Чисел теория — часть математического анализа, которая занимается решением неопределенных уравнений в целых Ч. В простейшем случае задача состоит в следующем. Найти целые значения для x и y, которые удовлетворяют уравнению: f (x,y)=0. Если f (x,y)=φ(x)-ny, то вопрос приводится к нахождению такого значения для x, при котором φ(x) делится на n, или, как говорят иначе, φ(x) сравнимо с нулем по модулю n. Таким образом, теория сравнений (см. соотв. статью) есть часть теории Ч.
Решение неопределенных уравнений вида
ax2 + bxy + су2 + dx + ey + f = 0
относится к теории квадратичных форм. Это — вторая часть теории Ч. Здесь оказывается очень полезным применять непрерывные дроби.
К третьей части можно отнести применение теории сравнений к делению круга (см.).
Особый отдел составляют вопросы о простых Ч.: о числе простых Ч. в данном промежутке; доказательство теоремы Дирихле, состоящей в том, что арифметическая прогрессия
a, a + b, a + 2b, a + 3b, … (a простое с b)
содержит бесчисленное множество простых Ч.
Эти вопросы излагаются в теории Ч., хотя они и не относятся к решению неопределенных уравнений.
Наконец, в теории Ч. рассматриваются вопросы, относящиеся к делимости целых алгебраических Ч., т. е. Ч., удовлетворяющих уравнению вида
xn + a1xn-1 + а2xn-2 + … + an-1x + an = 0,
где коэффициенты целые рациональные числа.
К сочинениям, указанным в ст. Сравнение (см.), добавим: Е. Золотарев, «Теория целых комплексных чисел» (СПб., 1874); Иванов, «Целые комплексные числа» (СПб., 1891); Ю. Сохоцкий, «Начало общего наибольшего делителя в применении к теории делимости алгебраических Ч.» (СПб., 1893); D. Hilbert, «Die Theorie der algebraischen Zahlkörper» («Deutsche Mathematiker Vereinigung», 4 т., Берлин, 1897); H. Weber, «Lehrbuch der Algebra» (т. 1 и 2, Брауншвейг, 1898, 1899).