Энциклопедия элементарной математики. Том 1 (Вебер,Каган)/Книга 1/Глава 2/§ 7

Энциклопедия элементарной математики. Том I. Элементарная алгебра и анализ. — Книга I. Основания арифметики. Глава II. Натуральные числа. § 7. Сложение.
автор Генрих Вебер (1842—1913), пер. Вениамин Каган (1869—1953)

Оригинал: нем. Lehrbuch der Algebra. — См. Оглавление. Перевод опубл.: 1906. Источник: Индекс в Викитеке

ГЛАВА II Арифметические действия

---

§ 7. Сложение.

Мы воспользуемся совершенной индукцией для доказательства следующего предложения.

1. Если мы соединим два конечных комплекса $A$ и $B$ в один комплекс, то получим конечный комплекс.

При доказательстве мы можем ограничиться предположением, что комплексы $A$ и $B$ не имеют общих элементов. В самом деле, если все элементы комплекса $B$ принадлежат также комплексу $A$, то, комплекс $A+B=A$, а потому представляет собой, согласно условию, конечный комплекс. Если же $D$ есть пересечение комплексов $A$ и $B$ то $B-D$ есть часть комплекса $B$, не имеющая общих элементов с комплексом $A$; вместе с тем (§ 2, 5)

$A+B=A+(B-D)$.

Таким образом мы можем с самого начала принять, что комплексы $A$ и $B$ не имеют общих элементов. Если теперь комплекс $B$ содержит только один элемент $\beta$, то доказываемая теорема справедлива, потому что комплекс $A+B$, согласно предложению § 3, 3, представляет собой конечный комплекс. Теперь примем, что $b$ есть число элементов комплекса $B$ и что наше предложение для комплексов $A$ и $B$ уже доказано, так что $A+B$ представляют собой конечный комплекс. Если теперь $\beta '$ представляет собой новый элемент, не содержащийся ни в $A$ ни в $B$, то $B+\beta '$ также есть конечный комплекс, число элементов которого есть $b+1$. Поэтому комплекс

$(A+B)+\beta '=A+(B+\beta ')$,

в силу того же § 3, 3, конечен. Все условия, необходимые для применения совершенной индукции, таким образом налицо, и, следовательно, наша теорема доказана.

2. Итак, если $A$ и $B$ суть конечные комплексы, не имеющие общих элементов, а $a$ и $b$ суть их числа, то комплексу $A+B$ также отвечает определённое число, которое мы будем обозначать символом $a+b$ и называть суммою чисел $a$ и $b$. Это число $a+b$ не меняется, если мы заменим комплексы $A$ и $B$ другими комплексами $A'$ и $B'$ той же мощности. В самом деле, каждое однозначное соответствие, связывающее комплекс $A$ с комплексом $A'$ и комплекс $B$ с $B'$, устанавливает также однозначное соответствие между комплексами $A+B$ и $A'+B'$. Следовательно, чтобы определить число $a+b$, мы можем воспользоваться любыми представителями чисел $a$ и $b$, напр. пальцами руки, монетами; вообще другого пути для этой цели не существует. С раннего детства мы запечатлеваем в своей памяти результаты образования суммы для небольших чисел и во всякий момент можем ими воспользоваться при надобности. Наша индийская система счисления имеет то преимущество, что нам достаточно знать результаты для немногих случаев, когда $a$ и $b$ взяты из ряда чисел $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.

Образование суммы называют также сложением или складыванием. Относительно сложения, на основании предыдущего, легко вывести следующие основные предложения.

3. В § 2, 5 мы видели, что

$A+B=B+A$

$(A+B)+C=A+(B+C)$

каковы бы ни были комплексы $A$, $B$ и $C$. Если мы применим это соотношение к тому случаю, когда $A$, $B$ и $C$ представляют собой конечные комплексы, не имеющие общих элементов, и обозначим через $a$, $b$ и $c$ соответствующие им числа, то мы отсюда получим:

$a+b=b+a$,

(1)

(2)

Естественно, что числа $a$, $b$ и $c$ не должны быть необходимо различны. Первое из этих соотношений выражает, что сумма не зависит от порядка сложения и называется переместительным или коммутативным законом. Второе соотношение выражает, что для сложения трёх чисел можно сначала составить сумму любых двух из них и к последней прибавить третье число. Это может быть выполнено тремя способами, которые все дают один и тот же результат. Это соотношение известно под названием сочетательного или ассоциативного закона.

Эти законы допускают ещё значительное обобщение. Если $A$, $B$, $C$ ... $N$ суть произвольные комплексы в конечном числе, то существует определённый комплекс $S$, который содержит все элементы этих комплексов и никаких других. Этот комплекс можно обозначить символом

$S=A+B+C+...+N$.

При помощи совершенной индукции, на основании предложения 1, нетрудно вывести, что $S$ есть конечный комплекс, если конечны комплексы $A$, $B$, $C$ ... $N$ ^[1]. Если комплексы $A$, $B$, $C$ ... $N$ не имеют попарно никаких общих элементов, то число комплекса $S$ называется суммой чисел комплексов $A$, $B$, $C$ ... $N$; если обозначим последние числа через $a$, $b$, $c$ ... $n$, а число комплекса $S$ через $s$, то мы будем писать

$s=a+b+c+...+n$;

числа $a$, $b$, $c$ ... $n$ мы будем называть слагаемыми, образующими сумму $s$.

Число $s$ определяется посредством отсчёта элементов в комплексе $S$. При вычислении поступают обыкновенно короче: пишут слагаемые в произвольной последовательности и затем, начиная сверху или снизу, прибавляют каждое следующее число к полученной уже сумме. Что результат этого вычисления не зависит от порядка слагаемых, следует из того, что число не зависит от порядка, в каком мы считаем элементы представляющего его комплекса (§ 6).

Если слагаемые написаны в десятичной системе, то сначала складывают единицы, затем десятки, потом сотни и т. д.; если при сложении единиц какого-либо разряда образуются единицы высшего разряда, то их нужно прибавлять к единицам соответствующего разряда. Этому обучаются уже дети.

4. Сложение содержит, как частный случай, правило, посредством которого мы в § 3 определили по числу $m$ непосредственно следующее число $m+1$. Точно также из данных в § 3 определений терминов «больше» и «меньше» следует, что сумма нескольких чисел из ряда $a$, $b$, $c$ ... $n$ меньше, нежели сумма всех их, — что сумма увеличивается с увеличением одного или нескольких слагаемых. Всё это вытекает из того, что меньшее число соответствует тому из двух комплексов, которое может быть приведено в однозначное соответствие с правильной частью другого комплекса (§ 6, 2).

Примечания

1. Доказательство ведётся так: если допустим, что предложение справедливо, когда $S$ состоит из $n$ комплексов, то в случае $n+1$ комплексов

   $A+B+C+...+M+N=(A+B+C+...+M)+N=S+N$;

   поэтому оно оправдывается в силу предложения 1.