Вычисление, математическая операция, заключающаяся в численном определении результата по численным заданиям. Решение математического вопроса всегда заключается: а) в установлении тех приемов, которые приводят к решению (сторона логическая), b) в действительном осуществлении этих приемов над численными данными (калькуляция). Общие методы В. разрабатываются в тех дисциплинах, к которым относятся соответствующие операции. Однако, эти общие приемы и, в особенности, их комбинации часто оказываются настолько сложными, что трудность их выполнения граничит с невозможностью. Замечательно, что некоторые чрезвычайно простые по своей теории приемы оказываются на деле почти совершенно невыполнимыми (например, способ Штурма для отделения корней уравнения). Отсюда постоянное стремление найти наиболее простые практические приемы В. Эти приемы составляют в настоящее время особую дисциплину (calcul numérique, numerisches Rechnen).
Приемы В. разбиваются на две существенно различные категории, в зависимости от характера требуемого результата: I точные В., II приближенные В. По самым же приемам они делятся на: а) непосредственные В., которые производятся по известным правилам без особых пособий, т. е. выполняются только пером или карандашом; b) табличные В., в которых калькулятор пользуется еще таблицами, и с) механические В., при которых пользуются специальными техническими приспособлениями. Наконец, механические способы В. распадаются на 4 категории по устройству тех технических приспособлений, помощью которых производится вычисление: 1) В. с помощью счетных аппаратов, т. е. простых приспособлений, в которых производимые руками движения непосредственно приводят к результату; 2) В. с помощью счетных машин, т. е. приспособлений, в которых производимые калькулятором движения преобразовываются с помощью системы зубчатых колес; 3) В. с помощью графических методов, т. е. черчения; 4) В. с помощью физических методов.
Точные В. в конечном счете всегда сводятся к производству четырех арифметических действий. Установившиеся приемы их непосредственного производства вырабатывались веками и в общем имеют несомненные преимущества перед другими приемами, которых имеется множество (см., например, Кэджори, „История элементарной математики“). Но в отдельных специальных случаях оказываются более удобными другие приемы.
Мы укажем только две руководящие идеи, на которых основаны наиболее важные и целесообразные из этих приемов. Если мы через a0, a1, a2, … обозначим цифры множимого (так что самое множимое будет a0 + a110 + a210² + …), через b0, b1, b2, … — цифры множителя, через с0, c1, с2, … — цифры произведения, то непосредственное перемножение многочленов дает: c0 + c110 + c210² + … = (a0 + a110 + a210² + …)(b0 + b110 + b210² + …) = a0b0 + (a1b0 + a0b1)10 + (a0b2 + a1b1 + a2b0)10² + … (1)
Отсюда видно, что число простых единиц произведения равно a0b0, если это число не превышает 9; в противном случае, десятки должны быть выделены и отнесены к десяткам произведения; таким же образом для получения десятков произведения составляем число а1b0 + а0b1, прибавляем к нему десятки, полученные при перемножении единиц, и выделяем целые сотни. Чтобы по этому правилу перемножить 356 на 427, нужно поступать так: 6 × 7 = 42, в произведении 2 единицы и 4 десятка; 7 × 5 + 2 × 6 = 47, да 4 десятка — 51 дес., т. е. 1 дес. и 5 сотен; 7 × 3 + 2 × 5 + 4 × 6 = 55, да 5 сот. — 60 сот., т. е. 6 тыс.; 2 × 3 + 4 × 5 = 26, да 6 тыс. — 32 тыс., т. е. 2 тыс. и 3 дес. тыс.; 3 × 4 = 12 да 3 — 15 десятков тысяч; итого 152012. Преимущество этого метода заключается в том, что он освобождает нас от частных произведений и при известном навыке дает результат очень быстро. Этот метод был известен еще индусам, которые называли его „молниеносным“; теперь его называют „методическим умножением“; калькуляторы им очень часто пользуются. Тождество (1) дает возможность определить и цифру a, когда даны цифры b и c, т. е. производить методическим способом деление. Этот способ разработал подробно Фурье.
Другой метод основан на применении дополнений. Дополнением числа называется такое число, которое получается, если все цифры данного числа вычесть из девяти, а последнюю значащую цифру — из 10; дополнение числа 382 есть 618. Если число A содержит n цифр, то его дополнение А′ = 10n − А. Очень часто действия над числами упрощаются, если заменить данные числа дополнениями или комбинировать их с дополнениями. Так, например, тождество В − A = В + А′ − 10n показывает, что этим путем можно сводить вычитание к сложению, что очень существенно, когда приходится комбинировать много сложений и вычитаний. Но при умножении и делении также часто бывает полезно пользоваться дополнениями.
Однако, из предыдущего видно, что число приемов непосредственного точного В., имеющих значительные достоинства, очень ограничено. Не слишком большое значение имеют для точного В. и таблицы. Для точных В. употребляются таблицы двоякого рода: с одним ходом и с двойным ходом. Таблицы двойного хода — это попросту большие таблицы умножения. Множимые располагаются вертикально, множители — горизонтально (два хода); на скрещении помещаются произведения. Наилучшими из этого рода таблиц считаются A. L. Crelle „Rechentafeln“ (9-ое изд. 1904 г.); значительной известностью пользуются и русские таблицы Дьякова. Таблицы с одним ходом представляют собой, в сущности, только таблицы степеней. Таблицы квадратов имеют то значение, что они дают возможность выполнять также умножение на основании формулы xy = (x + y)²4 − (x − y)²4 (2) Отсюда видно, что нужны собственно не квадраты, a четверти квадратов (J. Blater, „Tafel der Viertel-Quadrate“, Wien, 1887); дроби при нечетных числителях опускаются; так как дробная часть всегда равна ¼ и входит в оба члена выражения (2), то она не нужна. Для специальных надобностей имеются таблицы более высоких степеней. Значительное распространение в деле точного В. получили механические способы. О них и о приближенных В. см. приложение Счетные аппараты и пособия.
В. Каган.