БСЭ1/Максвелла теория

Максвелла теория
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Лилль — Маммалогия. Источник: т. XXXVII (1938): Лилль — Маммалогия, стлб. 764—770 ( РГБ )

МАКСВЕЛЛА ТЕОРИЯ, общая теория электромагнитных явлений, разработанная английским физиком Джемсом Клерком Максвеллом (см.) (1831—79), развившим далее идеи Фарадея, и лежащая в основе современного учения об электричестве и магнитизме. Заслугой Максвелла в развитии познаний об электричестве и магнитизме является не только придание стройной математич. формы теории электромагнитных явлений, но и формулировка новой физич. гипотезы о существовании еще одного (кроме известных ранее) типа связи между электрическими и магнитными явлениями. Под М. т. принято понимать как разработанную Максвеллом собственно математич. теорию, так и сформулированную Максвеллом физическую гипотезу. Согласно концепции Фарадея, из которой исходил и Максвелл, все пространство является областью действия электрических и магнитных сил, и все электромагнитные явления в данной точке пространства вполне могут быть определены явлениями, происходящими в соседних точках пространства. Подчеркивая своеобразие этой принципиально новой картины, развитой Фарадеем, — картины близкодействия, — Максвелл указывает, что до Фарадея при характеристике электрических и магнитных явлений представлением о пространстве пользовались лишь для определения расстояний между телами. Только Фарадей ввел представление о пространстве как об области действия электрических и магнитных сил и о близкодействии как о картине электромагнитных явлений в пространстве. Это близкодействие, по Фарадею, осуществляется при помощи среды.

Эта концепция потребовала разработки специального математич. аппарата, адекватного физич. картине. Фарадей в сущности сам создал этот математич. аппарат; правда, аппарат не аналитический, а геометрический. Хотя Фарадей не владел математич. методами, но созданный им аппарат для описания электромагнитных явлений, по выражению Максвелла, представляет собой своеобразную «геометрию силовых линий». Однако аппарат этот был очень громоздок и вообще далек от совершенства. Максвелл поставил перед собой задачу создать аналитич. аппарат для описания электромагнитных явлений. Этой цели и служат т. н. уравнения Максвелла. Они содержат в себе не только теорию Максвелла, но и все то, что было известно об электромагнитных явлениях до Максвелла.

В области электрических и магнитных явлений до Максвелла были известны следующие факты: 1) закон сохранения электричества, т. е. тот факт, что электричество не может исчезать и появляться, а может лишь притекать и утекать; математически этот закон может быть сформулирован следующим образом:

$\oint \limits _{\sigma }j_{n}d\sigma =-{\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{v}\rho dv$ .    (1)

Слева стоит выражение силы тока, вытекающего через какую-либо замкнутую поверхность, а справа — изменение количества электричества в объеме $v$, ограниченном этой поверхностью ($j_{n}$ — плотность тока, $\rho$ — плотность зарядов).

2) Теорема Гаусса, выражающая связь между плотностью электрич. зарядов внутри какого-либо объема и потоком вектора электростатич. индукции через поверхность, ограничивающую этот объем:

$\oint \limits _{\sigma }D_{n}d\sigma =4\pi \int \limits _{v}\rho dv$ .    (2)

Заметим, что из теоремы Гаусса для точечных зарядов в однородном диэлектрике сразу может быть получен закон Кулона. Поэтому, считая, что справедливость теоремы Гаусса для электрич. зарядов представляет собой один из известных фактов, мы не должны уже рассматривать закон Кулона как отдельный факт.

3) Отсутствие истоков у вектора магнитной индукции ${\bar {B}}$. Математически это может быть записано так:

$\oint \limits _{\sigma }B_{n}d\sigma =0$ .    (3)

Иначе это можно сформулировать так, что не существует изолированных магнитных полюсов и что магнитные полюсы всегда встречаются парами.

4) Закон электромагнитной индукции, установленный Фарадеем и гласящий, что при изменении потока магнитной индукции, пронизывающего какой-либо замкнутый электрич. контур, в этом контуре возникает электродвижущая сила, пропорциональная скорости изменения потока магнитной индукции. Этот закон математически может быть записан так:

$\oint \limits _{s}E_{n}ds=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{\sigma }B_{n}d\sigma$ .    (4)

Здесь слева стоит выражение электродвижущей силы, возникающей в контуре, а справа поток магнитной индукции через любую поверхность, опирающуюся на этот контур. Поверхность можно брать любую, т. к. на основании уравнения (3) поток вектора ${\bar {B}}$ через замкнутую поверхность всегда равен нолю и, значит, через любые две поверхности, опирающиеся на один и тот же контур, поток индукции будет один и тот же (т. к. две поверхности, опирающиеся на один и тот же контур, образуют замкнутую поверхность).

Как известно, явление индукции протекает одинаково, независимо от того, какими причинами вызвано изменение потока магнитной индукции — изменением ли величины вектора индукции ${\bar {B}}$, движением приборов, создающих магнитное поле, или движением самого контура, в к-ром индуцируется электродвижущая сила. Однако в такой форме, как он записан нами [т. е. в виде уравнения (4)], этот закон применим только к неподвижным контурам, т. е. только к случаям, когда изменяется поток магнитной индукции через неподвижную поверхность (при этом безразлично, почему происходит это изменение, — потому ли, что изменяется сила тока, создающего магнитное поле, или движутся приборы, создающие магнитное поле). К движущимся проводникам наша формулировка не применима потому, что мы представили электродвижущую силу индукции как интеграл напряженности нек-рого добавочного электрич. поля, возникающего во всех точках контура. Между тем это электрич. поле возникает только тогда, когда происходят изменения магнитного поля.

Если же движется незаряженный проводник в неизменном магнитном поле, то, с точки зрения классич. электродинамики, никакие электрич. поля возникать не должны, и уравнение (4) к этому случаю не применимо. Для того чтобы с точки зрения классич. электродинамики объяснить, почему же все-таки и в этом случае наблюдается явление индукции, приходится вводить специальную «Лоренцову силу», к-рую нельзя толковать как результат проявления электрич. поля, ибо эта сила действует только на движущиеся заряды и не действует на неподвижные (между тем признаком существования электрич. поля мы считаем наличие силы, действующей на неподвижный заряд). Таким образом, с точки зрения классич. электродинамики, движение приборов, создающих магнитное поле, относительно проводников и движение проводников относительно приборов, создающих магнитное поле, представляет собой два совершенно различных случая, и уравнение (4), применимое к первому из этих случаев, не применимо ко второму. Эта несимметрия является существенной чертой классич. электродинамики и обусловлена тем, что в классич. электродинамике помимо приборов играет роль среда, в которой разыгрываются электромагнитные явления, — мировой эфир. Поэтому движение магнитов относительно контуров и движение контуров относительно магнитов может приводить к различным картинам, если в одном случае в эфире движутся магниты, а в другом — проводники. Однако попытки обнаружить влияние движения приборов в эфире привели к принципиальным противоречиям, устранить к-рые классич. электродинамика оказалась не в состоянии. Только в теории относительности отпали эти противоречия и вместе с тем исчезла несимметрия, отмеченная нами выше. Оставаясь же на точке зрения классич. электродинамики, мы должны помнить, что уравнение (4) применимо только для неподвижных проводников (неподвижных в смысле Ньютоновой механики, т. е. по отношению к системе координат, связанной с «неподвижными» звездами).

5) Последний из существующих фактов, который был известен до Максвелла, — это связь между напряженностью магнитного поля, создаваемого электрич. током, и силой тока. Математически эта связь может быть выражена след, образом:

$\oint \limits _{s}H_{s}ds={\frac {4\pi }{c}}\int \limits _{\sigma }j_{n}d\sigma$ .    (5)

В этом выражении содержится как частный случай закон Био и Савара. Поэтому, приводя уравнение (5) как одно из основных соотношений, мы уже не должны отдельно упоминать закон Био и Савара. Здесь слева стоит т. н. циркуляция вектора ${\bar {H}}$ по контуру и справа — поток вектора ${\bar {j}}$, т. е. сила тока, протекающего через поверхность $\sigma$, опирающуюся на контур. Никаких указаний о том, какую именно из бесчисленного множества поверхностей, опирающихся на контур, следует выбрать, в уравнении (5) не содержится. Но эти указания и не нужны, пока мы имеем дело с замкнутыми токами, ибо в этом случае стоящий справа интеграл должен быть равен нолю для любой замкнутой поверхности (т. к. токи замкнутые), а, значит, он должен быть одинаков для любых двух поверхностей, опирающихся на один и тот же контур. Поэтому, пока мы имеем дело с замкнутыми токами, интеграл в правой части можно брать по любой поверхности, опирающейся на контур, и уравнение (5) дает однозначный способ определения магнитного поля.

Однако, если бы мы встретились с незамкнутыми токами, то уравнение (5) оказалось бы непригодным для определения напряженности магнитного поля. Это обстоятельство, повидимому, и заставило Максвелла обратить внимание на весь этот пункт учения об электрических и магнитных явлениях. Из того, что уравнение (5) позволяет правильно определить напряженность поля в случае замкнутых токов и не позволяет этого сделать в случае незамкнутых, можно сделать одно из двух заключений. Либо в этом недостаток уравнения, и оно должно быть как-то усовершенствовано, либо в этом повинна самая постановка вопроса, т. е. незамкнутых токов не существует в природе. Максвелл стоял на второй точке зрения. Исходя из этой точки зрения, нужно считать, что в тех случаях, когда мы обнаруживаем незамкнутые токи проводимости, они всегда оказываются замкнутыми токами другого типа — т. н. токами смещения. Там, где кончаются проводники, токи не прекращаются, а продолжаются дальше в виде токов смещения. При этом силу тока смещения следует определить таким образом, чтобы было соблюдено условие замкнутости токов, т. е. чтобы всегда для любой замкнутой поверхности было справедливо соотношение:

$\oint \limits _{\sigma }(j_{n}+j_{\text{см}})d\sigma =0$ .    (6)

где $j_{n}$ — плотность тока проводимости, a $j_{\text{см}}$ — плотность тока смещения. Из выражений (1) и (2), дифференцируя второе по $t$, легко получить соотношение:

${\frac {1}{4\pi }}\oint \limits _{\sigma }{\frac {\partial {\bar {D}}}{\partial t}}d\sigma =-\oint \limits _{\sigma }j_{n}d\sigma$ .    (7)

Далее, подставляя это соотношение в выражение (6), получим:

$\oint \limits _{\sigma }\left({\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\bar {D}}}{\partial t}}-j_{\text{см}}\right)d\sigma =0$ .    (8)

Очевидно, что это соотношение будет справедливо для любой замкнутой поверхности, еслимы плотность тока смещения в данной точке будем полагать равной:

$j_{\text{см}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\bar {D}}}{\partial t}}$ .    (9)

где ${\bar {D}}$ — вектор электростатич. индукции в данной точке. Далее Максвелл предположил, что токи смещения так же возбуждают магнитное поле, как и токи проводимости. В таком случае при вычислении напряженности магнитного поля мы должны принимать во внимание уже как плотность токов проводимости, так и плотность токов смещения, т. е. вместо уравнения (5) мы должны будем писать:

$\oint \limits H_{s}ds=\int \limits _{\sigma }\left({\frac {4\pi }{c}}j_{n}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\bar {D}}}{\partial t}}\right)d\sigma$ .    (10)

К этому же уравнению приведет нас и второй путь, т. е. если мы предположим, что уравнение (5) нужно дополнить так, чтобы оно было справедливо и для незамкнутых токов. Таким образом, гипотеза Максвелла состоит в том, что магнитное поле возбуждается не только токами проводимости, но и изменениями вектора электростатич. индукции. Эта гипотеза очень существенно расширила представления о связи между электрическими и магнитными явлениями. Фарадей обнаружил, что всякие изменения магнитного поля возбуждают поле электрическое. Максвелл указал, что всякие изменения электрич. поля должны в свою очередь возбуждать поле магнитное.

Физическое содержание гипотезы Максвелла может быть истолковано двояко в зависимости от того, вводим ли мы представление о токах смещения или нет. Содержание гипотезы, как сказано, состоит в том, что изменения вектора электростатич. индукции возбуждают магнитное поле. Назвать или не назвать эти изменения вектора электростатич. индукции током — это зависит от того, что считать отличительным признаком тока: наличие движения электрич. зарядов или способность возбуждать магнитное поле. Остановившись на втором признаке, мы должны назвать изменения вектора электростатич. индукции током. Если же, как это большей частью принято, называть током только движения электрич. зарядов, то только часть от ${\frac {\partial {\bar {D}}}{\partial t}}$ можно назвать током и притом только в случае поля в диэлектрике. Действительно, при наличии диэлектрика ${\bar {D}}={\bar {E}}+4\pi {\bar {P}}$, где ${\bar {E}}$ — напряженность электрич. поля в диэлектрике, а ${\bar {P}}$ — поляризация диэлектрика. Следовательно,

${\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\bar {D}}}{\partial t}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\bar {E}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\bar {P}}}{\partial t}}$Ограничимся_для простоты случаем однородной поляризации. Тогда ${\bar {P}}$ равно плотности поляризационных зарядов на поверхности диэлектрика. Следовательно, ${\frac {\partial {\bar {P}}}{\partial t}}$ равно изменению плотности поляризационных зарядов, т. е. количеству электричества, протекающему за единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к направлению поляризации, вследствие смещения связанных зарядов диэлектрика. Эту величину уместно назвать током и в том случае, когда мы представление о токе связываем с движением зарядов. Таким образом, величина ${\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\bar {D}}}{\partial t}}$, к-рую Максвелл назвал плотностью тока смещения, с этой точки зрения, состоит из двух совершенно разнородных величин: во-первых, из «истинного» тока, образуемого движением поляризационных ${\frac {\partial {\bar {P}}}{\partial t}}$ зарядов, и, во-вторых, из величины ${\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial {\bar {E}}}{\partial t}}$, к-рая вообще не представляет собой тока, так как не связана с движением каких-либо зарядов, но эквивалентна току в смысле возбуждения магнитного поля. В случае отсутствия диэлектриков весь ток смещения состоит только из этой второй части и, с этой точки зрения, вообще не является током.

С точки же зрения Максвелла, величину ${\frac {\partial {\bar {D}}}{\partial t}}$ в отсутствии диэлектрика естественно было назвать током смещения, ибо и в отсутствии диэлектрика возникают токи смешения в эфире, а эфир для Максвелла ничем не отличается от всякого другого диэлектрика.

Гипотеза Максвелла представляет собой важнейший этап в развитии представлений о связи между электрическими и магнитными явлениями в рамках классической электродинамики. Далее Максвелл предположил, что законы, выраженные в уравнениях (2), (3), (4) и (10), остаются справедливыми и в дифференциальной форме; следовательно, при переходе достаточно заменить входящие в уравнения интегралы соответствующими выражениями для элементарных объемов, поверхностей и т. д. Это предположение представляет собой, строго говоря, также гипотезу, так как уравнения (4) и (5) были установлены и экспериментально подтверждены лишь для конечных контуров и поверхностей. Но, после того как предположение это было сделано, самый переход к бесконечно-малым объемам, поверхностям и т. д. свелся к чисто математическому преобразованию. В результате этих преобразований, которые особенно удобно произвести, пользуясь методами векторного анализа, уравнения (2), (3), (10) и (4) можно привести соответственно к такому виду:

$div{\bar {D}}=4\pi \rho$ .	(I)
$div{\bar {B}}=0$ .	(II)
$rot{\bar {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\bar {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\bar {D}}}{\partial t}}$ .	(III)
$rot{\bar {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\bar {B}}}{\partial t}}$ .	(IV)

$div$ и $rot$ представляют собой, как известно, определенные комбинации из производных от компонент соответствующих векторов по координатам, и уравнения (III) и (IV) устанавливают связь между изменениями векторов во времени в данной точке и изменениями их в пространстве. То состояние, к-рое наступает в данной точке в следующий момент времени, вполне определяется тем состоянием, в к-ром все окружающие точки находятся в данный момент времени. Таким образом, уравнения (III) и (IV) вполне соответствуют концепции близкодействия, введенной Фарадеем. Дополнив уравнения (I) ... (IV) граничными условиями, можно найти распределение зарядов, токов и электрических и магнитных полей в любой момент времени, если известно их распределение в какой-то определенный (начальный) момент времени. Конечно, при этом необходимо знать свойства тех проводников, диэлектриков и магнетиков, в к-рых происходят исследуемые процессы. В простейшем случае, когда отсутствуют ферромагнетики, сегнето-электрики и неомические проводники, для этого достаточно знать величины магнитной проницаемости $\mu$, диэлектрич. постоянной $\epsilon$ и проводимости $\sigma$ в каждой точке пространства, т. е. знать $\mu$, $\epsilon$ и $\sigma$ как функции координат.

Наиболее убедительным экспериментальным подтверждением теории Максвелла нужно считать опыты Гертца (см. Электрические колебания). Одно из важных следствий, вытекающих из уравнений Максвелла, состоит в том, что переменные электромагнитные поля должны распространяться в пространстве с некоторой конечной скоростью, которая заранее может быть рассчитана. Как известно, эта скорость оказалась равна скорости света. Это совпадение сыграло очень важную роль в развитии теории Максвелла и, в частности, в развитии электромагнитной теории света (подробнее см. ст. Электромагнитная теория света, в ней дан вывод волнового уравнения из уравнений Максвелла). Гертц создал такие переменные электромагнитные поля (электромагнитные волны) и измерил скорость их распространения. Получилось прекрасное совпадение с величиной скорости, предсказанной теорией Максвелла. В этом смысле теория Максвелла представляет собой один из блестящих примеров теоретич. предвидения. Только в 1888, через 15 лет после выхода знаменитой книги Максвелла «Treatise on electricity and magnetism», в к-рой была изложена в законченном виде его теория, Гертцу удалось экспериментально получить электромагнитные волны, существование к-рых предсказал Максвелл и свойство к-рых он с исключительной точностью описал.

Напомним в заключение, что уравнения, из к-рых исходил Максвелл, применимы только к неподвижным контурам, к неподвижным (относительно звезд) приборам. Поэтому и уравнения Максвелла применимы только к случаю неподвижных тел, в которых протекают электромагнитные процессы, т. е. теория Максвелла представляет собой электродинамику покоящихся сред. Переход к движущимся средам составляет новую задачу, с к-рой классич. электродинамика оказалась не в состоянии справиться. Этот вопрос удалось решить лишь в теории относительности.

Лит.: Эйхенвальд А. А., Теоретическая физика, ч. 6, М. — Л., 1931; Лорентц Г. А., Теория электромагнитного поля, пер. с нем., M. — Л., 1933; Планк M., Введение в теоретическую физику, пер. с нем., ч. 3, 2 изд., М. — Л., 1933; Абрагам-Беккер, Теория электричества, пер. с нем., Л. — М., 1936; Cohn Е., Das elektromagnetische Feld (Vorlesungen über die Maxwellsche Theorie), Lpz., 1900 (2 Aufl., 1927); Xвольсон О. Д., Курс физики, т. IV и т. V, Берлин, 1923; Clerk-Maxwell J., Treatise on electricity and magnetism, v. I — II, 3 ed., Oxford, 1892.