sqrt {\frac {a}{b}}}\right\}\!$

изъ формулы этой видно что, при малости угла i давленіе пропорціонально синусу (і), какъ это теперь принимаютъ всѣ авторы по сопротивленію.^[11]

Примѣчанія

1. Эта работа стала первой публикацией К. Э. Циолковского. Она представляет собой сокращённый и переработанный вариант рукописи «К вопросу о летании посредством крыльев» (1890—1891 г.г. / Архив РАН. ф. 555, Оп. 1,д.1,л. 1-84 с обл.). Впервые издана вместе со статьёй «Какъ предохранить хрупкія и нѣжныя вещи отъ толчковъ и ударовъ» с согласия А. Г. Столетова и Н. Е. Жуковского в: Тр. Отделения Физических Наук Императорского Общества Любителей Естествознания. М., 1891. Т.4 Вып. 2. С. 13-17. Текст приводится по отдельному оттиску из этого издания. Другой фрагмент той же рукописи, под названием «Устройство летательного аппарата насекомых и птиц и способы их полета», был опубликован в 1912 году в журнале «Техника воздухоплавания». Еще один фрагмент — «Объяснение вихреобразных движений в воздухе и воде» — впервые был издан только в 1951 году в собрании сочинений (т. I) (Здесь и далее прим. ред.)
2. Имеется ввиду движение пластинки.
3. Позднее, в авторском экземпляре оттиска Циолковский добавил в эту формулу «k — поправочный коэффиц[иент], меньший единицы». Формула приняла вид $F={\frac {ks_{1}\cdot d}{g}}\cdot v_{1}^{2}\!$. Соответственно, автором были изменены формулы (13), (25), (26). (Прим. ред. согласно примечанию в Циолковский К. Э. Избранные труды. М.: Наука, 2007. С. 543)
4. Правильные формулировки: $F\!$ - сила давления; $d\!$ - объемный вес, или весовая плотность жидкости; $g\!$ - ускорение силы тяжести.
5. Циолковский имеет ввиду равномерное установившееся движение.
6. В формуле (2) Циолковский соотносит площадь поверхности круглой пластины $(2\cdot \pi r^{2})\!$ и площадь поверхности сферы $(4\pi H^{2})\!$. Таким образом, в знаменателе появляется коэффициент 2. Но Циолковский, вводя подобную составную модель, не обеспечивает неразрывности поля скоростей на границе, при $H=r\!$. В результате в его модели в поле скоростей частиц происходит скачок: при увеличении радиуса H скорость частиц мгновенно уменьшается вдвое. Позднее Циолковский признал эту ошибку и (согласно примечанию в "Избранные труды. М.: Наука, 2007.") дописал:

   Можно и так
   

   $V=V_{n}\cdot {\frac {r^{2}}{H^{2}}}.\!$
   

   Если сделать эту поправку, то результат будет близок к опытам и теориям других.

   Следует отметить, однако, что в этом случае Циолковский фактически исследует не пластину, а шар радиусом r. Для рассмотрения движения плоской пластины в потоке необходимо было изменить первую часть модели, а именно считать скорость движения частиц близ пластины непостоянной, введя эллипсоид скоростей с переменной длиной полуоси (от 0 до r) или части сферы переменного радиуса (от ∞ до r). Это также позволило бы избежать разрыва в поле скоростей.

7. С учетом указанной выше поправки, в результате получаем $T={\frac {8}{3}}\cdot {\frac {\pi \cdot d}{g}}\cdot r^{3}\cdot V_{2}^{3}\!$. Аналогично, коэффициент меняется с 7/6 на 8/3 в формулах (9), (11), (12), (13), (17).
8. Разумеется, данные рассуждения о сложном движении пластинки в потоке неверны. Необходимо было разложить это движение на продольное и поперечное потоку. Последнее является причиной возникновения силы трения, которую Циолковский вообще не рассматривает, несмотря на то, что, при определенных условиях (достаточной скорости и шероховатости поверхности пластинки), вклад силы трения может оказаться весьма существенным.
9. На самом деле, Циолковский рассматривает не сложное движение пластинки площадью ab, как ему кажется, а движение, параллельное потоку, пластинки площадью $a(b+V_{p}\cdot 1)\!$. По этой причине у него получилось две нормальные составляющие силы - от первоначальной пластинки и от удлиненной, причем в (13) он их еще и складывает. Вероятно, сознавая сомнительность своих рассуждений, он вводит поправочный коэффициент K, с соответствующими пояснениями, но это, конечно, не дает оснований считать полученный результат верным.
10. Экспериментальная модель, использованная Циолковским отличается от его теоретической модели, так как лопасти «вертушки» вращаются. Распределение линейных скоростей, а следовательно и давления, на плоскостях отлично от плоского движения теоретической модели (пластины) в потоке. В «вертушке» постоянна установившаяся угловая скорость (когда сила сопротивления воздуха + силы трения уравнивают силу тяжести, увлекающую груз), линейная же связана с ней зависимостью $V_{n}=\omega R\!$, и изменяется в зависимости от расстояния от оси вращения. Естественно, для моделей с лопастями, закрепленными продольно и поперечно, установившаяся скорость вращения будет различной. Продольное перемещение модели увеличивает силы трения и сопротивление среды, препятствуя повороту лопастей.
11. Гораздо важнее было бы рассматривать движение потока при больших, а не малых углах i. В этом случае, естественно, ошибки в работе привели бы к совершенно неудовлетворительному результату. Принимая i малым и пренебрегая одним из слагаемых в (25), Циолковский вышел на формулу, структурно сходную с полученной Ньютоном, но у того сила была пропорциональна квадрату синуса (для больших i). Разумеется, Циолковский не уточнил и не исправил формулу Ньютона, как это указывалось в дальнейшем в различных публикациях, в том числе и в его автобиографии.