БСЭ1/Якобиан

Якобиан
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Эфемериды — Яя. Источник: т. LXV (1931): Эфемериды — Яя, стлб. 451—452 ( РГБ )

ЯКОБИАН, определитель (см.) вида:

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}{\text{,}}~&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}{\text{,}}~&\cdots {\text{,}}~&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}{\text{,}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}{\text{,}}~&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}{\text{,}}~&\cdots {\text{,}}~&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}{\text{,}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}{\text{,}}~&{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{2}}}{\text{,}}~&\cdots {\text{,}}~&{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}{\text{,}}\end{vmatrix}}$

‎где f₁, f₂, …, f_n суть n заданных функций от независимых переменных $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$:

$f_{i}=f_{i}(x_{1}{\text{,}}x_{2}{\text{,}}\ldots {\text{,}}x_{n}){\text{.}}$

Название дано по имени знаменитого математика Якоби (см.). Я. часто символически обозначается так:

${\frac {\partial (f_{1}{\text{,}}f_{2}{\text{,}}\ldots {\text{,}}f_{n})}{\partial (x_{1}{\text{,}}x_{2}{\text{,}}\ldots {\text{,}}x_{n})}}$.

Я. обращается тождественно в нуль в том и только в том случае, если между функциями f₁, f₂, …, f_n существует нек-рое тождественное соотношение, т. е. они являются не независимыми. Я. встречается в формулах преобразования кратных интегралов. Напр.:

$\iint F(y_{1}{\text{,}}y_{2})dy_{1}dy2=\iint F[f_{1}(x_{1}\cdot x_{2}){\text{,}}~f_{2}(x_{1}\cdot x_{2})]{\frac {\partial (f_{1}{\text{,}}f_{2})}{\partial (x_{1}{\text{,}}x_{2})}}$.

Для Я. имеет место след. важная формула:

${\frac {\partial (z_{1}{\text{,}}z_{2}{\text{,}}\ldots {\text{,}}z_{n})}{\partial (y_{1}{\text{,}}y_{2}{\text{,}}\ldots {\text{,}}y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1}{\text{,}}y_{2}{\text{,}}\ldots {\text{,}}y_{n})}{\partial (x_{1}{\text{,}}x_{2}{\text{,}}\ldots {\text{,}}x_{n})}}={\frac {\partial (z_{1}{\text{,}}z_{2}{\text{,}}\ldots {\text{,}}z_{n})}{\partial (x_{1}{\text{,}}x_{2}{\text{,}}\ldots {\text{,}}x_{n})}}$