Симметрия есть свойство некоторых фигур быть так составленными из равных частей, что мы можем придавать такой фигуре разные положения, но во всех этих положениях фигура представляется совершенно одинаковою, как-будто мы этого положения и не изменяли; напр., на какую бы из шести граней мы ни положили куб, он остается неизменным, как-будто мы его не трогали; если цилиндр или конус мы положим на бумагу и очертим круг основания, то как бы мы их ни повертывали по этому кругу, их форма при рассматривании абсолютно не меняется, как-будто они оставались неподвижными. Цветок шиповника мы можем пять раз повернуть около его стержня, цветы крестоцветных также мы можем четыре раза поворачивать около стержня, и их внешний вид не меняется.
С. всегда вызывает особое чувство удовольствия, почему очень часто в домашней обстановке ей уделяют большое внимание. Для забавы устраивают даже особые игрушки, вызывающие приятное впечатление своею C., напр., калейдоскопы, главною частью которых являются зеркала. Ведь каждое зеркало удваивает каждый видимый предмет, и пара таких предметов составляет уже один симметричный. Таковыми являются многие предметы природы, в частности, почти все животные и в числе их сам человек, в котором можно отличать правую и левую половины, обе равные по облику, как-будто одна половина отражена в зеркале, чтобы получить вторую половину.
Вообще, понятие о С. играет в человеческом опыте и мышлении громадную роль, начиная от наиболее точной и совершенной его основы — мышления математического. Напр., формулу a² = b² + c², выражающую знаменитую Пифагорову теорему, если a означает гипотенузу, a b и c катеты прямоугольного треугольника, мы называем симметричною по отношению к b и c, потому что обе эти величины играют в формуле одинаковую роль, a в частности могут быть равны (и тогда мы получаем симметричный треугольник). Иногда, вывод самых сложных теорем и формул упрощается до крайности, если можно воспользоваться симметричностью выражений или образов.
Однако, несмотря на такую универсальность значения понятия о C., a может-быть, именно благодаря этой универсальности, точная разработка учения o С. дело самых недавних дней, и поводом для этого послужило изучение форм кристаллов, логически приведшее к необходимости этого изучения в самом общем виде, то-есть к выработке математического учения o С.
Но и это достигнуто не в один прием. Полный вывод видов C., представленных в кристаллах, впервые сделан Гесселем в 1829 г. в книге „Krystall“, вошедшей в состав Gelehr‘s „Physikalisches Wörterbuch“, и с новой точки зрения повторен в 1866 г. A. В. Гадолиным в небольшом сочинении „Вывод всех кристаллографических систем и их подразделений из одного общего начала“. Полный же вывод всех вообще возможных видов С. впервые сделан E. С. Федоровым в 1881 г. (когда в рукописи был представлен академику Чебышову) в сочинении „Начала учения о фигурах“, где, впрочем, учение o С. составляет одну из пяти глав. Сочинение вышло из печати в 1885 г. В самые последние годы (1907) A. К. Болдыревым посвящена большая работа „Основы геометрического учения o С.“ исчерпывающей обработке вопроса об элементах С. с приведением обширной литературы.
Мы видели, что из понятия о С. прежде всего вытекает, что симметрический предмет может быть представлен в нескольких положениях, не изменяя своей видимости. Поэтому первый вопрос, возникающий при изучении C., есть вопрос о том, как мы можем менять эти положения и сколько в каждом частном случае таких положений.
На вопрос „как“ отвечает понятие элемент С., a на вопрос „сколько“ — понятие величины С., то-есть некоторое число и притом непременно целое.
Ближайшее изучение показало, что в применении к ограниченным предметам [1] элементами С. могут быть 1) оси С., 2) плоскости С. и 3) элементы сложной С., на которые можно смотреть как на неразделимые сочетания осей и плоскостей С. С понятием оси С. связан простой поворот около нее на некоторый угол; если этот угол соответствует половине полного оборота, то ось назыв. двойною; если он соответствует трети того же оборота, то ось назыв. тройною; если четверти, то ось называется четверною и т. д. Напр., куб, лежащий на квадрате, мы можем поворачивать четыре раза около его вертикальной оси, a потому эта ось есть четверная ось С. Понятие о плоскости С. неразличимо от эффекта, который был бы вызван двухсторонним зеркалом бесконечно малой толщины. Наконец, ради легчайшего усвоения понятия о сложной С. прилагаются две фигуры с показанными на них вертикальными осями и горизонтальными плоскостями сложной С. (фиг. 1 и 2).
На первой фигуре ось сложной С. есть шестерная, что усматривается из порядка вывода последовательного ряда узких граней, отмеченных цифрами 1…6. Напр., чтобы перейти от грани 1 к грани 2, нужно около оси повернуть на одну шестую часть полного оборота и, кроме того, отразить в горизонтальной плоскости. To же нужно сделать и при переходе от грани 2 к грани 3. При этом суммируются два поворота около оси на 60°, a два отражения, напротив того, взаимно уничтожаются, так что для того, чтобы от грани 1 перейти к грани 3, вовсе и не нужно отражений, a достаточно около оси повернуть на угол 60° + 60° = 120°, a потому шестерная ось сложной С. есть в то же время простая тройная ось С.
На фигуре 2 показана фигура, обладающая четверною осью сложной С., которая одновременно есть простая двойная ось С.
Отсюда видим, что оси сложной С. имеют четное наименование, и простейшим возможным случаем будет двойная ось сложной C., которой соответствует поворот на 180°, нераздельно связанный с отражением в горизонтальной плоскости. Но так как 180° = 60° + 60° + 60°, то эффект, вызываемый таковою осью, мы можем видеть из фигуры 1, если перейдем от грани 1 к грани 4. Нетрудно понять, что эти две грани должны быть параллельны. Это можно выразить иначе в виде центра обратного равенства в точке пересечения оси и плоскости сложной С. Поэтому понятие двойной оси сложной С. неразличимо от понятия центра обратного равенства.
Мы видим, что изменения положения симметрической фигуры, приводящие ее в совмещение с первоначальным положением, бывают двоякого рода: или 1) мы просто можем повернуть около некоторой оси (симметрии), то-есть произвести простое движение, или же 2) к этому движению необходимо присоединить отражение, и тогда является симметричность. Напр., если фигуру 1 мы просто повернем около оcи на 60°, то от этого свойство фигуры, конечно, не изменяется; она остается сама собою, и в то же время, отражаясь в горизонтальной плоскости, снова совпадает со своим первоначальным положением, то-есть опять-таки сама с собою. Но если, отражая в плоскости, мы получим из одной пару несовместимых фигур, по существу отличных, как мы отличаем правую руку от левой, то такая фигура, взятая отдельно, может быть совмещена сама с собою только некоторым движением, то-есть вращением около осей С.
Поэтому сама С. распадается на два существенно различных разряда: 1) С. совмещения, когда в фигуре имеются только оси С. и 2) симметричность, когда фигуру можно совместить и с ее отражением в зеркале. В последнем случае ее уже нельзя различать от отражения, как мы отличаем правую от левой: обе части в ней как бы уже совмещены. Такую симметричную фигуру мы получили бы, например, если бы обе руки приложили ладонями друг к другу и рассматривали эту пару как одно целое. Такими же являются и все фигуры, обладающие как плоскостями С., так и сложною С.
Рассматривая какую-нибудь фигуру, напр., куб, мы можем в ней найти много разных элементов С., a полная их совокупность составит один из бесконечного множества вообще мыслимых видов С.
Между ними можно выделить легко понимаемые бесконечные ряды. Напр., такой ряд мы можем получить, если в основу положим одну единственную ось С. В этом случае непосредственно получаем и число, определяющее величину С. Двойная ось определяет число два, тройная — три, четверная — четыре и т. д. Напр., если возьмем произвольную плоскость, то в случае двойной оси С. из этой плоскости вращением около оси получим фигуру, ограниченную двумя плоскостями, в случае тройной оси С. — тремя плоскостями, и т. д.
Ta фигура, которая выводится из одной единственной плоскости, придавая ей все положения, которые она может получить при данной совокупности элементов С., называется простою формою. Если же мы то же проделали не с одною, a с двумя или большим числом плоскостей, то получили бы комбинацию простых форм, так как каждая плоскость, взятая отдельно, привела бы к простой форме, a полная совокупность составилась бы из нескольких таких простых форм [2]. Этим определяется значение понятия простой формы. Имея название для простой формы, мы этим самым охарактеризовали бы совокупность представленных элементов C., и притом число граней простой формы выразило бы величину С.
Если в общем случае из одной плоскости мы выводим простую форму с числом граней, равным величине С., то в частных случаях можно придать плоскости и такое положение, что получится простая форма с меньшим числом граней. Напр., если данная грань, перпендикулярна к плоскости С., то при отражении она совмещается сама с собой, a вместо двух получается всего одна грань. Если плоскость перпендикулярна к оси С., то, каково бы ни было наименование этой оси, всегда все выводящиеся из нее грани сливаются в одну единственную.
Соответственно этому различают формы общие и специальные; только в первых число граней равно величине С.; во вторых же оно уже меньше. Если плоскость одновременно перпендикулярна, напр., к тройной оси С. и к проходящей чрез нее плоскости С., то в одну сливается уже не три, a целых шесть граней, так как в этом случае из одной плоскости С. уже выводится таковых три, и плоскость будет перпендикулярна ко всем. Напр., для куба или октаэдра величина С. выводится в виде числа 48; но в самом октаэдре только 8 граней, потому что его грани одновременно перпендикулярны и к тройным осям С., и к проходящим чрез них плоскостям С. В кубе всего 6 граней, потому что его грани перпендикулярны не только к четверной оси С., но и к четырем, проходящим чрез нее, плоскостям С.
Кроме специальных, можно по особому положению данной плоскости отличать еще частные формы, хотя бы общее число граней такой формы и оставалось равным величине С. Напр., если возьмем плоскость, параллельную оси C., то и все грани простой формы будут параллельны этой оси или равным ей осям: ведь этот случай отличается тем, что взятая плоскость пересекает ось С. в точке бесконечно удаленной, a потому в той же точке будут пересекаться все грани, выводящиеся из данной вращением около этой оси, и такие грани будут пересекаться в параллельных прямых (совокупность таких граней в кристаллографии называется поясом; cp. XXV, 602). Если, напр., имеется четверная ось С., то в общем случае плоскость пересекает эту ось в некоторой точке, a выводящиеся из нее четыре грани образуют тетрагональную пирамиду, имеющую в ней свою вершину (точнее, центр); но если плоскость параллельна оси, то получается частная форма — тетрагональная призма.
Всегда же грани простых форм есть равные (или симметричные) многоугольники (такие формы называются равногранниками, или изоэдрами), и всегда же все грани простой формы могут быть описаны около шара (типические многогранники). Это непосредственно вытекает из понятия об элементах С.
Хотя сочетаний элементов С. и бесконечное множество, но простые формы каждого такого случая легко получают характеризующее их название, которым одновременно характеризуется и вид С.
Возможность определенных названий для бесконечного множества случаев подразумевает особую номенклатуру общих простых форм. Она установлена довольно положительно за некоторыми исключениями, в которых ученые несколько расходятся между собою. Основание номенклатуры отчасти коренится в названиях, примененных для некоторых форм еще в древности, отчасти заимствуются от названий многоугольников, составляющих грани простых форм.
Правильные многоугольники, начиная с треугольника, получают греческие названия: „тригон“, „тетрагон“, „пентагон“, „гексагон“ и т. д. Если каждую сторону правильного многоугольника мы заменим парою равных сторон, то получаются полуправильные многоугольники: „дитригон“ (фиг. 3), „дитетрагон“ (фиг. 4), „дипентагон“, „дигексагон“ и т. д.
Неправильный треугольник получает название „скалена“; неправильные четырехугольники получают название „трапеца“; если же он по диагонали разделяется симметрично (фиг. 5), то называется „дельтоид“; частный вид дельтоида есть „ромб“, a именно, когда равны все четыре стороны.
Для некоторых простых форм пришлось вводить названия в последнее время за отсутствием таковых в прежнее. Если возьмем многоугольник, имеющий центр, из этого центра восставим перпендикуляр, a из какой-нибудь точки этого перпендикуляра проведем плоскости через стороны многоугольника, то получим „пирамиду“, напр., тригональную (фиг. 6), или дитригональную (фиг. 7), тетрагональн. или дитетрагональн. и т. д. В простейшем случае двойной оси С. из одной плоскости вращением около оси получаем две плоскости, пересекающиеся в прямой, проходящей через точку на оси С. Как простая форма она названа „гемипризмою“ (другие авторы называют „сфеноидом“, хотя это название было уже применено к неправильному четырехграннику). Если основание пирамиды ромб, то она называется „ромбическою“ и имеет пределом „ромбическую призму“. Если плоскость основания пирамиды мы примем за плоскость C., то получаем фигуру из двух пирамид, имеющих общее основание, или „бипирамид“, напр., тетрагональную (фиг. 8), дитетрагональную (фиг. 9), гексагональную, дигексагональную и т. д.
Ясно, что как пирамид, так и бипирамид существуют бесконечные ряды. Первые получаются при существовании лишь единственной оси С. (пирамиды с основаниями — правильными многоугольниками), или же в случае, если имеются еще плоскости C., проходящие через эти оси (пирамиды с основаниями — полуправильными многоугольниками). Из последних в качестве простейших (когда ось С. двойная) выделяются те, основания которых ромбы, то есть пирамиды и бипирамиды ромбические.
Если бы, изменяя наклон граней, мы дошли до положения перпендикулярности к оси C., то бипирамиды превратились бы в пары параллельных плоскостей или „пинакоиды“, a пирамиды в одиночные плоскости или „гемипинакоиды“ (иногда их еще называют „педионами“).
Если, кроме „главной“ оси С., имеются еще двойные оси, к ней перпендикулярные (к тройной оси три, к четверной четыре и т. д.), то получаются „трапецоэдры“ (изоэдры, коих грани трапецы), напр., тригональный (фиг. 10), тетрагональный (фиг. 11) трапецоэдры и т. д. В простейшем случае, когда главная ось двойная, или, правильнее, когда главной оси вовсе не имеется, получается „ромбический сфеноэдр“ (фиг. 12, на которой пунктиром показано положение двойных осей С.). Он называется ромбическим, потому что в трех плоскостях, проходящих чрез две из осей, он пересекается в ромбах. Хотя грани трапецоэдров и неправильные четырехугольники, но все-таки две стороны, пересекающиеся в главной оси C., должны быть равны, так как совмещаются при вращении около этой оси. В частном случае могут быть равны и две другие стороны, и тогда грань становится дельтоидом, получается частная форма „дельтоэдр“. При этом тригональный трапецоэдр получает форму граней в виде ромбов и называется „ромбоэдр“. Если же взять плоскость, перпендикулярную к плоскости, проходящей через оси главную и одну двойную, то получается другая частная форма — „бипирамида“; если притом плоскость параллельна главной оси, то бипирамида превращается в правильную (напр., тригональную) призму. Вообще же из плоскости, параллельной главной оси, получается полуправильная (напр., дитригональная) призма. Грани правильных призм, так же как и пинакоид, есть уже формы специальные.
Если чрез главную ось С. проходят плоскости С. не через двойные оси С., a по средине между ними (так что одна двойная ось С., отражаясь, совмещается с другою), то общею формою является „скаленоэдр“, напр., тетрагональный (фиг. 13), гексагональный (фиг. 14) и т. д. Частною формою скаленоэдра, когда делаются равными две стороны треугольника (пересекающиеся в точке на главной оси C.), является бипирамида. Специальными же формами являются те, коих грани или перпендикулярны к плоскости С. или к одной из осей С. В первом случае вообще являются дельтоэдры (напр., тетрагональный, фиг. 15 и выше); но тригональный дельтоэдр (как специальная форма гексагонального скаленоэдра) есть „ромбоэдр“ (фиг. 16), a частною формою тетрагонального скаленоэдра является „сфеноэдр“ (фиг. 17), отличающийся от ромбического тем, что в плоскости, проходящей чрез двойные оси С., он пересекается в виде квадрата (а не ромба). Из грани перпендикулярной к двойной оси получается правильная (напр., тригональная или тетрагональная) призма, a из грани, перпендикулярной к главной оси, получается пинакоид.
В скаленоэдрических видах С. главная ось С. есть в то же время ось сложной С. вдвое большего наименования. Напр., в тетрагональном скаленоэдре, как ось С. она только двойная, и не была бы главною осью, если бы одновременно не представляла собою четверной оси сложной С.
Если не имеется никаких других элементов С., кроме осей сложной С., то общими являются те самые формы (дельтоэдры и, в частности, ромбоэдр и тетрагональный сфеноэдр), которые в предыдущем случае играли роль форм специальных.
Если имеется только одна плоскость С. и больше ничего, то из одной плоскости получается в качестве общей формы две плоскости, пересекающиеся в прямой на плоскости С. Эта форма ничем не отличается от вышеупомянутой гемипризмы. Поэтому в отличие от последней, называемой „осевою“, эту называют „безосною“ (некоторые называют еще „домою“). Наконец, если вообще нет никаких элементов С., то, конечно, из взятой плоскости ничего больше не выводится, и она представляет общую форму и называется „гемипинакоидом“ и уже никаких частных и специальных форм здесь не имеется, так же как и в том случае, когда представлен только центр обратного равенства и общею формою являются две параллельные грани или „пинакоид“.
После всего изложенного нетрудно вывести и расклассифицировать все виды С., составляющие бесконечные ряды. Но так как из них на кристаллах проявляются как раз простейшие члены этих рядов, хорошо укладывающиеся в группы по видам сингонии (см.), то достаточно ограничиться приведением их одних с указанием величины С. для каждого.
Если в приведенной таблице заключаются простейшие члены бесконечных рядов, то с другого конца эти ряды замыкаются такими видами C., в состав которых входит ось С. бесконечно-большого наименования, то-есть ось вращения, потому что те формы (тела вращения), которые обладают этою осью, совмещаются сами с собою при вращении около оси на какой-угодно малый угол. Эта ось может быть дана как единственная, и тогда общею фигурою является конус, частною цилиндр, a специальною пинакоид; это, следовательно, конический вид С. Или же ось вращения может сочетаться с бесконечным числом перпендикулярных двойных осей С., a это не отличается от того случая, когда к этой оси прибавляется перпендикулярная плоскость С. Прибавление же плоскостей С., проходящих чрез ось, не даст ничего нового. Поэтому в этом втором случае общею фигурою является биконус, и возникает биконический вид С. Наконец, совершенно специальным является сферический вид С., для которого общею формою является шар или сфера. В этом случае все диаметральные прямые в шаре есть оси вращения, и нет никаких больше частных или специальных форм.
Но этот случай уже можно отнести к тем немногим видам C., которые выводятся из правильных многогранников. Кроме сферического, сюда относятся еще следующие семь видов C., из коих два относятся к тетраэдру, три к кубу и октаэдру и два к додекаэдру и икосаэдру.
В правильном тетраэдре четыре тройные оси С. соединяют вершины с центрами противолежащих граней, a три двойные оси С. соединяют средины противолежащих ребер. Имеются еще плоскости С., проходящие чрез двойные и тройные оси.
Мы можем различать два вида C., характеризующиеся этими осями С.: 1) с приведенными плоскостями С. и 2) без всяких плоскостей С.
Первый называется гексакис-тетраэдрическим, a второй тетартоэдрическим видом С.
В первом общею фигурою является „гексакис-тетраэдр (фиг. 18), то-есть 24-гранник с гранями неправильными треугольниками. В вершинах, находящихся на двойных осях, пересекается по 4, a в вершинах на тройных осях пересекается по шести граней. Все ребра, то-есть стороны треугольников, находятся в плоскостях С. Двойные оси одновременно и четверные оси сложной С.
Частною формою является „пирамидальный куб“, когда плоскость взята так, что получается равнобедренный треугольник с равными сторонами, пересекающимися на двойной оси С. (фиг. 19). Специальными формами в случае, когда плоскость взята перпендикулярно к плоскости С., „триакис-тетраэдр“ с гранями — дельтоидами (фиг. 20) и „пирамидальный тетраэдр“ с гранями — равнобедренными треугольниками (фиг. 21). Если плоскость перпендикулярна к тройной оси, то получается тетраэдр, a если перпендикулярна к двойной оси, то куб. „Ромбический додекаэдр“ (фиг. 22) есть лишь частная форма триакис-тетраэдра, когда дельтоид становится ромбом.
Во втором общею фигурою является „тетартоэдр“ или „тригональный пентагон-изоэдр“ (фиг. 23). Грани — неправильные пятиугольники; однако пары сторон, пересекающиеся в тройных осях, должны быть равны, так как совмещаются при повороте около этих осей. Частными формами являются здесь триакис-тетраэдр и пирамидальный тетраэдр, a также „пентагональный додекаэдр“ (фиг. 24), для которого обе пары сторон делаются равными одновременно, a через средину пятой стороны проходит, как во всех тетартоэдрах, двойная ось. Еще более частный случай получается, когда и эта пятая сторона делается равною остальным и получается правильный додекаэдр. Напротив того, если пятая сторона сокращается до нуля, то получается, как частная форма, ромбический додекаэдр и здесь специальными формами являются куб и тетраэдр.
В кубе и октаэдре имеются все те же элементы С., что и в тетраэдре, но вместо двойных осей становятся уже четверные оси С. и прибавляется еще 6 двойных осей С., соединяющих средины противолежащих ребер (и образующих биссектрисы как тройных, так и четверных осей C.). Кроме плоскостей С. тетраэдра (параллельных граням ромбического додекаэдра), здесь имеются еще плоскости С., проходящие через каждые две четверные оси, то-есть параллельные граням куба.
Здесь мы можем различать три вида C.: 1) со всеми приведенными здесь элементами С., 2) со всеми приведенными здесь осями С., но вовсе без плоскостей С. и 3) такой, при котором исчезают плоскости C., параллельные граням ромбического додекаэдра и вместе с тем четверные оси становятся двойными осями C., a другие двойные оси вовсе исчезают.
Первый вид С. называется гексакис-октаэдрическим, второй — гироэдрическим, а третий диакис-додекаэдрическим.
В первом общею фигурою является „гексакис-октаэдр“ (фиг. 25), то-есть 48-гранник с гранями — неправильными треугольниками. В вершинах на четверных осях пересекается по восьми, в вершинах на тройных осях — по шести, a в вершинах на двойных осях — по четыре грани. Особых частных форм не имеется. Из специальных те, у которых грани перпендикулярны к плоскостям С., параллельным граням куба, есть уже упомянутые „пирамидальные кубы“ (фиг. 19). Если грани перпендикулярны к другим плоскостям C., то получаются „триакис-октаэдры“ (фиг. 26) с гранями — дельтоидами и „пирамидальные октаэдры“ с гранями — равнобедренными треугольниками (фиг. 27). В первых в вершинах на четверных осях пересекается по четыре, a в вершинах на тройных осях — по три грани; во вторых в вершинах на четверных осях пересекается по восьми, a в вершинах на двойных осях — только по две грани, то-есть двойные оси проходят через средины ребер. Специальные формы, с гранями перпендикулярн. к четверным осям, есть куб с гранями, перпендикулярными к тройным осям — октаэдр и с гранями, перпендикулярными к двойным осям — ромбический додекаэдр.
Во втором общую форму составляет „гироэдр“ или „тетрагональный пентагон-изоэдр“ (фиг. 28). Его грани — неправильные пятиугольники; однако пары сторон, пересекающиеся в тройных и четверных осях, равны, a пятая сторона пересекает двойную ось С. [3]. Частными формами являются пирамидальный куб, триакис-октаэдр и пирамидальный октаэдр. Специальными же куб, октаэдр и ромбический додекаэдр.
Наконец, в третьем общую фигуру составляет „диакис-додекаэдр“ (фиг. 29). Его грани — трапецы; однако, пары сторон, пересекающиеся на тройной оси, равны. Частные формы есть триакис-октаэдр, когда делаются равными и две другие стороны, и пирамидальный октаэдр, когда одна из этих сторон сокращается до нуля. Специальная форма, грани которой перпендикулярны к плоскостям C., есть пентагональный додекаэдр (фиг. 24). Если грани перпендикулярны к двойным осям, то получается куб, a если грани перпендикулярны к тройным осям, то — октаэдр. В этом, как и в первом случае тройные оси есть одновременно и шестерные оси сложной С.
В правильных додекаэдре и икосаэдре имеется 6 пятерных осей C., проходящих через вершины икосаэдра или перпендикулярных к граням додекаэдра, 10 тройных осей, перпендикулярных к граням икосаэдра или проходящих через вершины додекаэдра, и 15 двойных осей, соединяющих средины противолежащих ребер. Кроме того, имеется 15 плоскостей C., перпендикулярных к двойным осям С.
Мы можем различать два вида C.: 1) гексакис-икосаэдрический, когда имеются все эти элементы С. и 2) пентагон-изоэдрический, когда имеются все те же оси С., но вовсе нет плоскостей С.
В первом случае общую форму составляет „гексакис-икосаэдр“ со 120 гранями-неправильными треугольниками. Специальные формы „пирамидальный додекаэдр“, „триакис-икосаэдр“ и „пирамидальный икосаэдр“ являются, когда грани перпендикулярны к плоскостям С., a додекаэдр, икосаэдр и „ромбический триаконтаэдр, когда грани перпендикулярны к осям С.
Во втором случае общую форму составляет „пентагональный пентагон-изоэдр“ с 60-ю гранями — неправильными пятиугольниками. Остальные формы те же, что в первом случае в качестве частных или специальных.
Этим исчерпывается до конца все поле возможных комбинаций элементов С., то-есть видов С. В приложении к кристаллам можно сказать, что из них представлены лишь простейшие члены. Так, и из видов C., относящихся к правильным многогранникам, представлены только те, которые относятся к тетраэдру и кубу с октаэдром и соединяются в одну группу — сингонии кубической.
Таким образом, если соединим в одну табличку все виды С. кристаллов, то получим: для кубической сингонии 5 видов С., гексагональной 12, тетрагональной 7, ромбической 8, моноклинной 3, триклинной 2. Всего 32 вида С.
Это и есть тот замечательный вывод, который впервые чисто-математическим путем получен Гесселем в 1829 г.
Мы здесь остановились на группировке видов С. в виды сингонии (см.) кристаллов, как самом важном приложении учения o С. С точки зрения чистой геометрии группировка иная, а именно в системы, при чем триклинный, моноклинный и ромбический виды сингонии должны быть соединены в одну дигональную систему с 8-ю видами С., затем идет тетрагональная система с 7-ю видами С., гексагональная система с 12-ю видами С., октогональная система с 7-ю видами С., декагональная система с 12-ю видами С. и т. д. Как видим, объем тетрагональной и гексагональной систем по числу видов С. сходится с тетрагональной и гексагональной сингониями. Однако, чтобы видеть существенное различие между кристаллографическими видами сингонии и геометрическими системами, достаточно отметить, что тетрагональный дельтоэдр (фиг. 15) есть частная форма тетрагональной системы (и общая форма того вида С. октогональной системы, когда присутствует только восьмерная ось сложной С.), но никоим образом не принадлежит к тетрагональной сингонии, так как не может быть представлена в кристаллах (не подчиняется закону Гаюи). Крайний член бесконечного ряда систем есть система коническая (с 2 видами С.).
В кристаллах представлена кубическая сингония (все пояса изотропны), но в чистой геометрии различаются системы тетраэдрическая (с 2 видами С.) и кубооктаэдрическая (с 3 видами С.), a кроме того имеются система додекаэдро-икосаэдрическая (с двумя видами С.) и сферическая (всего один вид С.). Чтобы видеть существенное различие и здесь между системами и видами сингонии, достаточно указать на правильный додекаэдр, который является частною формою пентагонального додекаэдра (фиг. 24) (а также специальною формою додекаэдро-икосаэдрической системы), a потому относится к кубо-октаэдрической системе, но никоим образом не принадлежит к формам кубической сингонии.
Все (симметрические) простые формы весьма наглядно и просто могут быть воспроизведены на особых приборах, которые в сочинении „Начало учения о фигурах“ названы гоноэдрическими. Это воспроизведение достигается частью на шаре посредством особых угловых пластинок, вращающихся на местах выхода осей С., частью же посредством зеркал спаянных друг с другом над определенными углами. Напр., для воспроизведения всех простых форм гексакис-октаэдрического вида С. три зеркала спаиваются под углами 45°, 60° и 90°; для форм гексакис-тетраэдрического вида С. спаиваются три зеркала под углами 60°, 60° и 90°, a для додекаэдро-икосаэдрического вида С. три зеркала спаиваются под углами 36°, 60° и 90°. Все формы становятся видимыми натурально, если в такое тригоноэдрическое зеркало налить ртути и разнообразно поворачивать.
- ↑ Предметами, входящими в область изучения теории C., могут быть и безграничные или так назыв. „системы фигур“. Таким объектом как раз служит система атомов кристалла, и в этой системе не только сохраняется возможность присутствия тех же элементов C., но возможность еще весьма значительно расширяется, напр., понятие оси С. расширяется до понятия о винтовой оси, a понятие о плоскости C. — до понятия плоскости скольжения.
- ↑ Напр., фигуры 1 и 2 не есть простые формы, a представляют комбинации. В них простые формы представлены, напр., теми узкими гранями, которые отмечены цифрами. Из дальнейшего будет видно, что эти формы есть сфеноэдр (фиг. 2) и ромбоэдр (фиг. 1), a кроме них на фигурах представлены призма и пинакоид.
- ↑ Выход двойных осей из центра на фиг. 28 показан маленькими черточками.