Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Новейшие методы в геометрии/ДО

Пятая эпоха:
Новѣйшіе методы въ геометріи
авторъ Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингеръ

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Изъ цикла «Историческій обзоръ происхожденія и развитія геометрическихъ методовъ». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источникъ: Индекс в Викитеке

Пятая эпоха, n° 23-40.

23. Новѣйшіе методы въ геометріи. Всѣ перечисленныя нами сочиненія доставляютъ многочисленныя и убѣдительныя доказательства того, что чистая геометрія въ себѣ самой можетъ почерпать безконечное разнообразіе пріемовъ и методовъ; въ этихъ сочиненіяхъ появились тѣ простыя и плодотворныя истины, которыя однѣ могутъ свидѣтельствовать о совершенствѣ науки и быть ея дѣйствительными основаніями, — появились теоріи, зародышъ которыхъ впродолженіи вѣковъ скрывался незамѣченнымъ въ трудахъ прежнихъ геометровъ; эти теоріи развились быстро и легли въ основаніе методовъ новѣйшей геометріи.

Мы различаемъ между этими методами:

Вопервыхъ, теорію транверсалей, которой основная теорема о треугольникѣ пересѣченномъ транверсалью восходитъ до глубокой древности, но которую Карно вызвалъ къ новой жизни, показавъ всю пользу и плодотворность ея и распространивъ ея путемъ чрезвычайно счастливаго обобщенія на теорію кривыхъ линій и поверхностей.^[1]

Вовторыхъ, ученіе о преобразованіи фигуръ въ другія такого же рода, какъ въ перспективѣ.

Изъ этого рода методовъ укажемъ слѣдующія:

1°. Перспектива, начала которой лежатъ въ основаніи сочиненій Дезарга и Паскаля о коническихъ сѣченіяхъ и употребленіе которой съ тѣхъ поръ расширилось и часто повторялось.

2°. Способъ, въ которомъ лучи зрѣнія, идущіе къ различнымъ точкамъ фигуры, увеличиваются въ постоянномъ отношеніи для полученія фигуры подобной и подобно-расположенной.

3°. Способъ, въ которомъ ординаты точекъ фигуры увеличиваются пропорціонально, какъ это дѣлается напримѣръ при изображеніи профилей, когда хотятъ сдѣлать измѣненія въ высотѣ болѣе наглядными; этотъ способъ употребляли Дюреръ^[2], Порта^[3], Стевинъ, Мидоржъ и Григорій С. Винцентъ для полученія эллипса изъ круга^[4].

4°. Способъ, въ которомъ всѣ ординаты фигуры, оставаясь параллельными, наклоняются обращеніемъ около ихъ основаній на плоскости проэкцій; этотъ пріемъ употребляется преимущественно въ архитектурѣ при построеніи мостовъ^[5].

5°. Способъ построенія барельефовъ, указанный Боссомъ и Петито^[6]; и также способъ, предложенный позднѣе Брейзигомъ (Breysig) въ его теоріи перспективы для живописцевъ (in-8°, Магдебургъ, 1798)^[7].

6°. Споcобъ planiconiques Де-Лагира и способъ Ле-Пуавра, которые оба имѣютъ предметомъ черченіе на плоскости основанія конуса тѣхъ же кривыхъ, которыя получаются на самомъ конусѣ отъ пересѣченія его плоскостями.

7°. Способъ Ньютона для преобразованія фигуръ въ другія того же рода, заключающійся въ 22-й леммѣ первой книги Principia, впослѣдствіи обобщенный Варингомъ^[8]. 8° Способъ, помощію котораго мы распространили на эллипсоидъ свойство сферы и который заключается въ томъ, что координаты точекъ данной фигуры увеличиваются въ постоянныхъ отношеніяхъ (Correspondance sur l'école polytechnique, t. III, p. 326)^[9].

Прибавленіе. Клеро еще прежде изслѣдовалъ кривыя, названныя Эйлеромъ lineae affines: онъ разсматривалъ ихъ какъ проэкціи одна другой, т.-е. какъ плоскія сѣченія одного цилиндра, и назвалъ кривыми одного рода (de même espèce). Онъ показалъ, что если $x,y$ будутъ координаты точки одной кривой относительно осей въ ея плоскости, то координаты для другой кривой относительно осей, взятыхъ въ ея плоскости соотвѣтственно первымъ осямъ, будутъ вида $X=\lambda x$, $Y=\lambda y$. Это доказываетъ, что кривыя Клеро — тоже что и кривыя Эйлера (См. Mémoires de l'Académie des sciences de Paris, 1731).

9°. Наконецъ, прекрасная теорія гомологическихъ фигуръ или перспективы-рельефа, данная Поеселе, она совпадаетъ со способами Де-Лагира и Ле-Пуавра въ случаѣ плоскихъ фигуръ, но до Понселе не была распространена на фигуры трехъ измѣреній^[10]. Всѣ эти разнообразные способы мы соединяемъ въ одну группу и ниже покажемъ, что всѣ они, также какъ и перспектива въ собственномъ смыслѣ, вытекаютъ изъ одного общаго основнаго принципа, представляя его частныя примѣненія.

Въ третьихъ, теорія взаимныхъ поляръ, которую ученики Монжа почерпнули изъ драгоцѣнныхъ уроковъ этого знаменитаго профессора, которая сначала примѣнялась только къ такимъ преобразованіямъ, гдѣ прямымъ соотвѣтствуютъ точки, a точкамъ — прямыя (см. Прим. XXVI), и на которую Понселе привлекъ все вниманіе геометровъ, примѣнивъ ее къ преобразованію метрическихъ и угловыхъ соотношеній.

Въ четвертыхъ, ученіе о стеографическихъ проэкціяхъ; сначала оно относилось только къ сферѣ и служило для черченія географическихъ картъ; обогатившись потомъ одною новою теоремой, оно распространилось вообще на поверхности втораго порядка и въ настоящее время представляетъ простое и удобное средство для изысканій^[11]. Мемуары Брюссельской Академіи содержатъ особенно много удачныхъ приложеній этой изящной теоріи, сдѣланныхъ Кетле и Данделеномъ.

24. Таковы четыре обширныя группы, въ которыя по нашему мнѣнію можно при современномъ состояніи геометріи, разсматривая методы съ философской точки зрѣнія, соединить большинство новѣйшихъ многочисленныхъ открытій. Къ пятой группѣ можно отнести еще нѣкоторыя частныя и спеціальныя теоріи, основанныя на чисто-геометрическихъ началахъ. Таковы, между прочимъ, теорія Сопряженныхъ касательныхъ Дюпена, изъ которой авторъ извлекъ весьма полезныя теоретическія и практическія приложенія, и новая теорія каустическихъ линій, въ которой Кетле свелъ на немногіе принципы начальной геометріи эту важную и трудную часть оптики, не поддававшуюся всѣмъ средствамъ анализа.

Эти теоріи, которыя на первый взглядъ кажутся чуждыми перечисленнымъ выше методамъ, съ нѣкоторыхъ точекъ зрѣнія могутъ связываться съ ними и могутъ въ нихъ находить полезную помощь. Любопытныя сближенія, которыя Кетле дѣлаетъ между своею теоріею каустическихъ линій и теорію стереографическихъ проэкцій, служатъ этому первымъ доказательствомъ; другія доказательства мы будемъ имѣть случай сообщить въ другомъ мѣстѣ^[12].

25. Усовершенствованіе новыхъ методовъ. Основательное изученіе современнаго состоянія чистой геометріи оправдываетъ предложенное нами систематическое дѣленіе, но въ то же время оно въ виду недостатка общности и опредѣленнаго характера во множествѣ теоремъ, относящихся къ указаннымъ методамъ, обнаруживаетъ, что самые эти методы не достигли еще въ желаемой степени общности, плодотворности и силы.

Такъ напримѣръ способы, заключающіеся во второй и третьей группѣ нашего дѣленія, имѣютъ общее и удобное примѣненіе къ изысканію и доказательству начертательныхъ свойствъ фигуръ, но до сихъ поръ они имѣли только весьма ограниченное приложеніе къ метрическимъ соотношеніямъ (къ опредѣленію величины линій, поверхностей и объемовъ). Не заставляетъ ли это предполагать въ нихъ недостатокъ нѣкотораго принципа, который сдѣлалъ бы ихъ приложимыми къ гораздо болѣе общимъ, a можетъ быть и ко всякаго рода соотношеніямъ?

Очевидно, что эти методы не основываются еще на достаточно широкихъ началахъ. И дѣйствительно, мы вправѣ кажется сказать, что каждый изъ нихъ допускаетъ весьма широкое обобщеніе.

26. Теорія трансверсалей. Прежде всего, теорія трансверсалей можетъ быть обогащена новыми принципами, которые сдѣлаютъ ее способной къ новымъ примѣненіямъ и дадутъ ей возможность въ тысячѣ случаевъ замѣнять анализъ Декарта, преимущественно при изученіи общихъ свойствъ геометрическихъ кривыхъ; даже въ теперешнемъ своемъ состояніи она можетъ быть полезна во многихъ вопросахъ, къ которымъ до сихъ поръ еще не прилагалась, такъ напримѣръ въ общей задачѣ о касательныхъ и о радіусахъ кривизны во всѣхъ геометрическихъ кривыхъ, — задача, рѣшеніе которой мы дали въ Bulletin universel des sciences (juin, 1830)^[13]

27. Стереографическія проэкціи. Ученіе о стереографическихъ проэкціяхъ, уже расширенное примѣненіемъ ко всѣмъ поверхностямъ втораго порядка, способно къ дальнѣйшему обобщенію, состоящему въ томъ, что точка зрѣнія можетъ быть помѣщена не на поверхности сферы, a въ какой угодно точкѣ пространства, или даже въ безконечности.

При этомъ плоскія сѣченія поверхности втораго порядка уже не будутъ давать въ проэкціи подобныя и подобно-расположенныя коническія сѣченія, или коническія сѣченія, имѣющія общую ось подобія (axe de symptose); зависимость между этими кривыми будетъ имѣть болѣе сложное выраженіе; онѣ будутъ имѣть двойное прикосновеніе (дѣйствительное или мнимое) съ коническимъ сѣченіемъ, представляющимъ видимый перспективный контуръ поверхности втораго порядка (это коническое сѣченіе само можетъ быть мнимымъ).

Эта теорема предложена въ Traité des propiétés projectives (n° 610) и Понселе показалъ примѣненіе ея къ изученію свойствъ системы коническихъ сѣченій, имѣющихъ двойное прикосновеніе съ даннымъ. Если къ этой теоремѣ присоединить, какъ въ теоріи обыкновенной стереографической проэкціи, другую теорему о проэкціяхъ вершинъ конусовъ, огибающихъ поверхность втораго порядка, то получится новая теорія, представляющая поле для неисчерпаемыхъ и интересныхъ изысканій, — теорія, при помощи которой будетъ разрѣшено множество вопросовъ о построеніи коническихъ сѣченій при различныхъ условіяхъ. (См. Примѣчаніе XXVIII).

28. Способы преобразованія фигуръ. Способы, соединенные нами во вторую группу, повидимому чужды одинъ другому и назначены для различныхъ практическихъ примѣненій; но если смотрѣть на нихъ какъ на способы преобразованія фигуръ, то всѣ они могутъ быть сведены къ одному, замѣняющему ихъ вполнѣ, принципу преобразованія; этотъ принципъ, по нашему мнѣнію, представляетъ новое ученіе въ высшей степени важное, допускающее болѣе широкое и удобное употребленіе, чѣмъ всѣ эти различные способы. Оно можетъ быть основано на одной теоремѣ, на которую мы смотримъ какъ на послѣднее обобщеніе и какъ на первоначальный источникъ всѣхъ принциповъ, породившихъ вышеперечисленные методы. Прибавимъ, что всѣ другіе подобные методы преобразованія фигуръ въ другіе того же рода, которые могутъ быть открыты впослѣдствіи, будутъ не болѣе какъ выводы изъ этой единственной теоремы.

29. Взаимныя поляры и другіе подобные методы. Начало двойственности. Что касается теоріи взаимныхъ поляръ, служащей для преобразованія фигуръ въ другія разнородныя съ ними (въ нихъ плоскости и точки соотвѣтствуютъ точкамъ и плоскостямъ данныхъ фигуръ) и для превращенія свойствъ данныхъ фигуръ въ свойства фигуръ преобразованныхъ, въ чемъ и выражается постоянная двойственность формъ и свойствъ пространства, — то мы уже высказали (Annales de Mathématiques, t. XVIII, p. 270), что эта теорія не есть единственный способъ для этой цѣли: существуетъ много другихъ способовъ, обнаруживающихъ ясно ту же двойственность и столь же удобныхъ для приложеній.

Такъ, двойственность уже два вѣка тому назадъ^[14] была усмотрѣна въ геометріи сферы, гдѣ каждая фигура имѣетъ свою дополнительную (supplémentaire), въ которой дуги большихъ круговъ соотвѣтствуютъ точкамъ первоначальной фигуры и дуги эти проходятъ черезъ одну точку, если точки первоначальной фигуры лежатъ на одномъ большомъ кругѣ; эта двойственность на сферѣ съ совершенною очевидностію обнаруживаетъ также двойственность и плоскихъ фигуръ и даетъ очень удобное средство для преобразованія ихъ.

Дѣйствительно, представимъ себѣ на сферѣ какую-нибудь фигуру и ея дополнительную (т.-е. фигуру огибающую дуги большихъ круговъ, которыхъ плоскости перпендикулярны къ радіусамъ проведеннымъ въ точки первой фигуры); сдѣлаемъ перспективу обѣихъ фигуръ на плоскость, помѣстивъ глазъ въ центрѣ сферы; въ перспективѣ получаемъ двѣ взаимныя фигуры и въ нихъ законъ двойственности очевиденъ.

Но нетрудно видѣть, что такое преобразованіе плоской фигуры можетъ быть выполнено прямо въ ея плоскости безъ пособія вспомогательной сферы. Дѣйствительно, перпендикуляры, опущенные изъ каждой точки начальной фигуры на соотвѣтственныя этимъ точкамъ прямыя второй фигуры, проходятъ чрезъ одну и ту же точку, именно чрезъ ортогональную проэкцію центра сферы на плоскости фигуры; въ этой точкѣ каждый перпендикуляръ дѣлится на два отрѣзка, произведеніе которыхъ постоянно, ибо оно равно квадрату разстоянія центра сферы отъ плоскости фигуры. Слѣдовательно для полученія взаимной фигуры достаточно черезъ неподвижную точку въ плоскости данной фигуры провести прямыя въ каждую ея точку, отложить на продолженіи этихъ прямыхъ, считая отъ неподвижной точки, отрѣзки обратнопропорціональные длинѣ первыхъ прямыхъ и въ концѣ этихъ отрѣзковъ провести къ нимъ перпендикуляры. Эти перпендикуляры будутъ соотвѣтствовать точкамъ данной фигуры и будутъ огибать взаимную фигуру.

30. Ясно, что такой способъ преобразованія фигуръ прилагается и къ фигурамъ трехъ измѣреній. Мы выражаемъ его слѣдующимъ образомъ.

Пусть дана фигура въ пространствѣ; черезъ произвольно взятую неподвижную точку проводимъ во всѣ точки этой фигуры прямыя линіи и на нихъ (или на ихъ продолженіи по другую сторону отъ неподвижной точки) откладываемъ отрѣзки обратно-пропорціональные длинѣ этихъ линій; черезъ концы отрѣзковъ проводимъ плоскости перпендикулярныя къ направленію отрѣзковъ; эти плоскости будутъ огибать другую фигуру, которая будетъ взаимная данной въ томъ смыслѣ, какъ это понимается въ ученіи о двойственности. Т.-е. плоскостямъ данной фигуры будутъ соотвѣтствовать точки новой фигуры, и если плоскости проходятъ чрезъ одну точку, то соотвѣтственныя имъ точки будутъ лежатъ въ одной плоскости.^[15]

Когда обратно-пропорціональныя величины откладываются на самыхъ прямыхъ, проводимыхъ изъ неподвижной точки къ точкамъ данной фигуры, то перпендикулярныя плоскости въ концахъ отрѣзковъ будутъ полярныя плоскости точекъ данной фигуры относительно нѣкоторой сферы, имѣющей центръ въ неподвижной точкѣ.

Нашъ способъ преобразованія обнимаетъ собою такимъ образомъ теорію взаимныхъ поляръ относительно сферы; онъ даже общѣе этой теоріи, потому что въ ней полярныя плоскости проходятъ всегда между соотвѣтственными имъ точкамъ данной фигуры и центромъ сферы, тогда какъ въ нашемъ способѣ преобразованія плоскости могутъ проходить и по другую сторону неподвижной точки, представляющей собою центръ.^[16]

Намъ казалась достойною вниманія эта указанная нами тѣсная связь между теоріею взаимныхъ поляръ, появившеюся весьма недавно, и двойственностію сферическихъ фигуръ, которая извѣстна и употребительна уже около двухъ столѣтій.

31. Перейдемъ къ другимъ способамъ преобразованія. Изъ нихъ два основываются, подобно предыдущему, на извѣстныхъ уже теоріяхъ. Первый содержится въ той поризмѣ Евклида, которую мы изложили, говоря о Математическомъ Собраніи Паппа (1-я эпоха, n° 31, въ выноскѣ): въ этой поризмѣ для всякой точки плоской фигуры строится соотвѣтственная прямая и легко видѣть также, что, если точки первой фигуры находятся на одной прямой, то соотвѣтственныя имъ прямыя второй фигуры, будутъ проходить черезъ одну точку.

Второй способъ вытекаетъ изъ теоріи взаимныхъ кривыхъ и поверхностей; аналитическое изложеніе этой теоріи дано Монжемъ (См. Примѣчаніе XXX).

32. Можно представить себѣ еще другіе способы преобразованія.

Представимъ себѣ, напримѣръ, въ пространствѣ трегранный уголъ и треугольникъ, помѣщенный въ плоскости, проведенной чрезъ вершину этого треграннаго угла; черезъ каждую точку данной фигуры въ пространствѣ проводимъ три плоскости черезъ стороны треугольника; эти плоскости пересѣкутся съ соотвѣтственными ребрами треграннаго угла въ трехъ точкахъ, опредѣляющихъ плоскость; построенныя такимъ образомъ плоскости будутъ огибать новую фигуру, которая будетъ находиться съ данною въ соотношеніи двойственности.

Сообщимъ данной въ пространствѣ фигурѣ какое-нибудь безконечно-малое перемѣщеніе и проведемъ во всѣхъ точкахъ нормальныя плоскости къ траэкторіямъ; эти плоскости будутъ огибать вторую фигуру, находящуюся съ первой въ соотношеніи двойственности, такомъ же какъ и предыдущій случай.

Положимъ, что на данную въ пространствѣ фигуру дѣйствуютъ различныя силы; черезъ каждую точку проводимъ главную плоскость силъ по отношенію къ этой точкѣ; такія плоскости будутъ огибать новую фигуру, взаимную относительно первой въ такомъ же смыслѣ какъ въ предыдущихъ случаяхъ.

33. Первый изъ этихъ способовъ преобразованія, въ которомъ употребляется трегранный уголъ, имѣетъ себѣ соотвѣтственный способъ на плоскости, именно вышеприведенную поризму Евклида. Два остальные способа не имѣютъ соотвѣтствующихъ на плоскости, но тѣмъ не менѣе могутъ служить для преобразованія плоскихъ фигуръ. Дѣйствительно, пусть дана фигура на плоскости; сообщимъ плоскости этой безконечно малое перемѣщеніе въ пространствѣ; нормальныя плоскости къ траэкторіямъ различныхъ точекъ фигуры будутъ огибать коническую поверхность (вершина которой находится въ плоскости фигуры)^[17] и произвольная сѣкущая плоскость пересѣчется съ этою коническою поверхностью по фигурѣ, взаимной относительно данной.

Такимъ же образомъ можно для преобразованія плоскихъ фигуръ пользоваться всякимъ преобразованіемъ въ пространствѣ, не имѣющимъ себѣ соотвѣтствующаго въ плоскости.

34. Самый общій принципъ преобразованія. Мы могли бы указать еще нѣсколько другихъ частныхъ пріемовъ преобразованія, которые, подобно предыдущимъ, могутъ на плоскости или въ пространствѣ служитъ для того же назначенія, какъ и теорія взаимныхъ поляръ.

Но всѣ эти способы, также какъ и способы видоизмѣненія (déformation), о которомъ мы говорили выше, могутъ быть замѣнены единственнымъ принципомъ, болѣе общимъ и обширнымъ, чѣмъ каждый изъ нихъ. Этотъ принципъ, содержащій въ себѣ все ученіе о преобразованіи (transformotion) фигуръ, вытекаетъ изъ одной элементарной теоремы, въ которой по нашему мнѣнію первоначально заключается свойство двойственности присущее пространственнымъ формамъ, — свойство, о которомъ ученые геометры хотя уже писали и глубоко философски взглянули на этотъ отдѣлъ геометріи, но не восходили еще до основнаго принципа, независимаго отъ всякой частной теоріи.

35. Частный характеръ теоріи взаимныхъ поляръ. Нѣкоторыми соображеніями объ этомъ принципѣ преобразованія и о теоріи взаимныхъ поляръ мы пояснимъ теперь, въ какомъ смыслѣ упоминаемый принципъ имѣетъ болѣе общности, нежели эта теорія.

Фигуры, разсматриваемыя въ преобразованіи этого рода, обладаютъ свойствомъ взаимности, заключающемся въ томъ, что каждой точкѣ данной фигуры соотвѣтствуетъ плоскость въ преобразованной и, взаимно, каждой точкѣ преобразованной фигуры соотвѣтствуетъ плоскость данной. Это вытекаетъ изъ единственнаго требованія при построеніи второй фигуры, именно: чтобы плоскости этой фигуры, соотвѣтствующія точкамъ данной, лежащимъ въ одной плоскости, необходимо проходили черезъ одну точку. Въ этомъ и состоитъ взаимное соотвѣтствіе между точкою второй фигуры и плоскостію первой.

Въ этомъ условіи заключается все ученіе о взаимномъ преобразованіи, потому что этимъ оно отличается отъ безчисленнаго множества другихъ способовъ преобразованія, въ которыхъ плоскостямъ соотвѣтствуютъ точки, или же точкамъ — плоскости, но въ которыхъ оба эти обстоятельства не имѣютъ мѣста въ одно и тоже время; условіе это выполняется въ теоріи взаимныхъ поляръ, такъ какъ здѣсь полярныя плоскости точекъ одной и той же плоскости проходятъ черезъ одну точку (или, другими словами, если вершины конусовъ описанныхъ около поверхности втораго порядка лежатъ въ одной плоскости, то плоскости кривыхъ прикосновенія проходятъ черезъ одну точку). Вотъ почему теорія поляръ является средствомъ для взаимнаго преобразованія фигуръ и обнаруживаетъ свойство двойственности пространства.

Но въ этой теоріи есть частная особенность: въ ней, точкѣ, черезъ которую проходятъ плоскости первой фигуры, соотвѣтствуетъ на второй именно та плоскость, въ которой лежатъ точки, соотвѣтственныя этимъ плоскостямъ, т.-е. полярная плоскость. Такимъ образомъ здѣсь первая фигура можетъ быть построена изъ второй точно также, какъ вторая строится изъ первой. Здѣсь мы встрѣчаемъ слѣдовательно совершенную взаимность, или лучше сказать полное тождество въ построеніи обѣихъ фигуръ.

Такъ какъ до сихъ поръ теорія взаимныхъ поляръ была единственнымъ средствомъ для взаимнаго преобразованія фигуръ, то можно было думать, что вышеупомянутое согласіе или полная взаимность формъ есть слѣдствіе тождества въ построеніи ихъ по этому способу. Но это была бы большая ошибка. Тождество построенія есть случайное обстоятельство, свойственное теоріи взаимныхъ поляръ и встрѣчающееся также въ нѣкоторыхъ другихъ пріемахъ преобразованія; но не оно порождаетъ двойственность пространства; этого тождества нѣтъ во многихъ способахъ взаимнаго преобразованія, между прочимъ и въ томъ, который, какъ мы покажемъ, заключаетъ въ себѣ всѣ другіе какъ слѣдствія или какъ частные случаи. Поэтому мы совсѣмъ не пользуемся этимъ тождествомъ построенія и устраняемъ его въ нашемъ изложеніи ученія о преобразованіи, какъ обстоятельство частное и случайное.

36. Частный характеръ нѣкоторыхъ другихъ способовъ преобразованія. Въ способѣ преобразованія посредствомъ безконечно-малыхъ движеній встрѣчаемъ опять тождество построенія, также какъ и въ теоріи поляръ: здѣсь плоскости нормальныя къ траэкторіямъ точекъ первой фигуры огибаютъ такую вторую фигуру, что если ей сообщить такое же движеніе, какъ первой, то плоскости нормальныя къ ея траэкторіямъ огибали бы первую фигуру.

Подобная же взаимность имѣетъ мѣсто въ фигурахъ, для преобразованія которыхъ разсматривается система силъ.

Но не то будетъ въ преобразованіи при помощи треграннаго угла. Если точка описываетъ какую-нибудь фигуру, то соотвѣтственная ей плоскость, построенная, какъ было выше показано, при помощи треграннаго угла, огибаетъ вторую, соотвѣтственную или производную, фигуру. Но, если точка будетъ описывать эту вторую фигуру, — подвижная плоскость не будетъ уже огибать первую фигуру, какъ въ теоріи поляръ или въ преобразованіи посредствомъ безконечно-малаго перемѣщенія; она будетъ огибать третью фигуру, совершенно отличную отъ первой. Только въ частномъ случаѣ, когда вершины треугольника лежатъ въ плоскостяхъ граней треграннаго угла, будетъ имѣть мѣсто тождество построенія, т.-е. третья фигура не будетъ отличаться отъ первой.

Въ преобразованіи плоскихъ фигуръ на основаніи поризмы Евклида тождества никогда быть не можетъ. Когда точка описываетъ данную фигуру, соотвѣтствующая прямая огибаетъ вторую, производную, фигуру; но, если точка будетъ описывать вторую фигуру, то соотвѣтствующая прямая будетъ огибать новую фигуру, всегда отличающуюся отъ первой.

Впрочемъ всегда можно по данному способу преобразованія первой фигуры во вторую найти такой другой способъ, посредствомъ котораго вторая фигура воспроизводитъ первую. Въ частныхъ случаяхъ, представляемыхъ теоріею поляръ, способомъ безконечно-малаго перемѣщенія данной фигуры и пр. Эти два обратные способа преобразованія, вообще различные между собою, становятся совершенно одинаковыми. Нами даны общія соотношенія между такими двумя обратными способами, такъ что, зная одинъ, можно опредѣлить другой.

37. Теорія поляръ не есть самый общій способъ преобразованія. Мы высказали эти, можетъ быть слишкомъ подробныя, соображенія съ цѣлію утвердить въ умѣ читателя мысль, что двойственность пространства ни коимъ образомъ не проистекаетъ изъ особенностей построенія, которыя, какъ могло казаться судя по теоріи поляръ, составляютъ повидимому отличительный характеръ преобразованій обнаруживающихъ эту двойственность.

Изъ нашихъ соображеній слѣдуетъ также, что теорія взаимныхъ поляръ не есть наиболѣе общій способъ преобразованія. Впрочемъ, если бы мы имѣли въ виду обнаружить только эту истину, то намъ было бы достаточно сказать, что въ общемъ способѣ преобразованія, обнимающемъ всѣ другіе, можно для построенія фигуры взаимной съ данною фигурой выбрать произвольно въ пространствѣ пять плоскостей соотвѣтствующихъ пяти даннымъ точкамъ первой фигуры; тогда какъ въ способѣ взаимныхъ поляръ двѣ взаимныя фигуры связаны между собою болѣе тѣсными условіями. Дѣйствительно, разсматривая два тетраэдра, въ которыхъ вершинамъ одного соотвѣтствуютъ грани другаго, увидимъ, что четыре прямыя, соединяющія вершины перваго тетраэдра съ соотвѣтственными вершинами втораго, — т.-е. съ вершинами противоположными соотвѣтственнымъ гранямъ, — всегда представляютъ четыре образующія гиперболоида съ одною полостью, принадлежащія къ одному роду образованія поверхности^[18].

Другіе способы преобразованія представляютъ точно также нѣкоторыя частныя соотношенія между взаимно соотвѣтственными фигурами, но не такія, какъ только что указанныя нами въ полярно-взаимныхъ фигурахъ.

Такъ, въ преобразованіи посредствомъ безконечно-малаго перемѣщенія обнаруживается, что двѣ какія угодно прямыя съ двумя ихъ производными должны быть образующими одного рода на поверхности гиперболоида.

38. Преобразованіе метрическихъ и угловыхъ соотношеній. До сихъ поръ мы говорили только о начертательныхъ соотношеніяхъ взаимно соотвѣтственныхъ фигуръ и о соотношеніяхъ, зависящихъ только отъ ихъ положенія; но необходимо разсмотрѣть также зависимость между ихъ метрическими и угловыми размѣрами. Этого рода соотношенія входятъ въ изложеніе теоремъ, зависящихъ отъ размѣровъ фигуръ.

Общія выраженія зависимости между размѣрами первоначальной и взаимно соотвѣтственной фигуръ, вытекаютъ изъ очень простаго принципа, который не употреблялся въ теоріи поляръ, вслѣдствіе чего эта теорія, получившая весьма общее приложеніе къ преобразованію начертательныхъ свойствъ, имѣла очень ограниченное примѣненіе къ соотношеніямъ количественнымъ; не были въ употребленіи даже всѣ соотношенія, которыя существуютъ при преобразованіи помощію поляръ, и за недостаткомъ того общаго принципа, о которомъ мы говоримъ, для преобразованія количественныхъ соотношеній пользовались только двумя частными случаями способа поляръ. Именно, принимали за вспомогательную поверхность или сферу, какъ Повселе въ Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques^[19] и потомъ Бoбилье^[20], или же — параболоидъ, какъ это предложено нами въ двухъ мемуарахъ Sur la transformation parabolique des relations métriques^[21].

Изъ этихъ двухъ способовъ преобразованія вытекаютъ неодинаковыя количественныя соотношенія между двумя взаимными фигурами. Въ первомъ случаѣ соотношеніе заключается въ томъ, что уголъ между двумя плоскостями въ одной фигурѣ равенъ углу между радіусами вспомогательной сферы, проведенными въ тѣ точки второй фигуры, которыя соотвѣтствуютъ этимъ плоскостямъ^[22]; во второмъ же случаѣ соотношеніе таково, что отрѣзокъ оси вспомогательнаго параболоида между двумя плоскостями одной фигуры равенъ ортогональной проэкціи на эту ось прямой, соединяющей во взаимной фигурѣ двѣ точки, соотвѣтственныя этимъ плоскостямъ.

Оба эти способа преобразованія съ одинаковымъ удобствомъ были приложены ко всѣмъ соотношеніямъ, представляющимся въ теоріи трансверсалей. Кромѣ того, первый прилагался къ нѣкоторымъ особымъ угловымъ соотношеніямъ, напримѣръ къ теоремамъ Ньютона и Маклорена объ органическомъ образованіи коническихъ сѣченій; второй же — къ нѣкоторымъ соотношеніямъ между прямолинейными разстояніями, преимущественно къ теоріямъ Ньютона о геометрическихъ кривыхъ, причемъ мы пришли къ совершенно новому роду свойствъ этихъ кривыхъ^[23].

39. Кромѣ указаннаго различія въ общихъ количественныхъ соотношеніяхъ эти два способа взаимнаго преобразованія отличаются также и въ соотношеніяхъ начертательныхъ, вслѣдствіе чего эти способы являются съ характеромъ до извѣстной степени частнымъ и ограниченнымъ.

Напримѣръ, когда за вспомогательную поверхность берется сфера и если въ составъ первой фигуры входитъ другая сфера, то ей во взаимной фигурѣ будетъ соотвѣтствовать поверхность вращенія втораго порядка, такъ что общихъ свойствъ какой угодно поверхности втораго порядка мы этимъ путемъ не получаемъ.

Точно также, при выборѣ за вспомогательную поверхность параболоида, если преобразуется фигура, въ составъ которой входитъ эллипсоидъ, то во взаимной фигурѣ ему будетъ соотвѣтствовать всегда гиперболоидъ, но никогда не эллипсоидъ. Но важнѣйшее неудобство заключается не въ этомъ недостаткѣ общности, a въ томъ, что безконечно удаленнымъ прямымъ первой фигуры будутъ здѣсь соотвѣтствовать прямыя параллельныя оси параболоида и слѣдовательно проходящія черезъ одну и ту же безконечно-удаленную точку. Такимъ образомъ мы получаемъ свойство различныхъ системъ параллельныхъ линій, тогда какъ при употребленіи другой вспомогательной поверхности имѣли бы вмѣсто этого — свойство прямыхъ, проходящихъ черезъ одну точку.

Правда, можно затѣмъ другимъ путемъ (именно помощію способовъ второй группы нашего дѣленія) распространить свойства сферы на всѣ поверхности втораго порядка и свойства системы параллельныхъ прямыхъ на систему линій, проходящихъ черезъ одну точку; но это, какъ въ графическомъ, такъ и въ теоретическомъ смыслѣ, будетъ уже не одна, a двѣ различныя операціи.

40. Общій принципъ преобразованія, изложенный въ нашемъ мемуарѣ, за исключеніемъ нѣкоторыхъ случаевъ, гдѣ начертательныя и количественныя соотношенія имѣютъ слишкомъ частный характеръ для его примѣненія, представляетъ почти всегда, и особенно при изслѣдованіи метрическихъ соотношеній, не только преимущество большой общности, но и выгоду болѣе удобнаго и быстраго приложенія, чѣмъ всѣ частные методы.

Принципъ взаимнаго преобразованія (transformation) и принципъ видоизмѣненія (déformation), замѣняющій собою способы нашей второй группы, — разсматриваемые съ такой точки зрѣнія и прилагаемые въ своемъ наиболѣе общемъ и отвлеченномъ значеніи, оправдываютъ наставленіе знаменитаго творца Небесной Механики: «Предпочитайте общіе способы, старайтесь излагать ихъ по возможности просто, — и вы увидите, что они всегда будутъ въ то же время самые простые»^[24]. Лакруа, съ авторитетомъ, который онъ имѣетъ въ наукѣ по своей громадной опытности и глубокимъ познаніямъ, прибавилъ къ этому: «общіе способы вмѣстѣ съ тѣмъ раскрываютъ лучше всего истинно - философскій смыслъ науки»^[25].

Примѣчанія.

1. Подобная же теорема объ отрѣзкахъ, образуемыхъ на сторонахъ треугольника прямыми, проведенными изъ одной точки къ вершинамъ треугольника, относится также къ основнымъ теоремамъ теоріи трансверсалей. Ее приписывали до сихъ поръ Ивану Бернулли, но она въ первый разъ была доказана Чевой (См. Прим. VII).
2. Institutiones geometricae. L. I.
3. Elementa curvilinea. L. I.
4. P. Nicolas въ сочиненіи De conchoidibus et cissoidibus exercitationes geometricae (in—4°, Tolosae, 1692) также употреблялъ этотъ способъ; кривыя, получаемыя при этомъ, онъ называлъ однородными (homogènes).
5. Ординаты можно въ то же время пропорціонально увеличивать. Гашеттъ употреблялъ такое преобразованіе въ двухъ предложеніяхъ для доказательства, что свойствомъ стереографической проэкціи сферы могутъ обладать только поверхноети втораго порядка. (См. Correspondance polytechnique, t. I, p. 77).
   Легко видѣть, что такое преобразованіе можетъ быть приведено къ измѣненію въ постоянномъ отношеніи ординатъ поверхности, имѣющихъ неизмѣнное направленіе.
6. Обыкновенно думаютъ, что построеніе барельефовъ не подчиняется точнымъ правиламъ; два вѣка тому назадъ большинство художниковъ думали то же самое о перспективѣ. Однако Боссъ далъ нѣсколько геометрическихъ правилъ построенія барельефа, какъ это видно изъ его сочиненія Traité des pratiques géométrales et perspectives (in—8°, 1665). Въ одномъ мѣстѣ этого сочиненія сказано, что Дезаргъ, которому принадлежитъ честь введенія въ стронтельное искусство геометрическихъ началъ со всею ихъ строгостію, прилагалъ свой способъ перспегтивы къ построенію барельефовъ. Позволительно думать, что Боссъ передаетъ намъ идеи Дезарга или даже самый пріемъ его.
   Далѣе встрѣчаемъ подобныя же правила для барельефовъ въ трактатѣ о перспективѣ Петито, подъ заглавіемъ: Raisonnement sur la perspective, pour en faciliter l'usage aux artistes; in—fol. Парма, 1758 (по-французски и по-итальянски).
   Правила построенія барельефовъ представляютъ преобразованіе фигуръ въ другія такого же рода и потому должны быть включены въ наше перечисленіе методовъ. Правда, что они почти никому неизвѣстны и никогда не употреблялись въ раціональной геометріи для изысканія и доказательства свойствъ фигуръ; тѣмъ не менѣе они могутъ служить для такого назначенія.
7. Сочиненіе Брейзига извѣстно намъ только по заглавію, упоминаемому Понселе (Crelle's Journal, t. 8, p. 397); но мы безъ колебаній относимъ содержащееся тамъ построеніе рельефовъ къ числу способовъ преобразованія фигуръ трехъ измѣреній въ другія того же рода, потому что Понселе заявляетъ, что пріемы автора согласны съ его собственными способами построеній этого рода.
8. Варингъ употребляетъ соотношенія

   $x={\frac {px'+qy'+r}{Ax'+By'+C}},\quad y={\frac {Px'+Qy'+R}{Ax'+By'+C}}$,

   въ которыхъ $x,y$ суть координаты точки данной кривой, a $x',y'$ координаты точки кривой преобразованной.
   Онъ даетъ это преобразованіе какъ обобщеніе Ньютонова преобразованія, въ которомъ

   $x={\frac {r}{x'}},\quad y={\frac {Qy'}{x'}}$

   (Principia, lib. I, lemma 22), и ограничивается указаніемъ, что новая кривая будетъ той же степени какъ и данная (Miscellanea analytica, p. 82; Proprietates curvarum algebraicarum, p. 240).
   Мы докажемъ, что построенныя такимъ образомъ кривыя, также какъ и кривыя Ньютона, могутъ быть получены посредствомъ перспективы; такимъ образомъ обобщеніе Варинга касается только положенія новой кривой относительно данной, но не касается ни формы, ни отличительныхъ особенностей ея.
9. Эйлеръ указалъ этотъ способъ преобразованія для плоскихъ кривыхъ, но безъ приложеній: по его выраженію кривыя, получаемыя такимъ образомъ одна изъ другой, находятся въ сродствѣ (affinitas) и онъ называетъ ихъ lineae affines. (Introductio in analysin infinitorum, lib II, art 442).
10. Въ недавнее время Ле-Франсуа воспользовался теоріею гомологическихъ фигуръ для преобразованія нѣкоторыхъ кривыхъ третьяго порядка, преимущественно фокальныхъ линій Кетле и Фанъ-Риса. (Dissertatio inauguralis mathematica de quibusdam curvis geometricis; m—4° Gand. 1830). Пріемъ этого геометра отличается отъ способа Понселе тѣмъ, что для построенія гомологическихъ кривыхъ употребляется здѣсь одно изъ ихъ метрическихъ соотношеній. Это соотношеніе, именно — гармоническое, не есть самое общее: можно пользоваться отношеніемъ ангармоническимъ, которое сообщаетъ построенію фигуръ болѣе общности. Къ этому вопросу мы возвращаемся въ нашемъ мемуарѣ о гомографическомъ преобразованіи.
    Такъ какъ главная часть этого мемуара посвящена изслѣдованію метрическихъ соотношеній, то мы позволяемъ себѣ напомнить здѣсь, что нашъ мемуаръ представленъ въ Брюссельскую Академію въ январѣ 1830 года, т.-е. ранѣе появленія диссертаціи г. Ле-Франсуа, которую мы получили отъ автора позднѣе.
11. Теорія стереографическихъ проэкцій сферы въ томъ видѣ, какъ она употребляется теперь въ чистой геометріи, основывается на двухъ слѣдующихъ принципахъ:
    1. Проэкція всякаго круга, проведеннаго на сферѣ, есть кругъ.
    2. Центръ этого круга есть проэкція вершины конуса, огибающаго сферу по пролагаемому кругу.
    Вторая теорема, столь же важная какъ и первая, стала извѣстна только нѣсколько лѣтъ тому назадъ; въ первый разъ мы высказали и аналитически доказали ее въ изданіи 1817 года Eléments de Géométrie à trois dimensions de Hachette. Потомъ путемъ геометрическихъ coображеній, мы примѣнили теорію стереографическихъ проэкцій ко всякой поверхности втораго порядка и обобщили эту теорію въ двухъ отношеніяхъ: 1°) разсматривая, вмѣсто плоскихъ сѣченій, поверхности втораго порядка, вписанныя въ данную, 2°) принимая за плоскость проэкціи какую угодно плоскость. (См. Annales de Mathématiques, t. XVIII, p. 305 и t. XIX, p. 157).
12. Такъ напримѣръ, Дюпенъ въ своемъ прекрасномъ сочиненіи Théorie géométrique de la courbure des surfaces не вполнѣ освободился отъ аналитическихъ соображеній при доказательствѣ такого предложенія: „Двѣ поверхности втораго порядка, которыхъ главныя сѣченія имѣютъ одни и тѣ же фокусы, пересѣкаются во всѣхъ точкахъ подъ прямымъ угломъ". Новѣйшіе методы различнымъ образомъ ведутъ къ чисто-геометрическому доказательству этой теоремы.
    Чтобы дать примѣръ силы этихъ методовъ, скажемъ, что съ помощію ихъ достигается также легко доказательство слѣдующаго гораздо болѣе общаго предложенія: Если главныя сѣченія двухъ поверхностей втораго порядка имѣютъ одни и тѣ же фокусы, то контуры, получаемые при разсматриваніи этихъ поверхностей изъ какой угодно точки пространства, пересѣкаются между собою подъ прямыми углами.
    Прибавимъ еще, что прекрасные результаты, заключающіеся въ мемуарѣ Бине Sur les axes conjugués et les moments d'inertie des corps (Journal de l'école polytechnique, 16-e cahier), гдѣ авторъ пользуется вышеупомянутою теоремою Дюпена, и подобные же результаты, полученные Амперомъ въ мемуарѣ: Quelques propriétés nouvelles des axes permanents de rotation des corps, — всѣ эти прекрасныя открытія, причисляемыя къ области механики и сдѣланныя авторами при помощи анализа, могутъ также быть получены путемъ чисто-геометрическимъ; слѣдуетъ, можетъ быть, признать, что такой путь естественнѣе соединяетъ эти разнообразныя открытія съ истинами, лежащими въ ихъ основѣ, лучше указываетъ связь ихъ между собою и ведетъ къ болѣе удобному и болѣе раціональному изложенію ихъ.
    Такимъ образомъ геометрія, расширяя свои границы, всегда вноситъ свой свѣточъ во всякій новый отдѣлъ физико-математическихъ наукъ.
13. Построеніе касательныхъ. Чтобы опредѣлить касательную въ точкѣ $m$ геометрической кривой какого угодно порядка, проведемъ черезъ эту точку по произвольнымъ направленіямъ двѣ трансверсали $mA,mA'$; составимъ произведенія отрѣзковъ, образующихся на этихъ прямыхъ между точкою $m$ и всѣми другими точками пересѣченія ихъ съ кривою; пусть эти два произведенія будутъ $P$ и $P'$.
    Черезъ произвольную точку $u$ проводимъ двѣ трансверсали, параллельныя прямымъ $mA,mA'$; составляемъ произведенія отрѣзковъ, образующихся на нихъ между точкою $u$ и кривою; пусть эти произведенія будутъ $\Pi$ и $\Pi '$.
    Отложимъ на прямыхъ $mA,mA'$, начиная отъ точки $m$, соотвѣтственно два отрѣзка, пропорціональные отношеніямъ ${\tfrac {\Pi }{P}},{\tfrac {\Pi '}{P'}}$: — прямая, соединяюшая концы этихь отрѣзковъ, будетъ параллельна касательной въ точкѣ $m$.
    Такимъ образомъ направлеаіе касательной опредѣлено.
    Можно также построить прямо направленіе нормали. Для этого на двухъ трансверсаляхъ, выходящихъ изъ точки $m$, откладываемъ отрѣзки пропорціональные отношеніямъ ${\tfrac {P}{\Pi }},\,{\tfrac {P'}{\Pi '}}$; черезъ концы этихъ отрѣзковъ и черезъ точку $m$ проводимъ кругъ: центръ его будетъ лежать на нормали къ кривой въ точкѣ $m$.
    Построеніе круговъ кривизны. Чтобы опредѣлить кругъ кривизны въ точкѣ $m$ геометрической кривой, проведемъ черезъ эту точку касательную къ кривой и какую-нибудь трансверсаль $mA$; составимъ произведеніе отрѣзковъ, заключающихся на этихъ двухъ прямыхъ между точкою $m$ и другими вѣтвями кривой. Пусть $T$ и $P$ будутъ эти произведенія.
    Черезъ произвольную точку $\mu$ проведемъ двѣ прямыя, параллельныя касательной и трансверсали; составимъ произведеніе отрѣзковъ на этихъ параллеляхъ между точкою $\mu$ и кривою; пусть эти произведенія будутъ $\mathrm {T}$ и $\Pi$.
    Отложимъ на трансверсали $mA$ отрѣзокъ равный ${\tfrac {P}{\Pi }}.{\tfrac {\mathrm {T} }{T}}$: конецъ этого отрѣзка будетъ лежать на искомомъ кругѣ кривизны.
    Изъ этого построенія слѣдуетъ, что, если означимъ черезъ $\Theta$ уголъ между трансверсалью $mA$ и касательной, величина $R$ радіуса кривизны будетъ: $R={\tfrac {1}{2\sin \Theta }}.{\tfrac {P}{\Pi }}.{\tfrac {\mathrm {T} }{T}}$.
    Если кривая m-ой степени, то произведенія $\mathrm {T}$ и $\Pi$ будутъ состоять изъ $m$ линейныхъ множителей, $P$ — изъ $m-1$, a $T$ — изъ $m-2$. Когда кривая начерчена, то эти множители будутъ отрѣзки на трансверсаляхъ; если же кривая дана уравненіемъ, то изъ вего найдемъ непосредственно величины четырехъ произведеній $P,T,\Pi ,\mathrm {T}$, какъ это извѣстно изъ общей теоріи уравненій.
    Кривая должна быть начерчена вполнѣ, т.-е. со всѣми своими вѣтвями, чтобы число точекъ пересѣченія съ трансверсалями соотвѣтствовало порядку кривой. Если, напримѣръ, кривая принадлежитъ къ числу линій четвертаго порядка, называемыхъ овалами Декарта, то нужно знать и второй сопутствующий овалъ (compagne), обдадающій тѣми же свойствами; онъ не указывается въ построеніяхъ данныхъ Декартомъ и другими геометрами, но заключается въ томъ же уравненіи (См. Прим. XXI).
    Предыдущія построенія могутъ быть упрощены, потому что вмѣсто четырехъ попарно параллельныхъ трансверсалей можно провести только три, изъ которыхъ двѣ должны выходить изъ разсматриваемой точки кривой, a третья можетъ быть проведена произвольно. Это видоизмѣненіе въ рѣшеніи разсматриваемыхъ задачъ основывается на прекрасномъ общемъ свойствѣ геометрическихъ кривыхъ, данномъ Карно въ Géométrie de position, p. 291.
    Понселе также даетъ построеніе касательныхъ къ геометрическимъ кривымъ въ мемуарѣ, представлевномъ Парижской Академіи Наукъ въ сентябрѣ 1831 года: Analyse des transversales, appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géométriques (Crelle's Journal, t. VII, p. 229).
14. Мы уже говорили [въ § II.3], что теорема, на которой основывается двойственность этого рода, дана была Снелліемъ и что открытіе ея было подготовлено преобразованіемъ сферическихъ треугольниковъ, которое употреблялъ Вьетъ при рѣшеніи нѣкоторыхъ вопросовъ сферической тригонометріи.
15. Доказательство этой теоремы чрезвычайно просто. Оно изложено въ Примѣчаніи XXIX.
16. Наше замѣчаніе о степени общности теоріи взаимныхъ поляръ относится только къ геометрическому, а не аналитическому смыслу этой теоріи; въ аналитическомъ же смыслѣ радіусъ сферы, относительно которой берутся поляры, можетъ быть мнимый и тогда полярныя плоскости точекъ данной фигуры будутъ проходить по другую сторону, относительно точки представляющей центръ.
17. Доказательство этой теоремы мы дадимъ въ сочиненіи о геометрическихъ свойствахъ движеніи свободнаго твердаго тѣла въ пространствѣ.
18. Это потому, что прямыя, соединяющія четыре вершины тетраэдра съ полюсами противоположныхъ граней, относительно какой угодно поверхности втораго порядка, суть образующія одного рода образованія гиперболоида съ одною полостію.
    Теорема эта, доказанная вами въ Annales de Mathématiques t. XIX, p. 76, доставляетъ множество слѣдствій. Изъ нея, напримѣръ, выходитъ, что четыре перпендикуляра, опущенные изъ вершинъ тетраэдра на противоположныя грани, суть четыре образующія одного рода образованія гиперболоида.
19. Crelle's Journal t. IV. Мемуаръ этотъ былъ представленъ Парижской Академіп Наукъ 12-го апрѣля 1824 г.
20. Annales de Mathématiques, t. XVIII, 1827—1828 г.
21. Correspondence mathématique de Quetelet, t. V et VI.
22. Мемуаръ Понселе о взаимныхъ полярахъ.
23. Приведемъ для примѣра одно изъ такихъ свойствъ, выражаемое слѣдующею теоремой: Если проведемъ къ геометрической кривой всѣ касательныя параллельныя данному направленію, то центръ среднихъ разстояній ихъ точекъ будетъ находиться въ точкѣ, положеніе которой остается одно и тоже при всякомъ направленіи параллельныхъ касательныхъ. Точку эту мы назвали центромъ кривой. Тѣмъ же свойствомъ обладаютъ и геометрическія поверхности.
24. Séances des écoles normales, in—8°, 1800, t. IV, p. 49.
25. Essais sur l'enseignement, 3-e éd. in—8°, 1828.