БСЭ1/Ковариантность и контравариантность

Ковариантность и контравариантность
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Классы — Конкуренция. Источник: т. XXXIII (1938): Классы — Конкуренция, стлб. 206—207 ( РГБ )

КОВАРИАНТНОСТЬ И КОНТРАВАРИАНТНОСТЬ, понятия, играющие важную роль в алгебре однородных линейных преобразований, теории алгебраических форм, векторном и тензорном исчислении. Пусть система из $n$ переменных $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ подвергается линейным однородным преобразованиям

$x'_{k}=\sum _{i}a_{ik}x_{i},k=1,2,\dots ,n.$

(1)

‎Пусть далее другая система переменных $y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}$ связана с системой переменных $x_{i}$ так, что, когда переменные $x_{i}$ преобразуются в переменные $x'_{k}$, переменные $y_{i}$ по определенному закону преобразуются в переменные $y'_{i}$. Если переход от $y_{i}$ к $y'_{k}$ совершается по формулам

$y'_{k}=\sum _{i}a_{ik}y_{i},k=1,2,\dots ,n,$

(2)

то система переменных $y_{i}$ ковариантна (одинаково преобразующаяся) или когредиентна с системой $x_{i},$ если же преобразование системы переменных $y_{i}$ происходит по формулам

$y_{i}=\sum _{k}a_{ik}y'_{i},k=1,2,\dots ,n,$

(3)

то система переменных $y_{i}$ контравариантна (противоположно преобразующаяся) или контраградиентна с системой $x_{i}$.

Иначе говоря, если оба линейных преобразования $x\rightarrow x'$ и $y\rightarrow y'$ характеризуются одной и той же матрицей $A$, то системы $x_{1},x_{2},\dots x_{n}$ и $y_{1},y_{2},\dots y_{n}$ называются ковариантными; если же матрица линейного преобразования $y'\rightarrow y$ получается из матрицы $x\rightarrow x'$ путем замены горизонталей вертикалями, то системы $x_{1},x_{2},\dots x_{n}$ и $y_{1},y_{2},\dots y_{n}$ называются контравариантными. Пример: всякий раз, как на плоскости выбраны два независимых вектора $\mathrm {e} _{1},\mathrm {e} _{2}$, то какой-нибудь вектор $a$ той же плоскости может быть двояко определен парой чисел: 1) «координатами 1-го рода» — скалярными произведениями $a\mathrm {e} _{1}=X_{1},a\mathrm {e} _{2}=X_{2}$; 2) «координатами 2-го рода» — коэффициентами $U_{1},U_{2}$ в разложении $a=U_{1}\mathrm {e} _{1}+U_{2}\mathrm {e} _{2}$. Если заменим векторы $\mathrm {e} _{1},\mathrm {e} _{2}$ новыми $\mathrm {e} '_{1},\mathrm {e} '_{2}$, то вектор а получит новые координаты как 1-го, так и 2-го рода; при этом оказывается, что координаты $X_{1},X_{2}$ преобразуются ковариантно векторам $\mathrm {e} _{1},\mathrm {e} _{2}$, а координаты $U_{1},U_{2}$ — контравариантно. К. и к. играют важную роль при построении инвариантов (см.). Например, скалярное произведение двух векторов может быть выражено через координаты сомножителей в косоугольной системе координат столь же просто, как и в Декартовой прямоугольной, если для одного из  векторов взять координаты первого рода, а для другого — второго рода.

Более общим образом система $n^{m}$ переменных ${y_{{i_{1}}{i_{2}}\dots {i_{m}}}}^{(i_{j}=1,2,\dots ,n)}$ называется ковариантной с системой $x_{i}$, преобразующейся по формулам (1), если она преобразуется по формулам

$y'_{{k_{1}}{k_{2}}\dots {k_{m}}}=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}a_{{i_{1}}{k_{1}}}a_{{i_{2}}{k_{2}}}\dots a_{{i_{m}}{k_{m}}}y_{{i_{1}}{i_{2}}\dots {i_{m}},}$

и контравариантной с системой $x_{i}$ — в случае соотношений

$y_{{i_{1}}{i_{2}}\dots {i_{m}}}=\sum _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}a_{{i_{1}}{k_{1}}}a_{{i_{2}}{k_{2}}}\dots a_{{i_{m}}{k_{m}}}y'_{{i_{1}}{i_{2}}\dots {i_{m}}.}$

‎Например, коэффициенты $A_{{i_{1}}{i_{2}}\dots {i_{m}}}$ формы m-й степени $F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}A_{{i_{1}}{i_{2}}\dots {i_{m}}}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\dots x_{i_{m}}$ преобразуются контравариантно по отношению к самим переменным $x_{i}$. В современном тензорном исчислении (см.) принято различать ковариантные и контравариантные системы, пользуясь в одном случае нижними индексами, в другом — верхними (напр., $y_{ik}$ и $x^{ik}$).

Лит.: Широков П. А., Тензорное исчисление, ч. 1, Л. — М., 1934; Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 5 изд., М. — Л., 1937.