БСЭ1/Ковариантность и контравариантность

[115]КОВАРИАНТНОСТЬ И КОНТРАВАРИАНТНОСТЬ, понятия, играющие важную роль в алгебре однородных линейных преобразований, теории алгебраических форм, векторном и тензорном исчислении. Пусть система из переменных подвергается линейным однородным преобразованиям

(1)

Пусть далее другая система переменных связана с системой переменных так, что, когда переменные преобразуются в переменные , переменные по определенному закону преобразуются в переменные . Если переход от к  совершается по формулам

(2)

то система переменных ковариантна (одинаково преобразующаяся) или когредиентна с системой если же преобразование системы переменных происходит по формулам

(3)
то система переменных контравариантна (противоположно преобразующаяся) или контраградиентна с системой .

Иначе говоря, если оба линейных преобразования и  характеризуются одной и той же матрицей , то системы и называются ковариантными; если же матрица линейного преобразования  получается из матрицы путем замены горизонталей вертикалями, то системы и называются контравариантными. Пример: всякий раз, как на плоскости выбраны два независимых вектора , то какой-нибудь вектор  той же плоскости может быть двояко определен парой чисел: 1) «координатами 1-го рода» — скалярными произведениями ; 2) «координатами 2-го рода» — коэффициентами в разложении . Если заменим векторы новыми , то вектор а получит новые координаты как 1-го, так и 2-го рода; при этом оказывается, что координаты преобразуются ковариантно векторам , а координаты  — контравариантно. К. и к. играют важную роль при построении инвариантов (см.). Например, скалярное произведение двух векторов может быть выражено через координаты сомножителей в косоугольной системе координат столь же просто, как и в Декартовой прямоугольной, если для одного из  [116]векторов взять координаты первого рода, а для другого — второго рода.

Более общим образом система переменных называется ковариантной с системой , преобразующейся по формулам (1), если она преобразуется по формулам

и контравариантной с системой  — в случае соотношений

Например, коэффициенты формы m-й степени преобразуются контравариантно по отношению к самим переменным . В современном тензорном исчислении (см.) принято различать ковариантные и контравариантные системы, пользуясь в одном случае нижними индексами, в другом — верхними (напр., и ).

Лит.: Широков П. А., Тензорное исчисление, ч. 1, Л. — М., 1934; Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 5 изд., М. — Л., 1937.