ЭСБЕ/Сферические функции

Сферические функции
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Словник: Судоходные сборы — Таицы. Источник: т. XXXII (1901): Судоходные сборы — Таицы, с. 166 ( скан · индекс ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Сферические функции (Kugelfunctionen). — Выражение:

${\frac {1}{\sqrt {1-2\alpha \mu +\alpha ^{2}}}}$

в котором α меньше единицы, a μ = Cosθ есть косинус некоторого угла θ, может быть разложено в следующий ряд, расположенный по возрастающим степеням α:

1 + αР₁ + α²Р₂ + α³P₃ +… + αⁿP_n +…,

в котором P с разными индексами суть следующие функции от μ:

$P_{1}=\mu ,\,$ $P_{2}={\tfrac {1}{2}}(3\mu ^{2}-1)$

$P_{3}={\tfrac {1}{2}}(5\mu ^{3}-3\mu )$…

и вообще Р_n может быть представлено так:

$P_{n}={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d\mu ^{n}}}(\mu ^{2}-1)^{n}$, где n! = 1·2·3 … n.

Функции эти, введенные Лапласом при рассмотрении вопросов о притяжении, носят название С. функций. Полную теорию этих функций можно найти в книге Heine «Handbuch d. Kugelfunctionen», a в книгах Thomson and Tait («Treatise on natural philosophy»), Lamb («Hydrodynamics», 1895) и Cl. Maxwell, «Traité d’électricité et de magnétisme» (trad. p. Lui Séligmann) объяснено значение этих функций в теории потенциала, притяжения, электричества, магнетизма и в гидродинамике; там же полная и рациональная теория С. функций.

Д. Б.