БСЭ1/Интегралы уравнений движения

Интегралы уравнений движения
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Империалистическая война — Интерполяция. Источник: т. XXVIII (1937): Империалистическая война — Интерполяция, стлб. 582—584 ( РГБ )

ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (механ.). И. у. д. обычно называют такие соотношения между мгновенными значениями величин, определяющих состояние движения, к-рые остаются неизменными во время движения (для механических систем величинами, определяющими состояние движения, являются координаты положения и составляющие скорости). В аналитической механике различают первые И. у. д., дающие соотношение между скоростями, координатами и временем, от вторых И. у. д., выражающих связь координат системы со временем. И. у. д. получаются в результате интегрирования системы дифференциальных уравнений движения.

Например, для научения движения одной материальной точки (центра масс) при задании действующих сил и массы необходимо решать следующую систему ур-ий:

$m!{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}=X_{i},(i=1,2,3),$

(1)

где $X_{i}$ — составляющие равнодействующей сил по осям координат — могут зависеть от времени $t$, координат $x_{i}$ и составляющих скорости ${\frac {dx_{i}}{dt}}$. Если удастся систему (1) представить в виде

${\frac {d}{dt}}\varphi _{i}{\Bigl (}t,x_{k},{\frac {dx_{k}}{dt}}{\Bigr )}=0,(i,k=1,2,3),$

(2)

то выражения $\varphi _{i}$, содержащие время, координаты, составляющие скорости и три произвольных постоянных интеграции

$\varphi _{i}{\Bigl (}t,x_{1},x_{2},x_{3},{\frac {dx_{1}}{dt}},{\frac {dx_{2}}{dt}},{\frac {dx_{3}}{dt}},{\Bigr )}=C_{i},$

(3)

называются первыми И. у. д. В свою очередь, если система ур-ий (3) может быть заменена ей эквивалентной системой

${\frac {d}{dt}}\psi _{i}(t,x_{k},C_{k})=0,(k=1,2,3;i=4,5,6),$

(4)

то тогда выражения, содержащие время, координаты и шесть произвольных постоянных

$\psi _{i}(t,x_{k},C_{k})=C_{i},$

(5)

называются вторыми И. у. д. Разрешая соотношения (5) относительно $x_{k}$ получим самые общие выражения для искомых функций, содержащие шесть произвольных постоянных

$x_{i}=F_{i}(t,C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5},C_{6}),(i=1,2,3)$

Для системы, обладающей N степенями свободы (см.), число произвольных постоянных в первых И. у. д. равно $N$, а по вторых И. у. д. — $2N$. Произвольные постоянные интеграции, обыкновенно, определяются из начальных условий, т. е. для какого-либо момента времени $t=t_{0}$ должны быть заданы координаты и составляющие скорости. К важнейшим первым И. у. д. относятся интегралы количества движения, интегралы момента количества движения или интегралы площадей и интеграл живых сил или — более обще — интеграл энергии.

Одним из наиболее важных И. у. д. классической механики является интеграл энергии, гласящий, что механическая энергия изолированной системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, есть величина постоянная. В зависимости от того, допускает или не допускает система интеграл энергии, ее называют консервативной (см. Консервативное силовое поле, Механика) или неконсервативной. Ни одна макроскопическая система не является строго консервативной; работа всех машин и приборов сопровождается трением, в силу чего часть механической энергии пере-ходит в теплоту и консервативность нарушается. Далее часть энергии может перейти в другие, не рассматриваемые задачей виды энергии. Наконец, ни одна система в мире не является строго изолированной; поэтому для получения ответа на тот или иной вопрос нам приходится идеализировать рассматриваемые системы, считая их консервативными, — это возможно всегда, когда за интересующее нас время движение системы мало затухает в силу трения. Для изолированной механической системы, т. е. системы, на к-рую не действуют внешние силы (и в к-рой внутренние силы удовлетворяют закону равенства действия противодействию), кроме интеграла энергии, известны еще шесть фундаментальных интегралов; три интеграла сохранения количества движения (или скорости) центра тяжести и три интеграла площадей, выражающие постоянство трех составляющих вектора момента количества движения. Математическая формулировка указанных И. у. д. следующая: 1. Интеграл энергии:

$\sum {\frac {m_{i}(\upsilon _{xi}^{2}+\upsilon _{yi}^{2}+\upsilon _{zi}^{2})}{2}}+V=\operatorname {Const} ;$

здесь $m_{i}$ обозначает массу i-й материальной точки, входящей в систему; $\upsilon _{xi},\upsilon _{yi},\upsilon _{zi}$ — составляющие ее скорости но осям $x$, $y$, $z$; $V$ — потенциальная энергия системы.

2. Интегралы сохранения движения центра тяжести:

$\sum m_{i},\upsilon _{xi}=\operatorname {Const} ,$ $\sum m_{i},\upsilon _{yi}=\operatorname {Const} ,$ $\sum m_{i},\upsilon _{zi}=\operatorname {Const} .$

3. Интегралы сохранения момента количества движения:

$\sum m_{i}(\upsilon _{ix}y-\upsilon _{iy}x_{i})=\operatorname {Const} ,$ $\sum m_{i}(\upsilon _{iy}z-\upsilon _{ix}y_{i})=\operatorname {Const} ,$ $\sum m_{i}(\upsilon _{iz}x-\upsilon _{ix}z_{i})=\operatorname {Const} .$

Здесь $x_{i},y_{i},z_{i}$ — координаты i-й материальной точки.

Для одной материальной точки, движущейся в поле центральной силы (т. е. силы, направленной к одному центру), момент количества движения также сохраняется. — Интеграл момента количества движения называют также и интегралом площадей. При его сохранении траекторией точки будет плоская кривая, и радиус-вектор движущейся точки будет описывать площадь, пропорциональную времени. В полярных координатах интеграл площадей (для одной точки) представляется в форме $r^{2}{\frac {d\varphi }{dt}}$ ($r$ — радиус-вектор, ${\frac {d\varphi }{dt}}$ — угловая скорость). Интеграл площадей имеет существенное значение в теории движения планет.

Знание И. у. д. облегчает задачу исследования движения; так, если состояние системы определяется $n$ величинами и известно $m$ интегралов, то нам достаточно определить только ($n-m$) неизвестных, остальные неизвестные можно определить из интегралов. И. у. д. могут, конечно, иметь место не только для чисто механических систем.

Лит.: Уиттекер Е. Т., Аналитическая динамика, пер. с англ. И. Г. Малкина, М. — Л., 1937.