Возможный смысл теории квант (Умов)

Возможный смысл теории квант
автор Николай Алексеевич Умов (1846—1915)

Дата создания: 1913, опубл.: 1913. Источник: Умов Н. А. Избранные сочинения / А. С. Предводителев — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — С. 503—513. — 5000 экз. • впервые опубликована в «Вестнике опытной физики и элементарной математики»

1

Неудачи, постигшие попытки вывести законы излучения и удельных теплот, исходя из максвеллова распределения энергии в системе молекул или осцилляторов, привели, как известно, Планка к его гипотезе квант. Но причина этих неудач осталась невыясненной, и, пока не воспоследует соответственное объяснение, нельзя считать гипотезу квант единственной разрешающей задачу. Важность вопроса побуждает меня высказать здесь ту точку зрения, которая может как объяснить бесплодность прежних попыток, так и указать тот путь, который приводит к принятым в настоящее время наукой законам, исходя и в тесной, не формальной, связи с максвелловым распределением энергии и минуя гипотезу излучения порциями или квантами.

В основной формуле удельной теплоты при постоянном объёме

$c_{v}={\frac {\partial U}{\partial T}}$

(1.)

где $T$ есть абсолютная температура, величина $U$ представляет энергию неупорядоченных движений, существующих в системе. Эта величина $U$ является определяющей и самый закон излучения.

Вся задача сводится к нахождению вида этой функции $U$. Кинетическая теория, исходя из закона распределения энергии по Максвеллу, даёт для вычисления атомных или молекулярных теплот выражение

$U={\frac {q}{2}}RT$

(2.)

где $q$ есть число степеней свободы и $R$ — газовая постоянная. Пользуясь этим выражением, мы получаем законы, не согласные с опытом. Планк даёт другое выражение для $U$, приводящее к законам, согласным с опытом, и так как остаётся невыясненной причина негодности формулы (2), то для энергии неупорядоченных движений системы всё-таки остаются два не согласуемые между собой вида.

Противоречия исчезнут, если мы будем искать определения не абсолютного, а относительного неупорядоченного движения.

Когда система нагревается, она получает тепло от некоторого физического агента; когда она излучает, тот же агент уносит её теплоту. Всё дело заключается в том, какие движения системы будут по отношению к этому агенту иметь значение неупорядоченных и упорядоченных? Разграничение таких движений, зависящее от соотношения между свойствами агента и свойствами материи, не должно и не может совпадать с тем, которое производится нашим разумом на основании установленных им категорий движений. Становясь на такую точку зрения, гипотеза квант получает совершенно иной смысл, и в основу рассуждений может быть положено максвеллово распределение энергии.

Отношение агента к упорядоченным движениям электрических индивидов, составляющих материю, является вполне определённым уравнениями электромагнитного доля. Но его отношение к неупорядоченным движениям этих индивидов ещё не установлено.

A priori очевидно, что неупорядоченные движения системы не должны обязательно действовать на агента, её проникающего, как таковые, во всей своей совокупности. В зависимости от свойств и связей агента действие на него неупорядоченных движений в общем случае разложится на две части: неупорядоченную (н) и упорядоченную (у).

Таким образом, энергия е молекулы или осциллятора системы по отношению к агенту представится суммой двух членов:

е $=$ н + у

(3.)

Упорядоченная часть, по самому своему смыслу, должна быть одинаковой для всех молекул и представляться непрерывной функцией температуры. Неупорядоченная же часть н будет меняться от одной молекулы к другой и вместе со временем для одной и той же молекулы.

Для всей энергии системы мы получим выражение:

$E=\sum$н + $N$у

(4.)

где $N$ есть число молекул. По смыслу энергии $U$ в выражении (1), как энергии неупорядоченных движений, применяя третью аксиому Ньютона к взаимодействию системы и агента, мы имеем:

$U=\sum$н

(5.)

Свойства агента будем представлять некоторой моделью, именно свойствами некоторого манометра. Неудачи попыток кинематической теории объясняются, как увидим далее, тем, что в их основе лежит отождествление агента с самым грубым манометром, определяющим давление газа, неспособного воспринимать импульсы отдельных групп молекул, а только всей их совокупности, определяемой пределами энергий 0 и $\infty$. Для такого манометра, как будет показано, $\sum$н = 0, и в формулу (1) вместо $U$ вставлялась энергия не неупорядоченных движений, а упорядоченных.

Другим крайним типом манометра, обладающим крайней чувствительностью, является демон Максвелла, способный воспринимать импульсы отдельных молекул. Для него у = 0 и е = н.

Между этими крайними типами могут быть вставлены манометры, чувствительность которых определяется способностью воспринимать группы импульсов, энергии которых лежат между пределами: произвольным $E\$ и другим $E+\varepsilon$, где величину $\varepsilon$ мы будем считать пока определяемой природой манометра и дробь ${\frac {1}{\varepsilon }}$ — мерою его чувствительности. Для обыкновенного манометра $\varepsilon =\infty$ и чувствительность равна 0; для демона Максвелла $\varepsilon =0$ и чувствительность бесконечно велика. Я займусь выяснением свойств манометров общего типа.

2

Выкладки, приводимые ниже, не заключают в себе ничего нового: они имеются в статьях Нернста, Зоммерфельда, Планка, Эйнштейна и др. Но они скомбинированы в ином освещении, решающем вопрос методой, отличной от той, которая установлена гипотезой квант.

Ограничимся рассмотрением грамм-молекулы, индивиды которой обладают двумя степенями свободы. Распределение энергий пусть следует закону Максвелла. Мы имеем:

${\frac {dN}{N}}=Ae^{-{\frac {E}{kT}}}dE,\qquad AkT=1$

(6.)

Здесь $dN$ есть число индивидов, обладающих энергией в пределах между $E$ и $E+dE$, $k={\frac {R}{N}}$ есть число Авогадро. Предполагаем, что манометр способен воспринимать и подсчитывать импульсы групп индивидов, определяемых пределами несомых ими энергий $E\$ и $E+\varepsilon$, где $\varepsilon$ есть постоянная. Обозначим через $N_{i}$ число индивидов, энергия которых лежит между пределами $E_{i}\$ и $E_{i}+\varepsilon$.

Мы имеем:

$N_{i}=AN\int \limits _{E_{i}}^{E_{i}+\varepsilon }e^{-{\frac {E}{kT}}}dE=Ne^{-{\frac {E_{i}}{kT}}}\left(1-e^{-{\frac {\varepsilon }{kT}}}\right)$

(7.)

Средняя энергия в этой группе будет:

${\overline {e_{i}}}={\frac {1}{N_{i}}}\int \limits _{E_{i}}^{E_{i}+\varepsilon }EdN=E_{i}+kT-{\frac {\varepsilon }{e^{\frac {\varepsilon }{kT}}-1}}$

(8.)

Таким образом, наш манометр выделит из неупорядоченных движений системы неупорядоченную часть $E_{i}$, меняющуюся с временем и от одной молекулы к другой, и упорядоченную, остающуюся одинаковой для всех молекул. Обозначая последнюю через $\rho$, мы получим очевидное неравенство:

$y=\rho =kT-{\frac {\varepsilon }{e^{\frac {\varepsilon }{kT}}-1}}<\varepsilon$

(9.)

Эту величину можно представить ещё в таком виде:

$y=\rho =kT-{\frac {kT}{1+{\frac {1}{2}}{\frac {\varepsilon }{kT}}+{\frac {1}{6}}\left({\frac {\varepsilon }{kT}}\right)^{2}+\dots }}$

(I.)

Найдем ещё для всей системы энергию относительных неупорядоченных движений, т. е.

$U=\sum N_{i}E_{i}$

(10.)

Мы имеем:

$\int \limits _{0}^{\infty }EdN=\sum N_{i}E_{i}+N\rho$

(11.)

Отсюда по равенствам (6) и (9), обозначая через ${\overline {U}}$ среднюю энергию относительных неупорядоченных движений, найдём:

$kT={\overline {U}}+kT-{\frac {\varepsilon }{e^{\frac {\varepsilon }{kT}}-1}}$

(12.)

откуда

${\overline {U}}={\frac {\varepsilon }{e^{\frac {\varepsilon }{kT}}-1}}$, или ${\overline {U}}={\frac {kT}{1+{\frac {1}{2}}{\frac {\varepsilon }{kT}}+{\frac {1}{6}}\left({\frac {\varepsilon }{kT}}\right)^{2}+\dots }}$

(II.)

Это есть формула Планка. Искомое

$U=N{\overline {U}}$

(13.)

Величина $\varepsilon$ определяется гипотезой Планка:

$\varepsilon =h\nu$

(III.)

где $h$ есть известная универсальная постоянная, a $\nu$ есть число естественных колебаний молекулы в секунду.

Рассмотрим наши выражения подробнее. Для манометра первого типа, свойства которого отождествлялись в существующих работах со свойствами агента, мы имеем $\varepsilon =\infty$ и, согласно равенствам (I), (II), (III),

$y=\rho =kT,\quad {\overline {U}}=0$

и

$U=0,\quad \nu =\infty$

Для другого крайнего типа, демона Максвелла, $\varepsilon =0$ и

$y=\rho =0,\quad {\overline {U}}=kT$

и

$U=NkT,\quad \nu =0$

Этот тип соответствует бесконечно длинным волнам, и только для них имеет смысл подстановка величины $NkT$, равной $RT$, в формулу (1).

При абсолютном нуле мы имеем:

$T=0,\quad y=\rho =0,\quad {\overline {U}}=U=0$

Для всех промежуточных значений $\varepsilon$, лежащих между 0 и $\infty$, величины y и $U$ определяются формулами (I), (II), (III), и для $q$ степеней свободы

$U={\frac {q}{2}}N{\overline {U}}$

Для твёрдого тела при $q=6$ получаем формулу Планка:

$U=3R{\frac {\frac {h\nu }{k}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}$

Таким образом, теория квант и излучения порциями, замена максвелловского распределения энергий планковским устраняются следующей гипотезой:

Эфир обладает различной степенью чувствительности по отношению к неупорядоченным движениям материальных систем.

Эта чувствительность зависит от числа естественных колебаний молекул системы и представляется величиной ${\frac {1}{h\nu }}$, где $h$ есть постоянная, зависящая от свойств эфира и потому универсальная, a ν есть число естественных колебаний молекулы системы.

Универсальность постоянной $h$ получает естественное объяснение.