Давление жидкости на равномерно движущуюся в ней плоскость (Циолковский)

Давление жидкости на равномерно движущуюся в ней плоскость
автор Константин Эдуардович Циолковский

Дата создания: 1891, опубл.: 1891. Источник: IV Том Трудов Отделения Физических Наук Императорского Общества Любителей Естествознания

К. Циолковский

ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ

на

РАВНОМЕРНО ДВИЖУЩУЮСЯ

в ней плоскость

________________________

Отдельный оттиск из IV тома Трудов Отделения Физических Наук
Императорского Общества Любителей Естествознания

________________________

МОСКВА
Типография М. Г. Волчанинова, Б. Черныш. пер., д. Пустошкина,
против Английской церкви

1891

---

Давление жидкости на равномерно движущуюся в ней плоскость.^[1]

К. Циолковский.

Равномерное и прямолинейное движение плоскости^[2] мы разложим на два слагающих движения, одно из которых — по направлению самой плоскости — мы будем называть, для краткости, параллельным, а другое, перпендикулярное к ней, - нормальным.

При одном нормальном установившемся движении $v_{1}\!$, давление, производимое жидкостью на плоскость, выражается формулой

(1) $F={\frac {s_{1}\cdot d}{g}}\cdot v_{1}^{2},\!$^[3]

в которой $F\!$ означает давление, $s_{1}\!$ — площадь пластинки, $d\!$ — плотность жидкости, $g\!$ — ускорение тяжести^[4] и $v_{1}\!$ — нормальную скорость пластинки; определение давления по этой формуле дает величины весьма близкие к тем, которые получаются из опытов (ошибка не более 1/10) с помощью вращательных приборов. Но пока движение плоскости и окружающей ее среды еще не установилось, то есть не сделалось однообразным, давление не может быть определяемо формулой (1).

Определим сначала работу пластинки, необходимую для сообщения среде однообразного движения.^[5] Относительно характера этого движения жидкости мы должны принять какую-нибудь гипотезу, которую, разумеется, будем считать настолько вероятной, насколько выводы, вытекающие из нее, оправдаются опытом.

Вот одна из этих гипотез о движении несжимаемой среды в том случае, когда пластинка имеет форму круга (фиг. 1).

Фиг. 1

Наибольшую скорость приобретают частицы, лежащие близь движущейся плоскости, причем движение частиц спереди и сзади плоскости имеет одно направление: передние частицы гонятся вперед, задние увлекаются по тому же направлению, вследствие разрежения там воздуха. Мы допустим, что сфера жидкости, облекающая пластинку, как свой большой круг, имеет однообразную скорость, равную скорости пластинки; частицы этой сферы толкают и увлекают другие части жидкости, далее лежащие; но так как пространство, или, так сказать, русло их постепенно расширяется, то и скорость частиц жидкости тем более уменьшается, чем далее они расположены от движущейся плоскости.

На этом основании (фиг. 1), означая радиус площади через $r\!$, — радиус какого-нибудь сферического слоя H жидкости через $H\!$, его скорость — через $V\!$, а скорость пластинки через $V_{n}\!$, найдем:

(2) $V={\frac {v_{n}\cdot \pi \cdot r^{2}}{2\pi \cdot H^{2}}}=V_{n}\cdot {\frac {r^{2}}{2H^{2}}},\!$

ибо, очевидно, что скорость слоя H во столько раз меньше скорости пластинки, во сколько поверхность слоя больше поверхности пластинки.^[6]

Что касается до увлечения задних частей жидкости движением, подобным движению передних толкающих частиц, то это легко видеть не только из опыта, но и теоретически. В самом деле, пусть плоскость сделала некоторое передвижение вперед; тогда, если бы жидкость не имела упругости и притом была бы помещена в среде, свободной от тяжести, — сзади плоскости, на величину ее передвижения, осталось бы брешь — пустота и увлечение жидкости пластинкой не существовало бы; но так как жидкость, в обыкновенных условиях, имеет тяжесть, не говоря уже об упругости, то она тотчас же и занимает образованную сзади плоскости пустоту. За первым задним слоем таким же образом увлекается следующий и т. д., — совершенно подобно тому, как и передние слои жидкости толкают друг друга.

Дифференциал определяемой нами работы $T\!$ движения жидкости равен

(3) $dT=m\cdot {\frac {V^{2}}{2g}},\!$ где m

есть масса сферического слоя толщиною в dH, но

$m=4\pi \cdot H^{2}\cdot dH\cdot d...,\!$ a

$V=V_{n}\cdot {\frac {r^{2}}{2H^{2}}},\!$ следовательно

(4) $dT={\frac {\pi \cdot d}{2g}}\cdot V_{n}^{2}\cdot {\frac {r^{4}}{H^{2}}}\cdot dH.\!$

Интегрируя это уравнение, найдем:

(5) $T={\frac {-\pi \cdot d\cdot V_{n}^{2}}{2g}}\cdot {\frac {r^{4}}{H}}+C,\!$

где C есть постоянное.

Если $H=r\!$,, то работа $T\!$ равна той, которая необходима, чтобы сообщить сфере $A\!$ (фиг. 1) постоянную скорость $V_{n}\!$; стало быть:

(6) $T={\frac {4}{3}}\pi \cdot r^{3}\cdot d\cdot {\frac {V_{n}^{2}}{2g}}={\frac {-\pi d\cdot V_{n}^{2}}{2g}}\cdot r^{3}+C,\!$;

из двух последних уравнений получим:

(7) $T={\frac {\pi \cdot d}{2g}}\cdot r^{3}\cdot V_{n}^{2}{\left(1-{\frac {r}{H}}\right)}+{\frac {2\pi \cdot d}{3g}}\cdot r^{3}\cdot V_{n}^{2}.\!$

Чтобы определить работу всей бесконечной окружающей плоскость жидкости, надо тут положить $H=\infty \!$; тогда найдем:

(8) $T={\frac {7}{6}}\cdot {\frac {\pi \cdot d}{g}}\cdot r^{3}\cdot V_{2}^{3}.\!$^[7]

Зная работу $T\!$ и передвижение плоскости, можно узнать и среднее давление на нее.

Но прежде чем применять последнее уравн. к определению давления на плоскость при сложном ее движении, (т. е. параллельном и нормальном) необходимо установить следующие положения:

a) Как теория, так и опыт показывают, что давление на плоскость, при нормальном ее движение почти строго пропорционально ее площади, независимо от формы последней.

b) Точно также теория и опыт показывают, что работа $T\!$ в первый момент нормального движения плоскости выражается уравн. (8) независимо от ее формы, лишь бы плоскость была не очень продолговата; на этих двух основаниях, теорию которых я тут выпускаю за недостатком места, формулу (8) можно применить и к прямоугольнику $(a\cdot b)\!$, не очень, однако, продолговатому; для этого заменим в ней $\pi \cdot r^{2}\!$ и $r\!$ из выражений

$\pi \cdot r^{2}=s_{1}\!$, и $\pi \cdot r^{2}=a\cdot b\!$, откуда $r={\sqrt {\frac {ab}{\pi }}}\!$;

получим:

(9) $T={\frac {7}{6}}\cdot {\frac {d}{g}}\cdot s_{1}\cdot {\sqrt {\frac {ab}{\pi }}}\cdot V_{n}^{2}.\!$

Определим теперь давление воздуха или, вообще, жидкости на прямоугольник, одна сторона (a) которого перпендикулярна параллельному его движению, а другая (b) параллельна ему.

Если бы он имел одну нормальную скорость ($V_{n}\!$), то работа приобретения ее (в малый промежуток времени) выразилась бы уравн. (9). Но он, кроме того, имея параллельную скорость $V_{p}\!$, прошел пространство $V_{p}\!$ в направлении, перпендикулярном к прежнему, и потому его секундная работа должна быть во столько раз больше работы по формуле (9), во сколько скорость параллельная $V_{p}\!$ больше ширины $b\!$ прямоугольника, по направлению которой совершается это движение. Действительно, при одной нормальной скорости, прямоугольник сообщает известное движение воздуху близь площади величиною в $a\cdot b\!$; при поступательном же движении, тот же прямоугольник в одну секунду сообщает то же движение воздуху близь поверхности длиною в $V_{p}\!$ и шириною в $a\!$, т. е. пространству величиною в $V_{p}\cdot a\!$, которое больше предыдущего в ${\frac {V_{p}\cdot a}{a\cdot b}}={\frac {V_{p}}{b}}\!$ раз... (10). Каждую часть этой воздушной полосы $V_{p}\cdot a\!$ прямоугольник давил и увлекал, хотя и короткое время, но с определенною скоростью, равной нормальной скорости твердой пластинки, и потому неизбежно сообщил ей, т. е. полосе, некоторое движение.^[8]

Итак, обозначая нормальное давление на плоскость, производимое этой причиной, через $F\!$, найдем, на основании форм. (9) и (10), что секундная работа равна

(11) $F\cdot V_{n}={\frac {7\cdot d}{6\cdot g}}\cdot s_{1}\cdot V_{n}^{2}{\sqrt {\frac {ab}{\pi }}}\cdot {\left({\frac {V_{p}}{b}}\right)},\!$

откуда

(12) $F={\frac {7\cdot d\cdot s_{1}}{6{\sqrt {\pi }}\cdot g}}\cdot {\sqrt {\frac {a}{b}}}\cdot V_{n}\cdot V_{p}.\!$

Вводя во вторую часть этого уравнения множителем поправочный коэффициент $K\!$, в виду не полной строгости вывода (10) и ограниченности положения (10) и, прибавляя к полученному выражение давления (12) давление ординарное (1), происходящее при одном нормальном установившемся движении, получим:

(13) $F={\frac {s_{1}\cdot d}{g}}\cdot V_{n}^{2}\left\{1+{\frac {7\cdot K}{6{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\sqrt {\frac {a}{b}}}\cdot \left({\frac {V_{p}}{V_{n}}}\right)\right\}.\!$^[9]

Прежде чем указывать на значение этой формулы в науке я считаю необходнмым проверить ее посредством опытов.

Фиг. 2

Прибор, которым мы намерены произвести эту поверку, состоит из небольшого станка с вращающеюся на нем горизонтальной осью. В перпендикулярном направлении к оси укреплены на ней две тонкие проволоки, на концы которых можно надевать разной величины и продолговатости прямоугольные пластинки из плотной бумаги, так что ось тогда получает два прямоугольных и симметрично расположенных крыла, (фиг. 2), лежащих в одной с ней плоскости. Ось и крылья могут некоторое время вращаться посредством, намотанной на ось нитки, разматываемой тяжестью груза.

На этом приборе легко видеть, как увеличивается сопротивление воздуха при увеличении параллельной скорости крыла, которая, действуя на тонкие ребра крыла, по-видимому, не должна бы оказывать никакого влияния на скорость вращения крылатки.

Для этого я беру её в руки и пускаю в действие груз; — крылья вертятся с известною скоростью; если теперь, во время этого вращения, я начинаю идти с прибором в руках, стараясь, чтобы мое движение было параллельно оси прибора, то вращение, очевидно, замедляется и даже почти останавливается, если скорость поступательного движения увеличить (груз был в 2 грамма, ширина крыльев — около 4 сант., длина — около 5 сант.; таково же и ближайшее расстояние их до оси).^[10]

Но для производства точных опытов нужно составить несколько вспомогательных формул применительно к нашему прибору (фиг. 2).

Означая давление воздуха на одно крыло через $F\!$, расстояние центра давления до оси — через $R\!$, радиус оси — через $r\!$ и груз — через $P\!$, найдем условие равномерного движения крыльев:

(14) $2\cdot F\cdot R=rP.\!$.

Если крылья в течение времени $t\!$ сделали $n\!$ полных оборотов, причем нить размоталась на длину $L\!$, то:

(15) $2\pi \cdot R\cdot n=V_{n}\cdot t\!$ и (16) $2\pi \cdot R\cdot n=L.\!$.

Выключая из уравнения (14) $R\!$ и $r\!$, посредством этих уравнений, и $F\!$ — посредством уравнения (13), получим:

(17) ${\frac {4s_{1}\cdot \pi \cdot d}{g\cdot t}}\cdot R^{2}\cdot n\left\{{\frac {2\pi R\cdot n}{t}}+{\frac {7\cdot k}{6{\sqrt {\pi }}}}{\sqrt {\frac {a}{b}}}\cdot V_{p}\right\}={\frac {P\cdot L}{2\pi n}}.\!$

Зная, что $s_{1}=ab\!$ и решая это уравнение относительно $t\!$, найдем время развертывания нити $L\!$ под влиянием различных грузов:

(18) $t={\frac {14\cdot d\cdot n^{2}\cdot R^{2}}{3\cdot PLg}}\cdot {\sqrt {\pi ^{3}\cdot a^{3}\cdot b}}\cdot V_{p}\cdot k+{\sqrt {\pi ^{3}\cdot a^{3}\cdot b}}\cdot {\sqrt {{\frac {196\cdot d^{2}\cdot n^{4}\cdot R^{4}}{9\cdot P^{2}\cdot L^{2}\cdot g^{2}}}\cdot V_{p}^{2}k^{2}+{\frac {16\cdot d\cdot n^{3}\cdot R^{3}}{P\cdot L\cdot g\cdot a^{2}}}}}.\!$

Применим эту формулу для поверхностей не очень продолговатых, когда (k) можно положить равным единице; положим, например: (19) a=5 сантим., b = 5 с, d = 0,0013, n=10, R=10 сант., Vp=100 сант., i=21 сант., g=980 сант., — тогда вычислим, ряд времен в зависимости от ряда принятых грузов (Р) путем теории.

Придавая затем крыльям прибора (фиг. 2), удовлетворяющего условиям (19), вращение, посредством того же ряда грузов, и приводя в то же время прибор в поступательное движение со скоростью 100 сантиметров в 1 секунду — по направлению оси вращения крыльев, — и замечая время развертывания нити, — получим также ряд времен, но путем опыта; то и другое вместе составит следующую таблицу (20):

(20)

P	t вычис.	t опыт.
1	90,6	91
2	47,2	47
3	34,8	35
4	27,6	28
5	28,0	28
6	20,1	20
7	18,0	18
8	16,3	16
9	15,0	15
10	13,9	14
20	8,6	9

Первый вертикальный столбец ея показывает грузы в граммах, второй — время по вычислению (№ 18), третий — время из опыта. Мы видим из нея, что часть нашей теории оправдывается достаточно.

Остается проверить влияние на давление $F\!$ продолговатости крыла, выражаемое уравн. (13).

Из Формулы (18), представляющей последствия этого закона, можно заметить, что время развертывания нити прибора, при постоянном грузе $P\!$ и для поверхностей мало продолговатых, когда k=1, — пропорционально квадратному корню из ширины $b\!$ крыла, или, при постоянной длине $a\!$ его, — обратно пропорционально квадратному корню из продолговатости ${\frac {a}{b}}\!$ крыла. Этим выводом из уравн. (18) мы воспользуемся для проверки (13) в отношении продолговатости пластинки. Для этого я вырезывал пластинки разной продолговатости и последовательно надевал их на спицы прибора. Из многих опытов привожу одну таблицу (№ 21);

(21)

b	1¼	2½	5	10	15	20
${\frac {a}{b}}\!$	4	2	1	½	1/3	¼
t	13	24	35	53	67	80
l	17½	25	35	50	60	70

первая горизонтальная строка ее показывает ширину $b\!$ пластинки (или длину по направлению оси) в сантиметрах, при неизменных размерах $a\!$ по направлению перпендикулярному (5 сантим.) -, вторая указывает продолговатость ${\frac {a}{b}}\!$ вращающихся прямоугольников; третья — время (t) из опыта в секундах, при постоянном грузе (Р) в 3 грамма и при прочем, по условиям (19); наконец, четвертая — время развертывания нити по вычислению из Формулы (18), предполагая, что k=1. Из сравнения времен этой таблицы мы видим, что результаты опыта тем ближе к результатам теории, чем менее продолговатость пластинки, или — вернее — чем форма ее ближе к форме квадрата.

Подставляя в уравн. (17) последовательно размеры пластинки и соответствующие времена табл. (21), полученные из опыта, полагая постоянно Р = 3 граммам, а прочее по условиям (19),— найдем из этого уравнения (17) ряд величин для коэффициента k, который нетрудно тогда выразить известными способами эмпирической формулой. Формула эта оказывается весьма простого вида,

именно, (22) $k={\frac {9}{7+2\cdot \left({\frac {a}{b}}\right)}}.\!$

Вычисляя времена по уравн. (18) и полагая при этом k, согласно (22), получим ряд времен — 13, 23, 35, 53, 68, 79, — весьма близких к временам, полученным из опыта (табл. № 21), 3-я гориз. строка).

Не могу не привесть тут один мой опыт, весьма ярко указывающий громадное влияние продолговатости на давление воздуха, или на время развертывания нити. Канвою для этого опыта послужит нам форм. (18), или формула (13), которые упрощаются, когда груз $P\!$ не велик, или когда скорость вращательного $V_{n}\!$ движения не велика в сравнении со скоростью поступательного $V_{p}\!$ движения прибора; тогда вместо ур.22 получим:

(23) $F={\frac {7\cdot d\cdot s_{1}}{6{\sqrt {\pi }}\cdot g}}\cdot {\sqrt {\frac {a}{b}}}\cdot V_{n}\cdot V_{p},\!$,

а вместо уравн. (18)

(24) $t={\frac {28\cdot d\cdot n^{2}\cdot R^{2}}{3\cdot P\cdot L\cdot g}}\cdot a\cdot {\sqrt {\pi ^{3}\cdot \left(a\cdot b\right)}}\cdot V_{p}\cdot k.\!$.

Из последнего равенства видно, что, при постоянной площади $a\cdot b\!$ прямоугольника и при прочих одинаковых условиях, время развертывания нити пропорционально $a\!$, то есть длине его по направлению перпендикулярному к оси. Поэтому, если, напр., дан прямоугольник, одна сторона которого вдвое более другой, и он в двух последовательных опытах расположен двумя способами — один раз длинною стороною поперек оси, а другой раз — длинною стороною вдоль ее, — то и время развертывания в первом случае будет вдвое более, чем во втором, хотя бы центр давления и находился в обоих опытах на одном расстоянии $R\!$ от оси.

И, действительно, теоретический вывод этот вполне оправдывается на опыте.

Итак, одна и та же площадь $a\cdot b\!$, под влиянием одного и того же груза, вращается с различною скоростью, смотря по расположению продолговатой площади.

Из форм. 23 можно также видеть, что и давление в этих двух случаях разнится вдвое. В самом деле, в первом случае ${\frac {a}{b}}=2\!$, во втором же — ${\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\!$; отношение равно 4, а квадратный корень из него — 2. Стало-быть $F\!$ вдвое изменяется.

Рассматривая уравн. 13 и применяя к решению вопроса о maximum давления $F\!$ эмпирическое выражение для (22), найдем, что давление, при прочих одинаковых обстоятельствах и при постоянной площади $(a\cdot b)\!$, будет наибольшим, когда продолговатость прямоугольника равна 3½.

Кажется, и у птиц и насекомых отношение длины крыла к его ширине редко превышает отношение 3½.

Уравн. 13 можно придать другой вид.

(25) $F={\frac {d}{g}}\cdot s_{1}\cdot V^{2}\cdot \sin ^{2}(i)\left\{1+{\frac {7\cdot k}{6{\sqrt {\pi }}}}{\sqrt {\frac {a}{b}}}\cdot \operatorname {ctg} (i)\right\};\!$

и тогда оно будет выражать или давление ветра на неподвижный прямоугольник, или давление жидкости под влиянием движения в ней прямоугольника; в этом уравн. $V\!$ означает скорость ветра или пластинки, одна сторона (а) которой перпендикулярна к скорости $V\!$, a i есть угол этого направления с пластинкой.

Если угол (i) мал, то уравн. 25 обращается:

(26) $F={\frac {d}{g}}\cdot s_{1}\cdot V^{2}\cdot \sin(i)\left\{{\frac {7k}{6{\sqrt {\pi }}}}{\sqrt {\frac {a}{b}}}\right\}\!$

из формулы этой видно что, при малости угла i давление пропорционально синусу (i), как это теперь принимают все авторы по сопротивлению.^[11]

Примечания

1. Эта работа стала первой публикацией К. Э. Циолковского. Она представляет собой сокращённый и переработанный вариант рукописи «К вопросу о летании посредством крыльев» (1890—1891 г.г. / Архив РАН. ф. 555, Оп. 1,д.1,л. 1-84 с обл.). Впервые издана вместе со статьёй «Как предохранить хрупкие и нежные вещи от толчков и ударов» с согласия А. Г. Столетова и Н. Е. Жуковского в: Тр. Отделения Физических Наук Императорского Общества Любителей Естествознания. М., 1891. Т.4 Вып. 2. С. 13-17. Текст приводится по отдельному оттиску из этого издания. Другой фрагмент той же рукописи, под названием «Устройство летательного аппарата насекомых и птиц и способы их полета», был опубликован в 1912 году в журнале «Техника воздухоплавания». Еще один фрагмент — «Объяснение вихреобразных движений в воздухе и воде» — впервые был издан только в 1951 году в собрании сочинений (т. И) (Здесь и далее прим. ред.)
2. Имеется ввиду движение пластинки.
3. Позднее, в авторском экземпляре оттиска Циолковский добавил в эту формулу «k — поправочный коэффиц[иент], меньший единицы». Формула приняла вид $F={\frac {ks_{1}\cdot d}{g}}\cdot v_{1}^{2}\!$. Соответственно, автором были изменены формулы (13), (25), (26). (Прим. ред. согласно примечанию в Циолковский К. Э. Избранные труды. М.: Наука, 2007. С. 543)
4. Правильные формулировки: $F\!$ - сила давления; $d\!$ - объемный вес, или весовая плотность жидкости; $g\!$ - ускорение силы тяжести.
5. Циолковский имеет ввиду равномерное установившееся движение.
6. В формуле (2) Циолковский соотносит площадь поверхности круглой пластины $(2\cdot \pi r^{2})\!$ и площадь поверхности сферы $(4\pi H^{2})\!$. Таким образом, в знаменателе появляется коэффициент 2. Но Циолковский, вводя подобную составную модель, не обеспечивает неразрывности поля скоростей на границе, при $H=r\!$. В результате в его модели в поле скоростей частиц происходит скачок: при увеличении радиуса H скорость частиц мгновенно уменьшается вдвое. Позднее Циолковский признал эту ошибку и (согласно примечанию в "Избранные труды. М.: Наука, 2007.") дописал:

   Можно и так
   

   $V=V_{n}\cdot {\frac {r^{2}}{H^{2}}}.\!$
   

   Если сделать эту поправку, то результат будет близок к опытам и теориям других.

   Следует отметить, однако, что в этом случае Циолковский фактически исследует не пластину, а шар радиусом r. Для рассмотрения движения плоской пластины в потоке необходимо было изменить первую часть модели, а именно считать скорость движения частиц близ пластины непостоянной, введя эллипсоид скоростей с переменной длиной полуоси (от 0 до r) или части сферы переменного радиуса (от ∞ до r). Это также позволило бы избежать разрыва в поле скоростей.

7. С учетом указанной выше поправки, в результате получаем $T={\frac {8}{3}}\cdot {\frac {\pi \cdot d}{g}}\cdot r^{3}\cdot V_{2}^{3}\!$. Аналогично, коэффициент меняется с 7/6 на 8/3 в формулах (9), (11), (12), (13), (17).
8. Разумеется, данные рассуждения о сложном движении пластинки в потоке неверны. Необходимо было разложить это движение на продольное и поперечное потоку. Последнее является причиной возникновения силы трения, которую Циолковский вообще не рассматривает, несмотря на то, что, при определенных условиях (достаточной скорости и шероховатости поверхности пластинки), вклад силы трения может оказаться весьма существенным.
9. На самом деле, Циолковский рассматривает не сложное движение пластинки площадью ab, как ему кажется, а движение, параллельное потоку, пластинки площадью $a(b+V_{p}\cdot 1)\!$. По этой причине у него получилось две нормальные составляющие силы - от первоначальной пластинки и от удлиненной, причем в (13) он их еще и складывает. Вероятно, сознавая сомнительность своих рассуждений, он вводит поправочный коэффициент K, с соответствующими пояснениями, но это, конечно, не дает оснований считать полученный результат верным.
10. Экспериментальная модель, использованная Циолковским отличается от его теоретической модели, так как лопасти «вертушки» вращаются. Распределение линейных скоростей, а следовательно и давления, на плоскостях отлично от плоского движения теоретической модели (пластины) в потоке. В «вертушке» постоянна установившаяся угловая скорость (когда сила сопротивления воздуха + силы трения уравнивают силу тяжести, увлекающую груз), линейная же связана с ней зависимостью $V_{n}=\omega R\!$, и изменяется в зависимости от расстояния от оси вращения. Естественно, для моделей с лопастями, закрепленными продольно и поперечно, установившаяся скорость вращения будет различной. Продольное перемещение модели увеличивает силы трения и сопротивление среды, препятствуя повороту лопастей.
11. Гораздо важнее было бы рассматривать движение потока при больших, а не малых углах i. В этом случае, естественно, ошибки в работе привели бы к совершенно неудовлетворительному результату. Принимая i малым и пренебрегая одним из слагаемых в (25), Циолковский вышел на формулу, структурно сходную с полученной Ньютоном, но у того сила была пропорциональна квадрату синуса (для больших i). Разумеется, Циолковский не уточнил и не исправил формулу Ньютона, как это указывалось в дальнейшем в различных публикациях, в том числе и в его автобиографии.