Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/40

опредѣленный комплексъ $S$, который содержитъ всѣ элементы этихъ комплексовъ и никакихъ другихъ. Этотъ комплексъ можно обозначить символомъ

$S=A+B+C+...+N$.

При помощи совершенной индукцiи, на основанiи предложенiя 1, не трудно вывести, что $S$ есть конечный комплексъ, если конечны комплексы $A$, $B$, $C$ ... $N$ ^[1]. Если комплексы $A$, $B$, $C$ ... $N$ не имѣютъ попарно никакихъ общихъ элементовъ, то число комплекса $S$ называется суммой чиселъ комплексовъ $A$, $B$, $C$ ... $N$; если обозначимъ послѣднiя числа черезъ $a$, $b$, $c$ ... $n$, а число комплекса $S$ черезъ $s$, то мы будемъ писать

$s=a+b+c+...+n$;

числа $a$, $b$, $c$ ... $n$ мы будемъ называть слагаемыми, образующими сумму $s$.

Число $s$ опредѣляется посредствомъ отсчета элементовъ въ комплексѣ $S$. При вычисленiи поступаютъ обыкновенно короче: пишутъ слагаемыя въ произвольной послѣдовательности и затемъ, начиная сверху или снизу, прибавляютъ каждое слѣдующее число къ полученной уже суммѣ. Что результатъ этого вычисленiя не зависитъ отъ порядка слагаемыхъ, следуетъ изъ того, что число не зависитъ отъ порядка, въ какомъ мы считаемъ элементы представляющаго его комплекса (§ 6).

Если слагаемыя написаны въ десятичной системѣ, то сначала складываютъ единицы, затѣмъ десятки, потомъ сотни и т. д.; если при сложенiи единицъ какого-либо разряда образуются единицы высшаго разряда, то ихъ нужно прибавлять къ единицамъ соотвѣтствующаго разряда. Этому обучаются уже дѣти.

4. Сложенiе содержитъ, какъ частный случай, правило, посредствомъ котораго мы въ § 3 опредѣлили по числу $m$ непосредственно слѣдующее число $m+1$. Точно также изъ данныхъ въ § 3 опредѣленiй терминовъ „больше“ и „меньше“ слѣдуетъ, что сумма нѣсколькихъ чиселъ изъ ряда $a$, $b$, $c$ ... $n$ меньше, нежели сумма всѣхъ ихъ, — что сумма увеличивается съ увеличенiемъ одного или нѣсколькихъ слагаемыхъ. Все это вытекаетъ изъ того, что меньшее число соотвѣтствуетъ тому изъ двухъ комплексовъ, которое можетъ быть приведено въ однозначное соотвѣтствiе съ правильной частью другого комплекса (§ 6, 2).

1. Доказательство ведется такъ: если допустимъ, что предложенiе справедливо, когда $S$ состоитъ изъ $n$ комплексовъ, то въ случаѣ $n+1$ комплексовъ

   $A+B+C+...+M+N=(A+B+C+...+M)+N=S+N$;

   поэтому оно оправдывается въ силу предложенiя 1.

Тот же текст в современной орфографии

определённый комплекс $S$, который содержит все элементы этих комплексов и никаких других. Этот комплекс можно обозначить символом

$S=A+B+C+...+N$.

При помощи совершенной индукции, на основании предложения 1, нетрудно вывести, что $S$ есть конечный комплекс, если конечны комплексы $A$, $B$, $C$ ... $N$ ^[1]. Если комплексы $A$, $B$, $C$ ... $N$ не имеют попарно никаких общих элементов, то число комплекса $S$ называется суммой чисел комплексов $A$, $B$, $C$ ... $N$; если обозначим последние числа через $a$, $b$, $c$ ... $n$, а число комплекса $S$ через $s$, то мы будем писать

$s=a+b+c+...+n$;

числа $a$, $b$, $c$ ... $n$ мы будем называть слагаемыми, образующими сумму $s$.

Число $s$ определяется посредством отсчёта элементов в комплексе $S$. При вычислении поступают обыкновенно короче: пишут слагаемые в произвольной последовательности и затем, начиная сверху или снизу, прибавляют каждое следующее число к полученной уже сумме. Что результат этого вычисления не зависит от порядка слагаемых, следует из того, что число не зависит от порядка, в каком мы считаем элементы представляющего его комплекса (§ 6).

Если слагаемые написаны в десятичной системе, то сначала складывают единицы, затем десятки, потом сотни и т. д.; если при сложении единиц какого-либо разряда образуются единицы высшего разряда, то их нужно прибавлять к единицам соответствующего разряда. Этому обучаются уже дети.

4. Сложение содержит, как частный случай, правило, посредством которого мы в § 3 определили по числу $m$ непосредственно следующее число $m+1$. Точно также из данных в § 3 определений терминов «больше» и «меньше» следует, что сумма нескольких чисел из ряда $a$, $b$, $c$ ... $n$ меньше, нежели сумма всех их, — что сумма увеличивается с увеличением одного или нескольких слагаемых. Всё это вытекает из того, что меньшее число соответствует тому из двух комплексов, которое может быть приведено в однозначное соответствие с правильной частью другого комплекса (§ 6, 2).

1. Доказательство ведётся так: если допустим, что предложение справедливо, когда $S$ состоит из $n$ комплексов, то в случае $n+1$ комплексов

   $A+B+C+...+M+N=(A+B+C+...+M)+N=S+N$;

   поэтому оно оправдывается в силу предложения 1.