БСЭ1/Интегралы уравнений движения

ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (механ.). И. у. д. обычно называют такие соотношения между мгновенными значениями величин, определяющих состояние движения, к-рые остаются неизменными во время движения (для механических систем величинами, определяющими состояние движения, являются координаты положения и составляющие скорости). В аналитической механике различают первые И. у. д., дающие соотношение между скоростями, координатами и временем, от вторых И. у. д., выражающих связь координат системы со временем. И. у. д. получаются в результате интегрирования системы дифференциальных уравнений движения.

Например, для научения движения одной материальной точки (центра масс) при задании действующих сил и массы необходимо решать следующую систему ур-ий:

 

 

 

(1)

где — составляющие равнодействующей сил по осям координат — могут зависеть от времени , координат и составляющих скорости . Если удастся систему (1) представить в виде

 

 

 

(2)

то выражения , содержащие время, координаты, составляющие скорости и три произвольных постоянных интеграции

 

 

 

(3)

называются первыми И. у. д. В свою очередь, если система ур-ий (3) может быть заменена ей эквивалентной системой

 

 

 

(4)

то тогда выражения, содержащие время, координаты и шесть произвольных постоянных

 

 

 

(5)

называются вторыми И. у. д. Разрешая соотношения (5) относительно получим самые общие выражения для искомых функций, содержащие шесть произвольных постоянных

Для системы, обладающей N степенями свободы (см.), число произвольных постоянных в первых И. у. д. равно , а по вторых И. у. д. — . Произвольные постоянные интеграции, обыкновенно, определяются из начальных условий, т. е. для какого-либо момента времени должны быть заданы координаты и составляющие скорости. К важнейшим первым И. у. д. относятся интегралы количества движения, интегралы момента количества движения или интегралы площадей и интеграл живых сил или — более обще — интеграл энергии.

Одним из наиболее важных И. у. д. классической механики является интеграл энергии, гласящий, что механическая энергия изолированной системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, есть величина постоянная. В зависимости от того, допускает или не допускает система интеграл энергии, ее называют консервативной (см. Консервативное силовое поле, Механика) или неконсервативной. Ни одна макроскопическая система не является строго консервативной; работа всех машин и приборов сопровождается трением, в силу чего часть механической энергии пере-ходит в теплоту и консервативность нарушается. Далее часть энергии может перейти в другие, не рассматриваемые задачей виды энергии. Наконец, ни одна система в мире не является строго изолированной; поэтому для получения ответа на тот или иной вопрос нам приходится идеализировать рассматриваемые системы, считая их консервативными, — это возможно всегда, когда за интересующее нас время движение системы мало затухает в силу трения. Для изолированной механической системы, т. е. системы, на к-рую не действуют внешние силы (и в к-рой внутренние силы удовлетворяют закону равенства действия противодействию), кроме интеграла энергии, известны еще шесть фундаментальных интегралов; три интеграла сохранения количества движения (или скорости) центра тяжести и три интеграла площадей, выражающие постоянство трех составляющих вектора момента количества движения. Математическая формулировка указанных И. у. д. следующая: 1. Интеграл энергии:

здесь обозначает массу i-й материальной точки, входящей в систему; — составляющие ее скорости но осям , , ; — потенциальная энергия системы.

2. Интегралы сохранения движения центра тяжести:

3. Интегралы сохранения момента количества движения:

Здесь — координаты i-й материальной точки.

Для одной материальной точки, движущейся в поле центральной силы (т. е. силы, направленной к одному центру), момент количества движения также сохраняется. — Интеграл момента количества движения называют также и интегралом площадей. При его сохранении траекторией точки будет плоская кривая, и радиус-вектор движущейся точки будет описывать площадь, пропорциональную времени. В полярных координатах интеграл площадей (для одной точки) представляется в форме ( — радиус-вектор, — угловая скорость). Интеграл площадей имеет существенное значение в теории движения планет.

Знание И. у. д. облегчает задачу исследования движения; так, если состояние системы определяется величинами и известно интегралов, то нам достаточно определить только () неизвестных, остальные неизвестные можно определить из интегралов. И. у. д. могут, конечно, иметь место не только для чисто механических систем.

Лит.: Уиттекер Е. Т., Аналитическая динамика, пер. с англ. И. Г. Малкина, М. — Л., 1937.