Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/38

ГЛАВА II. Ариѳметическiя дѣйствiя.

---

§ 7. Сложенiе.

Мы воспользуемся совершенной индукцiей для доказательства слѣдующаго предложенiя.

1. Если мы соединимъ два конечныхъ комплекса $A$ и $B$ въ одинъ комплексъ, то получимъ конечный комплексъ.

При доказательствѣ мы можемъ ограничиться предположенiемъ, что комплексы $A$ и $B$ не имѣютъ общихъ элементовъ. Въ самомъ дѣлѣ, если всѣ элементы комплекса $B$ принадлежатъ также комплексу $A$, то, комплексъ $A+B=A$, а потому представляетъ собой, согласно условiю, конечный комплексъ. Если же $D$ есть пересѣченiе комплексовъ $A$ и $B$ то $B-D$ есть часть комплекса $B$, не имѣющая общихъ элементовъ съ комплексомъ $A$; вмѣстѣ съ тѣмъ (§ 2, 5)

$A+B=A+(B-D)$.

Такимъ образомъ мы можемъ съ самаго начала принять, что комплексы $A$ и $B$ не имѣютъ общихъ элементовъ. Если теперь комплексъ $B$ содержитъ только одинъ элементъ $\beta$, то доказываемая теорема справедлива, потому что комплексъ $A+B$, согласно предложенiю § 3, 3, представляетъ собой конечный комплексъ. Теперь примемъ, что $b$ есть число элементовъ комплекса $B$ и что наше предложенiе для комплексовъ $A$ и $B$ уже доказано, такъ что $A+B$ представляютъ собой конечный комплексъ. Если теперь $\beta '$ представляетъ собой новый элементъ, не содержащiйся ни въ $A$ ни въ $B$, то $B+\beta '$ также есть конечный комплексъ, число элементовъ котораго есть $b+1$. Поэтому комплексъ

$(A+B)+\beta '=A+(B+\beta ')$,

въ силу того же § 3, 3, конеченъ.

Всѣ условiя, необходимыя для примѣненiя совершенной индукцiи, такимъ образомъ на лицо, и, слѣдовательно, наша теорема доказана.

Тот же текст в современной орфографии

ГЛАВА II Арифметические действия

---

§ 7. Сложение.

Мы воспользуемся совершенной индукцией для доказательства следующего предложения.

1. Если мы соединим два конечных комплекса $A$ и $B$ в один комплекс, то получим конечный комплекс.

При доказательстве мы можем ограничиться предположением, что комплексы $A$ и $B$ не имеют общих элементов. В самом деле, если все элементы комплекса $B$ принадлежат также комплексу $A$, то, комплекс $A+B=A$, а потому представляет собой, согласно условию, конечный комплекс. Если же $D$ есть пересечение комплексов $A$ и $B$ то $B-D$ есть часть комплекса $B$, не имеющая общих элементов с комплексом $A$; вместе с тем (§ 2, 5)

$A+B=A+(B-D)$.

Таким образом мы можем с самого начала принять, что комплексы $A$ и $B$ не имеют общих элементов. Если теперь комплекс $B$ содержит только один элемент $\beta$, то доказываемая теорема справедлива, потому что комплекс $A+B$, согласно предложению § 3, 3, представляет собой конечный комплекс. Теперь примем, что $b$ есть число элементов комплекса $B$ и что наше предложение для комплексов $A$ и $B$ уже доказано, так что $A+B$ представляют собой конечный комплекс. Если теперь $\beta '$ представляет собой новый элемент, не содержащийся ни в $A$ ни в $B$, то $B+\beta '$ также есть конечный комплекс, число элементов которого есть $b+1$. Поэтому комплекс

$(A+B)+\beta '=A+(B+\beta ')$,

в силу того же § 3, 3, конечен.

Все условия, необходимые для применения совершенной индукции, таким образом налицо, и, следовательно, наша теорема доказана.