БСЭ1/Линейный функционал

Линейный функционал
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Лилль — Маммалогия. Источник: т. XXXVII (1938): Лилль — Маммалогия, стлб. 36—37 ( РГБ )

ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ, обобщение понятия линейной формы (см.), приобретающее постепенно все большее значение в математике и математич. физике.

Линейные однородные формы

$F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}$

‎могут быть охарактеризованы как функции аргументов $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ след. свойствами: 1) для любых $x'_{1},x'_{2},...,x'_{n},x''_{1},x''_{2},...,x''_{n}$ справедливо равенство

$F(x'_{1},x'_{2},...,x'_{n})+F(x''_{1},x''_{2},...,x''_{n})=$ $=F(x'_{1}+x''_{1},x'_{2}+x''_{2},...,x'_{n}+x''_{n})$;

‎2) для любых $\lambda ,x_{1},x_{2},...,x_{n}$ имеет место равенство

$\lambda F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=F(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$.

‎Функционалом вообще (см. Функциональный анализ) называется число $F\left\{f(x)\right\}$, зависящее от выбора функции $f(x)$. Функционал $F\left\{f(x)\right\}$ называется линейным, если выполнены условия, аналогичные условиям, определяющим линейные формы: 1) для любых двух функций $f(x)$ и $g(x)$:

$F\left\{f(x)\right\}+F\left\{g(x)\right\}=F\left\{f(x)+g(x)\right\}$;

‎2) для любой функции $f(x)$ и числа $\lambda$:

$\lambda F\left\{f(x)\right\}=F\left\{\lambda f(x)\right\},$

‎и, кроме того, справедливо условие непрерывности. При этом обычно функционал $F\left\{f(x)\right\}$ предполагается определенным лишь для нек-рого класса функций $f(x)$, напр., для всех функций $f(x)$, непрерывных на сегменте $a\leqslant x\leqslant b$. В зависимости от выбора класса функций $f(x)$ по-разному формулируют и условие непрерывности. Если, напр., выбран класс всех непрерывных на $a\leqslant x\leqslant b$ функций $f(x)$, то условие непрерывности заключается в существовании для данного функционала $F\left\{f(x)\right\}$ константы $M$, для к-рой при любой непрерывной функции $f(x)$ будет

$|F\left\{f(x)\right\}|\leqslant Mmax|f(x)|.$

‎Простейшим примером Л. ф. является интеграл

$F\left\{f(x)\right\}=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx.$

В очень многих задачах можно из общих соображений установить, что то или иное неизвестное число является Л. ф. Например, температура тела в какой-либо его внутренней точке является Л. ф. от распределения температур на его поверхности. Вообще к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений (см.) с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении для функционалов. Об этой задаче см. Функциональный анализ.

Лит.: Статьи по функциональному анализу в сб. «Успехи математических наук», вып. 1, М. — Л., 1936. См. также литературу при статье Функциональный анализ.