Инварианты и инвариантные свойства. Рассмотрим алгебраическую форму (т. е. целый однородный многочлен) f(х1, х2, …, xn) m-ой степени с n переменными. Выполним в ней какую-нибудь линейную подстановку; тогда форма f(х1, …, xn) примет вид f(y1, …, yn), где y1, у2, …, yn — новые переменные, при чем коэффициенты а′, b′, с′, … полученной формы будут функциями коэффициентов a, b, с, … первоначальной формы и коэффициентов преобразования. Обозначим через Δ модуль подстановки, равный определителю Якоби D(x1, x2, …, xn)D(y1, y2, …, yn). Если, каковы бы ни были значения коэффициентов подстановки, всегда имеет место соотношение φ(a′, b′, c′, …) = Δk.φ(a, b, с, …), то выражение φ(а, b, с, …) называется инвариантом формы f(х1, х2, …, xn). Если k = 0, то φ(a, b, …) называется абсолютным И. Квадратичная и бинарная кубическая форма не имеют абсолютных И., в остальных же случаях, если p есть число коэффидиентов формы, a n — число переменных, то форма имеет р − n² абсолютных И. Форма не может иметь более одного простого И., если она не имеет абсолютного И. Так, всякая квадратичная форма имеет только один И., именно свой дискриминант. В случае ортогональности линейного преобразования мы имеем Δ = ±1, и соответствующие И. называются ортогональными; их число больше числа обыкновенных И. Ортогональные И. имеют большое приложение в геометрии, так как преобразования координат относятся к числу ортог. преобразований. Условия, налагаемые на такие И., выражают свойства фигур, не зависящие от расположения осей координат. Теория И. основана, главным образом, трудами английских математиков Кэли и Сильвестра. Как показали Бриоски, Дарбу, Альфен, И. оказывают также существенную пользу в теории линейных дифференциальных уравнений. Обобщая понятие И., можно говорить про инвариантные свойства, напр., множителя системы линейных дифференциальных уравнений. Пуанкарэ ввел важное понятие интегральных И., имеющих большое значение в изучении устойчивости движения. Можно искать также И. свойства выражений относительно групп бесконечно малых преобразования. Так, Э. и Ф. Коссра, введя понятие действия преобразования, показали, что из инвариантности действия при группе бесконечно малых эвклидовских перемещений можно придать механике дедуктивную форму и представить современную теоретическую физику, как непосредственное продолжение механики. Литература: Чезаро, „Элементарный учебник алгебраического анализа“, т. I; Andoyer, „Théorie des formes“; Сальмон, „Аналитическая геометрия“; Poincaré, „Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste“, т. III.
ЭСГ/Инварианты
< ЭСГ